Normalité asymptotique

Ramufasa

Bonjour,

Dans mon cours de statistiques, il est écrit qu'un estimateur mu_n est asymptotiquement normal s'il vérifie :

sqrt(n) (mu_n - mu_0) converge en loi vers une normale centrée.

Il est aussi écrit que dans ce cas, on a aussi convergence en probabilités et c'est ce point que je n'arrive pas à démontrer.

J'ai essayé "à la main", c'est-à-dire en regardant P( abs(mu_n - mu_0) > epsilon ) mais ça n'a pas abouti.

Je sais aussi que la convergence en loi vers une constante implique la convergence en probabilités et c'est ce résultat que je pense devoir utiliser, mais j'ai du mal à formaliser l'idée.

Quelqu'un pourrait m'aider ?

Merci d'avance !

Lucas

Bonjour,

Petit indice : il faut utiliser le lemme de Slutsky.

Ramufasa

Oui justement c'était l'idée que j'ai explorée.

Utiliser le lemme de Slutsky et le théorème de continuité conjointement pour montrer que mu_n converge en loi vers mu_0 puis conclure car la convergence en loi vers une constante implique la convergence en probabilités vers cette constante.

Mais je ne vois pas à qui appliquer le lemme de Slutsky... (c'est très certainement évident mais je suis aveuglé).

Lucas

C'est le genre d'astuce autour de laquelle on peut tourner des heures effectivement sans la voir :
$$
\mu_n -\mu_0= \sqrt{n}(\mu_n -\mu_0) \times \frac{1}{\sqrt{n}},
$$
et le 1er terme tend (en loi) vers une normale $X$, et le second vers $0$. Donc le produit tend vers 0 en probabilités.

Ramufasa

Mais oui évidemment...

Merci beaucoup pour ton aide Lucas.