Somme des rangs moyens

Yendre

Bonjour chers tous
Je cherche à montrer que $\sum^{q}_{i=1}\boldsymbol r^{\star}(i)=q(q+1)/2.$ dans le probème suivant :
soit $\boldsymbol r=\{\boldsymbol r(j)\}_{j=1,2,\cdots,q}$ un classement avec exaequo de $q$ objets. On définit le rang moyen associé à l'objet $i$ par
\[
\boldsymbol r^{\star}(i)=\frac{\boldsymbol \lambda_{\boldsymbol r}(\boldsymbol r(i))+1}{2}+\sum_{j=1}^{\boldsymbol r(i)-1}\boldsymbol \lambda_{\boldsymbol r}(j),\qquad\forall i\in \{1,\cdots,q\},

\] où $\lambda_{\boldsymbol r}(j)$ désigne l'effectif du rang $j$ dans le classement $r$.
Si quelqu'un a bien une idée. Merci d'avance.

gerard0

Bonsoir.

Tu es sûr de ta formule ? Ce ne serait pas plutôt :
$$\boldsymbol r^{\star}(i)=\frac{\boldsymbol \lambda_{\boldsymbol r}(\lambda_{\boldsymbol r}+1)}{2}+\sum_{j=1}^{\boldsymbol r(i)-1}\boldsymbol \lambda_{\boldsymbol r}(j),\quad,\forall i\in \{1,\cdots,q\}\qquad ?

$$ Si tes valeurs sont classées par ordre croissant (*), ça revient à attribuer à une séquence d’ex-æquo la moyenne entre les termes extrêmes, qui est justement la moyenne des rangs qu'ils auraient eu si on les avait classés entre eux :
dans 1 2 2 2 5, on remplace 2,2,2 par 3,3,3, car la moyenne de 2,3,4 est justement $3 = \frac{2+4}2$.
Voir aussi la formule sur la somme d'éléments d'une suite géométrique.

En montrant que si un individu n'est pas ex-æquo son rang n'est pas changé, on achève la preuve.

Cordialement.

(*) ça change la numérotation des individus, mais pas la somme de leurs rangs, ni de leurs rangs moyens.

Yendre

Merci Gerard0 pour votre réponse.

Cependant, la formule que j'ai donnée est correcte et on ne peut pas avoir $\boldsymbol r=(1,2,2,2,5)$ mais $\boldsymbol r=(1,2,2,2,3)$.

Je continue toujours de chercher.
Merci

talbon

Bonsoir,

C'est vrai que ta formule est juste, mais Gerard0 t'a néanmoins donné la clé.
[-] Combien vaut la somme des entiers de $1$ à $k$ ?
[-] Supposons que tu n'aies aucun ex æquo. La formule est-elle vérifiée ?
[-] Supposons que tu aies $k$ premiers ex æquo. Quel rang commun faut-il leur attribuer pour que la somme de ces rangs soit égale a $1+\cdots + k$ ?
[-] À quoi sert le terme $\sum_{j< r(i)} \lambda_r(j)$ dans la formule ?

Remplace par des valeurs concrètes si tu bloques. Avec tout ça tu dois pouvoir montrer le résultat.

PS. +1 pour $1, 2, 2, 2, 5$ :-D Cette formule marche aussi bien avec $1, 2, 2, 2, 3$ ceci dit...

gerard0

Euh... Yandre, quand il y a 3 deuxièmes, le suivant est cinquième.

Mais s'il ne s'agit pas de rangs (comme dans les tests de rangs), alors je ne sais pas de quoi on parle.

Talbon : cette somme permet de compter les précédents et de ne pas repartir à 1. Pour le cinquième de mon exemple, elle vaut 4 (pour ma formule, évidemment). Les $\lambda_r(j)$ étant les effectifs de ceux qui ont un rang inférieur.
En fait non, puisque dans mon exemple, ça devrait donner 1+3+3+3 = 10 puisque $\lambda_r(2)=3$ et idem pour 3 et 4 ??
En fait, il y a sans doute un problème supplémentaire d'indiçage : S'il y a q valeurs, et des ex-æquo, le nombre de classes de valeurs différentes est inférieur à q.

Je suis de plus en plus dubitatif, et sur la formule, et sur les notations. Alors qu'il est quasi évident que, une fois les ex-æquo renotés à la moyenne des rangs qu'ils occupent, la somme des rangs redevient $1+2+..+q = \frac{q(q+1)}2$

Cordialement.

talbon

Soit je me trompe :-D, soit il y a confusion du fait des notations. Tandis que $i$ est un indice unique associé à un participant ($1\leq i\leq q$), $j$ est un rang.

$1,2,2,2,5,5,7 \longrightarrow 1,1+\frac{4}{2},1+\frac{4}{2},1+\frac{4}{2},(1+3)+\frac{3}{2},(1+3)+\frac{3}{2},(1+3+2)+1 \longrightarrow 1, 3, 3, 3, 5.5, 5.5, 7$. (Dans cet exemple $\lambda_r(3)=\lambda_r(4)=\lambda_r(6)=0$.)

(Enfin, pour le moment on a perdu Yendre.)
Bien cordialement.