Espérance conditionnelle totale conditionnée

paf

$\renewcommand{\E}{\mathbb E}\renewcommand{\P}{\mathbb P}$
Bonsoir,
Soient $X$ une variable aléatoire intégrable et $(A_i)$ une partition de l'univers $\Omega$. On trouve sur Wikipedia le théorème suivant, sorte de "formule de l'espérance totale" :
$$\E(X) = \sum_{i} \E(X\mid A_i)\P(A_i).

$$ Si maintenant $B$ est un événement quelconque, l'égalité suivante est-elle vraie ?
$$\E(X\mid = \sum_{i} \E(X\mid A_i)\P(A_i\mid .
$$ Ou alors faut-il des hypothèses supplémentaires (par exemple entre $B$ et les $A_i$) ?
Ou bien y a-t-il une variante de cette 2e égalité qui est vraie ?

paf

Personne n'a d'idée ?

Calli

Bonjour,
Ton égalité est vraie lorsque $B$ et les $A_i$ sont de probas non nulles et $B=\bigsqcup_i A_i$ à un ensemble négligeable près.
Pour le montrer, on peut utiliser la définition de l'espérance conditionnée par un évènement $\Bbb E(X\mid A):=\dfrac{\Bbb E(X\cdot{\bf 1}_A)}{\Bbb P(A)}$, la définition d'une proba conditionnelle et le fait que ${\bf 1}_B = \sum_i {\bf 1}_{A_i}$ p.s..
Autre possibilité de preuve : en notant $(\Omega,\Bbb P)$ l'espace probabilisé d'origine et $\Bbb P_B$ la mesure de proba conditionnelle à $B$, on a $\Bbb E_{(\Omega,\Bbb P)}(X\mid A) = \Bbb E_{(B,\Bbb P_B)}(X_{|B}\mid A)$ pour tout évènement $A\subset B$, donc il suffit d'appliquer la formule de l'espérance totale classique sur l'espace $(B,\Bbb P_B)$.

En revanche, si l'hypothèse $B=\bigsqcup_i A_i$ à un négligeable près n'est pas vérifiée, ton égalité n'a aucune raison d'être vraie, et elle ne l'est pas en général.

paf

Effectivement, la preuve est beaucoup plus facile avec les bonnes hypothèses. Merci beaucoup Calli.