Convexes, connexe par arcs

Bonjour,

$E$ est un espace vectoriel normé réel, $C$ un convexe de $E$, et $D$ une partie de $E$ telle que
$C \subset D \subset \overline{C}$.

On demande de montrer que $D$ est connexe par arcs.

Je sais faire une question analogue où on suppose $C$ connexe et où montre que $D$ est connexe, via la caractérisation par les fonctions continues à valeurs dans $\{0,1\}$.

Là, je n'ai pas vraiment d'idée : on prend deux points $x,y \in D$ que l'on essaie de relier par un arc continu. Ces point sont dans $\overline{C}$, donc on peut les relier par un segment de $\overline{C}$, mais ensuite ?

Réponses

  • Bonjour,

    J'ai peut-être une idée de preuve, je ne l'ai pas écrite en entier mais elle à l'air de marcher.

    On prend $x,y \in D$. Donc ils sont dans $\bar C$, donc on dispose de suites $(x_n)$ et $(y_n)$ de $C$ qui convergent vers $x$ et $y$ respectivement.
    On peut de plus supposer que les suites $(|| x_n - x ||)$ et $(|| y_n - y ||)$ sont décroissantes (quitte à extraire).

    Pour tout $n$, on relie $x_n \to x_{n-1} \to ... \to x_0 \to y_0 \to y_1 \to ... y_{n-1} \to y_n$ par des segments de $C$.
    On obtient ainsi un chemin $\gamma_n$ de $x_n$ vers $y_n$ et on peut supposer pour tout $t \in ]0 ; 1[$, la sutie $(\gamma_n(t))$ est stationnaire (point à expliciter).
    A priori on peut montrer que $(\gamma_n)$ converge uniformément vers un chemin de $x$ vers $y$ dans $D$ (et même $\gamma(]0 ; 1[) \subset C$ ? à voir ?).

    Cela dit cette idée ne me satisfait pas trop, car j'ai l'impression qu'il y a bien plus simple et bien plus élégant. Mais s'il n'y a aucune autre proposition... pourquoi pas
  • Une idée proche de celle de Maru : il suffit de montrer que tout élément $x$ de $\overline C \setminus C$ peut être relié à un élément $y$ de $C$ par un chemin inclus dans $C \cup \{x\}$. On prend une suite $(x_n)_n$ d'éléments de $C$ convergeant vers $x$. On paramétrise le segment $[x_n, x_{n+1}]$ par une fonction continue $f_n : [n, n+1] \to C$. On note $f$ l'application continue $[0, +\infty[ \to C$ qui coïncide avec $f_n$ sur $[n, n+1]$. Il n'y a plus qu'à montrer que l'application $g : [0, 1] \to C \cup \{x\}$ telle que $g(x) = f\left(\tan\left(\frac{\pi x}{2}\right) \right)$ pour $0 \leq x < 1$ et $g(1) = x$ est continue.
  • Est-ce que l'on peut montrer que $D$ est étoilé ?
  • Je crois que $D$ n'est pas étoilé en général.

    Contre-exemple : dans $\ell^2$ on considère l'enveloppe convexe de $\{\dfrac{e_n}{n}\mid\;n\in\mathbb{N}^{*}\}$ (où $e_n$ est la suite valant 1 en $n$ et 0 ailleurs) notée $C$.

    On pose $D:=C\cup\{0\}$. Alors $C\subset D\subset\overline{C}$ mais $D$ n'est pas étoilé.
  • Merci pour le contre-exemple. En effet, tout point de $C$ est de la forme $\sum \lambda_n e_n$ avec $\sum n \lambda_n=1$ et $\lambda_n \geq 0$. Donc si un segment joint $0$ à un point $x$ de $C$, alors $\frac{1}{2}x$ appartient au segment, mais n'appartient pas à $C$.
  • Bonjour,
    J'ai l'impression que $D$ est étoilé si $E$ est de dimension finie (et avec l'hypothèse $C\neq\varnothing$). Quitte à remplacer l'espace ambiant $E$ par le sous-espace affine engendré par $C$, on peut supposer que $C$ contient $\dim E+1$ points affinement indépendants, et donc que $C$ est d'intérieur non vide. Soient $x\in \mathring C$ et $y\in D$. Si on montre que ${[x,y[}\subset C$, on a gagné. Alors on prend une boule autour de $x$ incluse dans $C$ et $y'\in C$ très proche de $y$. La portion du segment noir qui est dans le cône vert est dans $C$. En prenant $y'$ arbitrairement proche de $y$, on doit pouvoir montrer que ${[x,(1-\delta)y+\delta x[}$ est inclus dans $C$ pour tout $\delta $ arbitrairement petit. Enfin, sur le dessin ç'a l'air vrai...113044
  • Merci pour les réponses, celle de Poirot est précise et me permet de
    rédiger une démonstration. Pour la continuité de $g$ en $1$, cela aide
    d'imposer la décroissance de $(||x-x_n||)$.

    Edit : en fait, pas besoin de décroissance ; si un point est assez proche de $x$,
    par convexité de la boule $B(x,r)$, tous les points des segments $[x_n,x_{n+1}]$ où $x_n \in B(x,r)$ sont aussi dans $B(x,r)$.
  • side : Le phénomène dont tu parles existe aussi en dimension finie. Soient $E=\Bbb R^2$, $C={]0,1[^2}\cup\{(0,0)\}$, $D=\overline C$, $A=(0,0)$ et $B=(0,1)$. Alors $C$ est convexe, $A\in C$, $B\in D$ et $[A,B]\cap C=\{A\}$.

    En revanche, ce dont tu parles n'est pas ce qu'a proposé Poirot il me semble.
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