Cocyclicité

Bonjour,

Je cherche à parfaire un point dans la démonstration de cet exercice.

Enoncé:

ABC est un triangle
H est l’orthocentre du triangle ABC, N est le pied de la hauteur issue de B et P le milieu de [AB].
Les cercles circonscrits aux triangles ABC et CNH se recoupent en D.
Montrer que les points D, N , P et b sont cocycliques.

En gros j'utilise l'existence de triangles semblables pour démonter la cocyclicité.
Le point qui bloque est que je suppose que les points P, H et D sont alignés, ce que je n'ai pas réussi à démontrer.

Voici ma démonstration :

Pour prouver la cocyclicité, il suffit de démontrer que : angle (PNB) = angle (PDB) (Les angles interceptent le même arc).
Par construction, le triangle CNH est rectangle en H.

Dans le cercle circonscrit au aux points CNH, [HC] est donc un diamètre. (conséquence du théorème de l’angle inscrit et de l’angle au centre)
Par suite, les triangles CHN et CDH sont isométriques.

On a donc : angle (DHC) = angle (NHC)

Appelons C’ le pied de la hauteur issue de C dans le triangle ABC.

Dans le triangle ABC, N est le pied de la hauteur issue de B.
Donc les points B,H et N sont alignés.

Les triangles CNH et C’HB ont deux angles égaux : un angle commun (opposé par le sommet) et un angle droit. Ils sont donc semblables.
Par conséquent et HN = HD


La difficulté est de montrer que les points P,H et D sont alignés.
Si tel est le cas, on a alors : PD = PH + HD

Les triangles CHD et PHC’ ont deux angles égaux : un angle commun (opposé par le sommet) et un angle droit. Ils sont donc semblables.
Par conséquent : angle (DHC) = angle (PHC')

On a donc : angle(PHC') = angle(C'HB)

Le triangle PHB est donc isocèle en H.
Donc : PH = HB


Les triangles PHN et BHD ont deux de même mesure :
PH = HB et HN = HD et un angle commun opposé par le sommet.
Ils sont donc isométriques.


Par suite : angle (PNB) = angle (PDB)


Question :
Comment démontrer que les points P,H et D sont alignés ?
Droite d'Euler ?

merci

Cordialement, JeremyJeff113014

Réponses

Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.