Convergence et équivalents

Bonjour,
je travaille sur un DM dont le but est de montrer la convergence de la méthode de la sécante (d'abord dans un cas particulier puis dans un cas général). J'ai presque réussi à faire la première moitié mais j'ai beaucoup de difficulté à résoudre la question finale de cette première partie. Finalement au bout de deux jours je n'avais pas trouvé et j'ai donc cherché dans la bibliographie, j'ai trouvé le point en question qui est à peu près le même que celui de la question que j'essaie de résoudre, et j'ai donc compris pourquoi je n'arrivais pas à conclure. Je ne comprends pas l'argument qui permet d'identifier les constantes et les puissances.

Voici le passage qui me pose problème.

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J'ai donc démontré dans la première partie l'équivalent des hypothèses qu'on retrouve ici ; les notations et les étapes n'étant pas les mêmes mais c'est à peu près cela.
Mais si je reprends les notations de ce livre, je ne comprends pas pourquoi nécessairement $C={(\frac{M}{C})}^{\frac{1}{p-1}}$ et $p=\frac{1}{p-1}$.

Donc globalement, en quoi : $u_n \sim a (u_{n-1})^{\alpha}$ et $u_n \sim b (u_{n-1})^{\beta}$
implique-t-il $a=b$ et $\alpha=\beta$ ?

Réponses

  • Mieux vaudrait donner l'énoncé en entier.
  • Au temps pour moi, je crois que j'ai trouvé. C'était tout simple. En fait l'erreur tend vers 0. Donc effectivement on a nécessairement $\alpha=\beta$ et donc $a=b$.
  • Bon, nous ignorerons toujours l'énoncé.
  • Bonsoir, je crois que j'ai compris tout seul finalement.
    Je vous transmets toutefois les grandes lignes puisque ma question a semblé susciter votre intérêt sur le sujet.

    $f$ est une fonction $C^2$ qui s'annule en un unique $x$ réel qu'on cherche à déterminer. On suppose qu'il existe une suite $(x_k)$ définie par la méthode de la sécante qui converge vers ce $x$ (et donc que l'erreur $|x-x_k|$ tend vers $0$ ; ce que j'oubliais et qui me permettait de conclure).
    Voici l'article dont était tiré l'extrait que je vous présentais pour illustrer ma question : https://www.math.drexel.edu/~tolya/300_secant.pdf
    Cet article n'est pas mon DM et ne correspond pas ni [aux] étapes ni aux notations du chemin suivi mon DM, mais la partie que j'ai extraite était proche de la question (puisque cet article a pour but de prouver l'ordre de convergence de la méthode de la sécante, qui était aussi l'objectif de la question à laquelle je devais répondre).
    En gros, il fallait montrer que $C={(\frac{M}{C})}^{\frac{1}{p-1}}$ et $p=\frac{1}{p-1}$ sachant que :
    Capture-d-cran-2020-11-10-23-19-10.png
    et
    Capture-d-cran-2020-11-10-23-19-14.png
    Et en effet on a bien les deux égalités car l'erreur car $M>0$, $C>0$ et $\epsilon_n$ tend vers 0$ $quand $n$ tend vers l'infini, ce que j'avais oublié. Je m'étais aussi permis de ne pas tout citer car il s'agissait juste d'un point précis qui ne nécessitait pas l'introduction de toutes les notions. D'où mon résumé avec les $u_n$ en fin de premier message.
    J'espère que cet énoncé vous permettra de comprendre le contexte de la question. Je suis content d'avoir compris tout seul pour ma part.
    Bonne soirée.
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