Notions de solutions d'EDP
Bonjour à tous
Je cherche à résoudre l'EDP
$$\partial_t u(t,x) = \mathcal{L} u(t,x),
$$ où $\mathcal{L}$ est un opérateur linéaire aussi régulier que nécessaire. Par exemple prenons $\mathcal{L}:= \frac{1}{2} \sigma^2(t,x) \partial_x^2 + b(t,x)\partial_x,$ où $\sigma$ et $b$ sont continues bornées.
La fonction $u$ est solution forte si elle est $\mathcal{C}^2$ et vérifie cette équation.
C'est une solution faible si elle est dans $\mathcal{S}'$ et qu'elle vérifie cette équation au sens des distributions.
Mais j'ai également rencontré la notion de solution mild. C'était dans le cas où $\sigma=b=1$ et on y dit que $u$ est une solution mild si et seulement si elle vérifie au sens des distributions
$$u(t,x) = (g_t \ast u(0,\cdot) ) (x) - \int_0^t ( \nabla g_{t-s} \ast u(s,\cdot) )(x)ds,
$$ où $g_t$ est la densité d'une loi normale / le noyau de la chaleur.
Et je ne comprends pas cette notion, quel est le lien entre les 2 EDP, comment le démontre-t-on, et pourquoi une telle notion de solution ?
Merci
Je cherche à résoudre l'EDP
$$\partial_t u(t,x) = \mathcal{L} u(t,x),
$$ où $\mathcal{L}$ est un opérateur linéaire aussi régulier que nécessaire. Par exemple prenons $\mathcal{L}:= \frac{1}{2} \sigma^2(t,x) \partial_x^2 + b(t,x)\partial_x,$ où $\sigma$ et $b$ sont continues bornées.
La fonction $u$ est solution forte si elle est $\mathcal{C}^2$ et vérifie cette équation.
C'est une solution faible si elle est dans $\mathcal{S}'$ et qu'elle vérifie cette équation au sens des distributions.
Mais j'ai également rencontré la notion de solution mild. C'était dans le cas où $\sigma=b=1$ et on y dit que $u$ est une solution mild si et seulement si elle vérifie au sens des distributions
$$u(t,x) = (g_t \ast u(0,\cdot) ) (x) - \int_0^t ( \nabla g_{t-s} \ast u(s,\cdot) )(x)ds,
$$ où $g_t$ est la densité d'une loi normale / le noyau de la chaleur.
Et je ne comprends pas cette notion, quel est le lien entre les 2 EDP, comment le démontre-t-on, et pourquoi une telle notion de solution ?
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