Anneaux des entiers de $\C$

Bonsoir, j'ai une question sur l'anneau des entiers de $\C$ noté $\mathcal O$. Dans ce document de Perrin https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~perrin/Sevres/pgcd-ppcm.pdf à la page 6, il dit que que $\mathcal O$ ne possède pas d'élément irréductible, l'argument étant que si $a\in \mathcal O\setminus \{0\}$ alors $a=\sqrt a \sqrt a$ (avec une définition convenable de la racine) est une décomposition non triviale de $a$. Cependant, je n'arrive pas à montrer que si $a\in \mathcal O$ alors $\frac{1}{\sqrt a}$ n'est jamais dans $\mathcal O$. Si l'on prend le cas de $a=2$, on voit bien ce qu'il se passe, le polynôme minimal de $\sqrt 2$ sur $\Q$ est $X^2-2$ mais le polynôme minimal de $\frac{1}{\sqrt 2}$ sur $\Q$ est $X^2-\frac{1}{2}$ qui n'est pas dans $\Z[X]$. Cependant je n'arrive pas à généraliser ce raisonnement. Quelqu'un saurait m'aider ?

Réponses

  • Si $P\in\Z[X]$ est le polynôme minimal de $z\in\mathcal{O}$ non nul, sais-tu exprimer le polynôme minimal de $z^{-1}$ en fonction de $P$?
  • Si $z\in \mathcal O$ non nul a pour polynôme minimal $P\in \Z[X]$ alors le polynôme minimal de $\frac{1}{z}$ est $\frac{1}{P(0)}P^*$ avec $P^*$ le polynôme réciproque de $P$. A partir d'ici il faudrait montrer que $P(0)$ ne peut pas être +1 ou -1, ce qui ferait que le terme constant de $\frac{1}{P(0)}P^*$ qui est $\frac{1}{P(0)}$ n'est pas dans $\Z$...
  • Sauf que $P(0)$ peut très bien valoir $1$ ou $-1$, par exemple si $z$ est une racine de l'unité ! Mais ce n'est pas grave, puisque si $\sqrt a$ est une racine de l'unité, $a$ aussi et $a$ est inversible, donc non irréductible.
  • Dans la même idée : $P(0)$ est au signe près le produit des racines de $P$, donc si $P(0)=\pm 1$, alors ses racines sont des éléments inversibles de l’anneau $\mathcal{O}$.
  • Les racines de $X^2 - 3X +1$ sont $\frac{3 + \sqrt 5}{2}$ et $\frac{3 - \sqrt 5}{2}$ et sont inverses l'une de l'autre.
    Comme dit plus haut, un élément inversible d'un anneau n'est pas, par définition, irréductible.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • On considère l'égalité $a=\sqrt{a}\sqrt{a}$.

    Si $\sqrt{a}$ est inversible, alors $a$ aussi, donc $a$ n'est pas irréductible.
    Si $\sqrt{a}$ n'est pas inversible alors $a$ est produit de deux éléments non inversibles, donc $a$ n'est pas irréductible.
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