Espérance pour méthode des moments

Bonjour,
Je peine à calculer l'espérance de cette densité : $f(x \mid \theta) = \theta x^{-2} \mathbb{1}_{([\theta ; +\infty[)}$.
Je trouve soit qu'elle tend vers l'infini ou soit des résultats non cohérents.
Merci pour l'aide.
PS : je demande seulement des conseils.
Cordialement.

Réponses

  • Elle est bizarre la notation, moi j'aurais écrit $f_\theta(x)$ enfin bon.

    Pourquoi ça t'embête que l'espérance soit infinie (pas tendre vers l'infini) ? Ce sont des choses qui arrivent.
  • Oui je suis d'accord avec toi pour la notation utilisée ici.
    Ça m'embête que ce soit l'infini parce que j'essaye de trouver un estimateur en appliquant la méthode des moments. Or cela voudrait dire qu'avec cette méthode on ne peut pas trouver d'estimateur mais ma professeur veut qu'on soit capable de le faire.
    Il doit y avoir un problème qui coince, je ne vois pas ce que c'est.
  • Et le moment de $X^{-1}?$
  • Le minimum d'un $n$-échantillon me semble un très bon estimateur ici.
  • Je trouve : $E( \frac{1}{X} ) = \frac{-1}{2 \theta} ,$ mais à ce que je sache $E( \frac{1}{X} ) \ne \frac{1}{E(X)}.$
    Y aurait-il un résultat généralisé de la loi des grands nombres qui pourrait affirmer cela :
    $E\big(g(x)\big) \xrightarrow[+ \infty]{} g( \overline{X})$ ?

    [En $\LaTeX$, c'est toutes les expressions mathématiques que l'on encadre, pas seulement les termes séparémént. ;-) AD]
  • L'esperance d'une va >0 serait negative? Soit $E_n=\frac{1}{n}\left(\frac{1}{X_1}+\cdots+\frac{1}{X_n}\right).$ Que penses tu de $\hat{\theta}_n=\frac{1}{2E_n}?$
  • C'est logiquement faux en effet
    $\displaystyle \int_{\theta}^{+\infty} \theta x^{-3} \, \mathrm{d}x = \theta \left[ \frac{1}{2x^{2}} \right]_{\theta}^{+ \infty} \sim \frac{-1}{2 \theta}.$
    Mais en écrivant c'est correct.

    Sinon ce n'est pas plutôt : $\hat{\theta_{n}} =\frac{1}{2 E(E_{n})}$ ?
  • Comment etait ton examinateur, Toto? Tres pieux. Il disait 'Mon dieu, mon dieu...'


    1) Corrige ton calcul.
    2) Un estimateur de $ \theta $ n'est pas un nombre, mais une variable aleatoire dont la valeur est prise comme approximation de $\theta.$
  • Purée la bêtise que j'ai faite dans mon calcul. Trop fort Monsieur P. , j'avais mal pris ton commentaire mais en vraie t'avais raison. Merci.
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