fonction mesurable

Bonjour,

J'ai essayé de résoudre l'exo suivant en revenant à la définition de fonction mesurable et en considérant des bases d'ouverts judicieusement choisies mais je bloque vite voici l'énoncé :

Soit (X,d) et (Y,d) deux espaces métriques et f:X->Y une application dont l'ensemble des points de discontinuités est mesurable montrer que f est mesurable.

Pourriez vous me donnez quelques indications pour me débloquer.

Merci d'avance


François

Réponses

  • Salut,

    Tu écris U, un ouvert de Y, comme réunion dénombrable d'intervalles ouverts, puis tu écris f^(-1)(U) comme réunion de voisinages ouverts autour des points de continuité (ils sont tous mesurables) avec l'ensemble des points de discontinuités (qui est mesurable), et tu as fini.
  • U designant bien sur un ouvert de Y.
  • On ne peut pas ecrire U comme réunion dénombrable d' ouvert dans tout les cas en effet un espace metrique n' est pas nécessairement séparable donc n' admet pas nécessairement une base dénombrable d' ouvert d' autre part l'espace d' arrivé est un espace métrique QUELCONQUE Y donc ce que tu dis ne marche pas.

    merci encore

    francois
  • Bonsoir,
    j'ai supposé que mesurable signifiait par rapport aux tribus boréliennes au départ et à l'arrivée.

    Ceci dit, je pense avoir un contre-exemple : on prend l'identité de $[0,1]$ dans $[0,1]$, avec à la source la métrique usuelle et au but la métrique discrète .

    Je subodore qu'elle soit continue nulle part (donc l'ensemble des points de discontinuité est tout l'intervalle qui est mesurable) mais n'est pas mesurable.

    H.
  • pour la non continuité je suis d'accord

    mais je pense que l'identité est bien mesurable, car le fait de changer la topologie de l'arrivée ne joue que sur la continuité....

    l'image et la pré-image de tout borélien de [0,1] étant lui-même elle me parait tout ce qu'il y a de plus mesurable

    amicalement

    t-mouss
  • La tribu borélienne est la tribu engendré par les ouverts : losque tout ensemble est ouvert (ce qui est le cas pour la distance discrète) tout ensemble est un borélien. A l"inverse pour la distance usuelle (euclidienne), il existe des ensembles E qui ne sont pas boréliens.
    Ainsi E est borélien pour la topologie à l'arrivée mais sa préimage (lui-même) ne l'est pas.
    On a donc montré que f id n'était pas mesurable!
    Nicolas et Hadrien
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