Presque partout
Bonjour,
que pensez-vous du point 2 suivant ?
Intuitivement, j'aurais tendance à penser qu'un propriété est vraie presque partout si et seulement si :
- toute partie sur laquelle elle est fausse est négligeable
et :
- elle est vraie sur toute partie non-négligeable.
Autrement dit le prédicat est vrai sur un ensemble si et seulement si cet ensemble n'est pas de mesure nulle. Est-ce faux ? Car ça ne me semble pas équivalent à la définition ci-dessus et pourtant il me semble que c'est cela qui est utilisé en pratique. En même temps, cette définition me semble tout aussi fausse que celle de l'image.
En ce sens cette définition que j'ai trouvée sur Wikipédia me paraît plus vraie :
(https://en.wikipedia.org/wiki/Almost_everywhere)
Par exemple si je souhaite utiliser le théorème de convergence dominée de Lebesgue dans $(X,A,\lambda)$ ; je me retrouve ennuyé pour comprendre de façon claire ce que signifie qu'une propriété sur l'intégrande est vraie x-presque partout.
Si par exemple $X=\mathbb{R}$ et qu'un espace sur lequel le prédicat n'est pas vrai est $\mathbb{Z}$, qui est négligeable pour la mesure de Lebesgue, est-ce qu'il faut montrer que $\mathbb{Z}$ est l' "ensemble négligeable maximal" sur lequel le prédicat est faux ?
Je ne comprends pas pour quoi est introduit dans la définition un "il existe", et je me retrouve embêté dès lors qu'il y a plusieurs ensembles négligeables sur lesquels considérer mon prédicat. Pourriez-vous m'aider à comprendre s'il vous plaît ? J'avoue que je me traîne cette incompréhension de "presque partout" comme un poids et ça commence à me gêner.
que pensez-vous du point 2 suivant ?

Intuitivement, j'aurais tendance à penser qu'un propriété est vraie presque partout si et seulement si :
- toute partie sur laquelle elle est fausse est négligeable
et :
- elle est vraie sur toute partie non-négligeable.
Autrement dit le prédicat est vrai sur un ensemble si et seulement si cet ensemble n'est pas de mesure nulle. Est-ce faux ? Car ça ne me semble pas équivalent à la définition ci-dessus et pourtant il me semble que c'est cela qui est utilisé en pratique. En même temps, cette définition me semble tout aussi fausse que celle de l'image.
En ce sens cette définition que j'ai trouvée sur Wikipédia me paraît plus vraie :

(https://en.wikipedia.org/wiki/Almost_everywhere)
Par exemple si je souhaite utiliser le théorème de convergence dominée de Lebesgue dans $(X,A,\lambda)$ ; je me retrouve ennuyé pour comprendre de façon claire ce que signifie qu'une propriété sur l'intégrande est vraie x-presque partout.
Si par exemple $X=\mathbb{R}$ et qu'un espace sur lequel le prédicat n'est pas vrai est $\mathbb{Z}$, qui est négligeable pour la mesure de Lebesgue, est-ce qu'il faut montrer que $\mathbb{Z}$ est l' "ensemble négligeable maximal" sur lequel le prédicat est faux ?
Je ne comprends pas pour quoi est introduit dans la définition un "il existe", et je me retrouve embêté dès lors qu'il y a plusieurs ensembles négligeables sur lesquels considérer mon prédicat. Pourriez-vous m'aider à comprendre s'il vous plaît ? J'avoue que je me traîne cette incompréhension de "presque partout" comme un poids et ça commence à me gêner.
Réponses
-
Bonjour,
Je ne vois aucune différence entre les deux définitions.
Si tu dois montrer une propriété pour presque tout nombre réel et que cette propriété est vraie sauf pour les nombres entiers relatifs, alors elle est bien vraie presque partout : en effet, l'ensemble $A=\Z$ est négligeable, et la propriété est vraie pour tout nombre $x$ appartenant à $\R\setminus\Z$.
Une propriété est vraie presque partout si elle est vraie sauf sur un ensemble négligeable.
Par exemple, si je prends la fonction $f\colon x\mapsto x+\sin(x)$, alors sa dérivée $f'\colon x\mapsto 1+\cos(x)$ est strictement positive presque partout sur $\R$.
En effet, on a $f'(x)\geqslant 0$ pour tout nombre réel $x$ et on a $f'(x)=0$ si et seulement si $x$ appartient à $\pi+2\pi\Z$, qui est une partie négligeable de $\R$. -
Hello,
je suis d'accord avec la première définition (qui me parait équivalente à celle de wikipédia, sauf erreur).
Prenons un exemple pour aider à comprendre : je munis $\mathbb{R}$ de la mesure de Lebesgue.
soit $f(x) = 0$ pour tout $x \neq 0$ et $f(0)=1$.
L'assertion "$P(x)$: f est continue en $x$" est vraie presque partout (ou encore $f$ est continue pp).
Cependant l'assertion n'est pas vraie sur $[-1,1]$ (puisque pas vraie en $0$).
Donc on ne peut certainement pas dire que
"elle est vraie sur toute partie non-négligeable"
ni que
"toute partie sur laquelle elle est fausse est négligeable".
A la rigeur on pourrait dire que l'ensemble des N={x tel que P(x) est faux} est negligeable, mais pour ça il faudrait savoir
que cet ensemble est mesurable. Ce serait vraie si la tribu est complète, sinon on se contenteras de dire que
l'ensemble des x tel que P(x) est faux est contenu dans un ensemble de mesure nulle.
Finalement, pour montrer qu'une propriété est vraie presque partout, deux manières de faire (équivalente) :
- Montrer que N est contenu dans un ensemble négligeable
- Montrer que P est vraie pour un ensemble de mesure pleine (dans le cas d'un espace de mesure finie, e.g. avec un mesure de probabilité).
Donc pour répondre à ta question il ne faut pas montrer que $\mathbb{Z}$ est l'ensemble maximal pour lequel le prédicat est faux, mais que pour tout réel qui ne soit pas dans $\mathbb{Z}$ la propriété est vraie. -
Merci beaucoup pour vos réponses éclairantes.
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