Topologie algébrique

Bonjour à tous,

J'aimerais commencer à m'initier à la topologie algébrique.
Pour cela, j'ai trouvé le polycopié de Frédéric Paulin, qui m'a l'air pas mal. Question 1 : d'après vous, y a-t-il d'autres supports plus adaptés à un débutant ? Je précise que mon but est d'avoir un point de vue global sur le sujet puis d'approfondir les notions de persistance homologique utilisées en traitement d'images.

Question 2 : pensez-vous qu'il y a beaucoup de prérequis pour bien comprendre un cours de topologie algébrique ? Je demande parce que le polycopié de Frédéric Paulin commence par quelques remarques sur des foncteurs, etc, mais je n'ai malheureusement pas fait de théorie des catégories. Si oui, lesquels ? Et connaissez-vous des bons supports en ligne (je suis autodidacte) pour s'y initier ?

Mon parcours est le suivant : MPSI/MP (bonne maîtrise du programme de prépa), école d'ingénieur où j'ai fait de la théorie de la mesure et de l'intégration, des probas, des stats, de l'optimisation, de l'analyse fonctionnelle et un peu D'EDP, des systèmes dynamiques et un peu de géométrie différentielle. Vous pouvez considérer que je maîtrise un minimum ces sujets.
Merci d'avance !

[Frédéric Paulin prend toujours une majuscule. AD]

Réponses

  • Es-tu à l'aise avec les rudiments de topologie ?
  • Bonsoir Maxtimax,

    Oui, je maîtrise plutôt bien la topologie des espaces métriques et des espaces vectoriels normés, et à l'occasion dun cours danalyse fonctionnelle, j'ai pu voir un peu de topologie générale.
  • Ok. Bon, dans ce cas-là, je ne saurais pas vraiment te répondre au sujet du poly de Paulin, je ne l'ai pas lu.

    Ce que je peux par contre te dire c'est que le poly d'Ilia Itenberg devrait être très bien (celui qui est sur son site, "ENS, Topologie Algébrique") - en tout cas son cours l'était.

    Si tu es plus intéressé-e par l'homologie persistante, alors je pense que tu peux sans trop de souci sauter la partie sur les revêtements (même si c'est une théorie magnifique, et je te suggère d'y jeter un oeil un de ces jours si tu as le temps) et les compléments sur l'homotopie et passer directement à l'homologie.

    Seul bémol de ce cours: la définition des CW-complexes est vraiment nulle. Tu pourras aussi passer ça en première lecture, et considérer qu'un CW-complexe est juste un objet un peu plus fancy qu'un complexe simplicial.

    Ce cours a l'avantage de ne pas utiliser de catégories - c'est un peu dommage dans l'absolu mais si tu veux éviter, ce cours le fait.

    (par ailleurs, je pensais que l'homologie persistante en général requerrait un certain niveau de catégories, mais visiblement si tu t'intéresses plus aux applications, ce n'est pas le cas)

    je ne sais pas si ce sont les meilleurs conseils, mais voilà ce que j'en pense. Après ça dépend un peu de tes motivations aussi, j'ai pris très sérieusement ton " puis d'approfondir les notions de persistance homologique utilisées en traitement d'images.", je ne sais pas si tu voulais autant appuyer là dessus que ce que j'ai interprété (par conséquent j'ai orienté un peu ma réponse en fonction des applications de la topologie algébrique, plutôt qu'en fonction de la topologie algébrique elle-même, c'est pour ça que j'ai suggéré de sauter les revêtements et les compléments sur l'homotopie par exemple; et c'est aussi pour ça que je ne t'ai pas conseillé d'apprendre quelques trucs sur les catégories)
  • Merci infiniment Maxtimax, c'est le genre de réponse que j'attendais.

    Ce que j'en déduis : dans l'optique de s'approprier "rapidement" les bases de la topologie algébrique pour aller "vite" sur des notions d'homologie persistante et de traitement d'images, je peux bosser sur le poly que tu mentionnes en sautant les parties que tu indiques.

    Dans un second temps, si cela m'intéresse, pour bien approfondir les choses, je peux lire un peu de théorie des catégories et bosser sur les deux polys (Paulin et Itenberg), ce qui me permettrait de prendre un peu de hauteur sur tout ça. Tu valides ce plan de bataille ? (Ma question vient du fait que je suis autodidacte, et que j'ai la mauvaise habitude de multiplier les supports pour travailler avec "le meilleur point de vue", ce qui me freine plus qu'autre chose puisque je ne m'y retrouve plus...).
  • Oui, ça peut marcher ainsi.
    Après, si ton but est réellement d'aller le plus rapidement (ce qui peut tout à fait être un but valable), il y a peut être plus efficace, par exemple un traitement "axiomatique" de l'homologie: un traitement où on t'expliquerait comment ça marche, sans rentrer dans les détails de l'implémentation. En pratique on a rarement besoin de plus (en fait il y a un théorème qui nous dit qu'on n'a pas besoin de plus théoriquement :-D )

    J'avoue ne pas savoir si ce serait préférable, ni même si un tel traitement existe sous forme de poly.
  • Super, merci beaucoup !

    Mon but n'est pas vraiment d'aller "le plus vite possible"; j'aimerais, dans un premier temps, faire "le minimum" pour aller jusqu'à l'homologie persistante mais pour que tout soit proprement fait dans le même temps. Je ne sais pas si c'est très clair, mais l'idée est d'avoir qqch de 100% cohérent où rien n'est parachuté et de minimal.

    Je vais donc partir sur le plan précédent !
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