Exemples de groupes abéliens dénombrables
Bonjour à tous,
Récemment, je me suis aperçu que je ne connaissais que très peu d'exemples de groupes abéliens dénombrables en dehors des exemples classiques $\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{Z}(p^\infty)$ et de leurs sommes directes. Pourtant, j'ai cru comprendre que la classification des groupes abéliens dénombrables est loin d'être connue, donc il doit exister bien d'autres exemples.
Avez-vous des exemples intéressants en tête ?
Récemment, je me suis aperçu que je ne connaissais que très peu d'exemples de groupes abéliens dénombrables en dehors des exemples classiques $\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{Z}(p^\infty)$ et de leurs sommes directes. Pourtant, j'ai cru comprendre que la classification des groupes abéliens dénombrables est loin d'être connue, donc il doit exister bien d'autres exemples.
Avez-vous des exemples intéressants en tête ?
Réponses
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Bonjour,
Il y a $\Bbb Q/\Bbb Z$, les $p$-adiques $\Bbb Z_p$, $\Bbb Z[\frac1p, p\in P]$ pour $P$ un ensemble de nombres premiers, et $\Bbb Z[\frac1p, p\in P]/\Bbb Z$ qui me viennent.
Edit: Plus généralement, les sous-groupes de $\Bbb Q$ et $\Bbb Q/\Bbb Z$ sont intéressants. Il sont de la forme $\{ a \prod_{p\text{ premier}} p^{-\alpha_p} \mid a\in\Bbb Z,$ $(\alpha_p) \text{ presque tous nuls, et}$ $\forall p,\ \ \alpha_p \leqslant m_p \}$ et idem$/\Bbb Z$.
PS: C'est quoi $\Bbb Z(p^\infty)$ ? -
Sans aller beaucoup plus loin : $\Q/\Z$, qui est divisible et de torsion ; $\Z^{(\N)}\simeq\Z[X]$ (familles finies d'entiers non nuls indexées par $\N$) qui est libre ; $(\Z/2\Z)^{(\N)}$, etc. Tu dois savoir qu'un groupe abélien de type fini est le produit d'un produit de $\Z/n\Z$ (on peut supposer que les ordres se divisent les uns les autres) et d'un réseau $\Z^r$.
Pour aller plus loin, est-ce que tu as feuilleté Infinite abelian groups de Laszlo Fuchs ? -
Il y a aussi le groupe $\Z^{(\N)}$, des suites à valeurs dans $\Z$ et nulles à partir d'un certain rang.
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Merci pour vos réponses. Il faut tout de même que je précise : je cherche des exemples intéressants qui ne sont pas isomorphes aux exemples que j'ai cités (ou à des sommes directes de ces groupes). Sinon, c'est de la triche.
Donc $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ ne m'intéresse pas plus que ça puisque c'est une somme de groupes de Prüfer. De manière générale, les groupes divisibles sont connus pour se décomposer en somme de $\mathbb{Q}$ et de $\mathbb{Z}(p^\infty)$, donc il n'y a pas grand chose à dire de ce côté là. Les groupes $\mathbb{Z}[X]$ et $\mathbb{Z}^{(\mathbb{N})}$ ne m'intéressent pas non plus puisqu'ils sont libres (i.e. isomorphes à une somme directe de $\mathbb{Z}$).
Pour les entiers $p$-adiques, il faut que je réfléchisse un peu, je ne suis pas très familier avec ce groupe.
@Math Coss : Je n'ai fait que jeter un coup d'œil aux livres de Fuchs pour l'instant. Je n'y ai pas vu de partie dédiée aux exemples, mais il faut que je m'y attèle plus sérieusement. Par contre je connais un peu mieux le livre de Kaplansky, ce qui fait que j'ai une petite culture sur les groupes abéliens, sans aller bien loin. (Mais je connais tout de même la classification des groupes abéliens de type fini :-D.)
@Calli : $\mathbb{Z}(p^\infty)$ est un groupe de Prüfer, i.e. c'est le groupe des racines $p^n$-ème de l'unité dans $\mathbb{C}$ où $p$ est un nombre premier fixé. -
D'accord, je ne savais pas que ces groupes de Prüfer avaient un nom et une notation.
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Calli : les $p$-adiques sont loin d'être dénombrables ;-)
Et pour Prüfer, attention on met la flèche dans l'autre sens en principe.
Seirios : faisons un peu d'algèbre homologique : $\mathbb Q$ n'est pas projectif donc il a des extensions non triviales, et je dirais qu'on peut en obtenir des dénombrables. Par exemple, $\mathrm{Ext}^1(\mathbb{Q,Z})$ est énorme en principe, donc tu vas avoir un groupe abélien $F$ et une suite exacte non scindée $0\to \mathbb Z \to F \to \mathbb Q\to 0$.
Plus généralement tu peux t'amuser à calculer des ext's de groupes que tu connais déjà et en déduire des suites exactes de ce genre. Bon, ce n'est pas très explicite, mais ça te suggère comment chercher (si tu as une extension tu peux chercher avec des cocycles etc. pour trouver des descriptions explicites)
Comme les groupes que tu cites ne sont pas des extensions cheloues de ce type, tu trouves des nouveaux groupes -
Maxtimax : Ah oui 8-). En fait, le truc que j'avais en tête au début quand j'ai dit $\Bbb Z_p$ c'est Prüfer, je me suis emmêlé les pinceaux. Donc oublions $\Bbb Z_p$ ^^.
Et oui, j'avais déjà supprimé ma limite projective qui était mauvaise. -
Pour rebondir sur le message de Maxtimax, le groupe d'extension $Ext^1(\mathbb{Q},\mathbb{Z})$ est en effet assez gros. En utilisant la suite exacte $0\to \mathbb{Z}\to \mathbb{Q}\to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\to 0$ on peut d'ailleurs montrer que $Ext^1(\mathbb{Q},\mathbb{Z})$ est isomorphe à $\mathbb{A}_f/\mathbb{Q}$ où $\mathbb{A}_f=\mathbb{Q}\otimes_{\mathbb{Z}} \widehat{\mathbb{Z}}$ est l'anneau des adèles finis (et où $\widehat{\mathbb{Z}}=\prod_p \mathbb{Z}_p$ désigne la complétion profinie de $\mathbb{Z}$). Explicitement, à $x\in \mathbb{A}_f$, on associe l'extension $A_x:=\{ (r_1,r_2)\in \mathbb{Q}^2\mid r_1-r_2x\in \widehat{\mathbb{Z}}\}$. Comme cas particulier, si $x\in \mathbb{Q}_p\subset \mathbb{A}_f$, où $p$ est un nombre premier, on obtient $A_x=\{ (r_1,r_2)\in \mathbb{Z}[\frac{1}{p}]\times \mathbb{Q}\mid r_1-r_2x\in \mathbb{Z}_p\}$.
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