Moi ce qui m’émerveille, ce sont les propriétés des nombres entiers. Déjà, le théorème de Fermat de Noël, dans sa lettre au R. P. Mersenne du 25 décembre 1640 : « Tout nombre premier, qui surpasse de l'unité un multiple du quaternaire, est une seule fois la somme de deux quarrés » (Œuvres, tome II, p. 213).
Et par la suite la loi de réciprocité quadratique, découverte par Legendre, et énoncée clairement par lui avec le caractère qu'il a inventé http://www-irem.univ-paris13.fr/site_spip/IMG/pdf/roger_cuculiere_loireciprocitequadratique.pdf.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Quelques émerveillements pour moi, certains déjà cités :
- le paradoxe de Banach-Tarski
- la formule de Cauchy (la connaissance sur le bord d'une fonction holomorphe implique sa connaissance à l'intérieur)
- les équations différentielles universelles (équations dont toute fonction continue est solution en un sens faible) -avec le recul je suis moins émerveillé, pour certaines raisons.
- un théorème de Slyusarchuk, https://link.springer.com/article/10.1023/A:1010687922737. Il énonce que l'opérateur différentiel à gauche de l'équation est un homéomorphisme de $BC^1$ vers $BC^0$ (il y a aussi une version avec les presque-périodiques) si et seulement si $f$ en est un de $\R$ sur lui-même
- le théorème de Riemann sur les séries semi-convergentes (l'EDIT pour rajouter celui-ci que j'avais oublié)
Von Neumann et les automates cellulaires.
Julia et les itérations de fonctions rationelles.
Et, restrospectivement seulement (sur le coup je n'ai pas vraiment compris que c'était important), le théorème de Cayley-Hamilton (initié par Cayley et Hamilton mais apparemment dû à Frobenius dans sa forme générale).
J'ai constaté que plus on est ignorant et plus on s'émerveille. Je ne parle pas des émerveillements ci-dessus (attendez avant de me jeter des pierres...), je parle de moi plutôt.
Plus précisément, lorsque j'étais jeune le prof de math avait besoin du déterminant pour un chapitre du cours, mais il n'avait pas le temps de l'introduire rigoureusement. Du coup il s'est contenté de nous montrer comment le calculer en le développant par rapport à une ligne. Puis il nous a dit que quelle que soit la ligne qu'on choisissait pour développer le déterminant on obtenait toujours le même résultat (qui était "par définition" le déterminant). Je ne me souviens plus s'il en a rajouté une couche en disant que le développement par les colonnes donnait aussi le même résultat.
Et moi j'étais émerveillé et frustré en même temps et je me demandais comment pouvait-on faire pour démontrer que quelle que soit la ligne choisie on obtenait toujours le même résultat... :-?
raoul mon ami plus on est ignorant et plus on est heureux
Citation : Essaye avec une formule de politesse plus convenable, le contexte de l'exercice, ton niveau actuel d'étude et en expliquant les initiatives que tu as prises pour voir ce que ça donne ?. JLapin
Le savant doute, il est malheureux
Le sage réfléchit; il est malheureux
L'ignorant affirme; il répond à tout ce qu'on lui demande c'est merveilleux non ? il est donc heureux
Citation : Essaye avec une formule de politesse plus convenable, le contexte de l'exercice, ton niveau actuel d'étude et en expliquant les initiatives que tu as prises pour voir ce que ça donne ?. JLapin
Ce n'est pas de moi et je ne suis pas sûr du choix correct de tous les mots, mais l'idée principale est là :
"Les plus grands savants braquent leurs plus puissants microscopes et télescopes, tentant de percer les mystères respectifs des infiniments petit et grand et sont sans explications sur la plupart des phénomènes qu'ils découvrent.
A contrario, n'importe quel bon vivant aviné qui scrute le fond de sa bouteille prétend, à qui veut bien l'écouter, y trouver là les réponses aux plus grands secrets de l'univers..."
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Les heureux de Shtam sont des hommes et femmes de parole. Ils restent fixés sur leurs positions. Quand un "shtaimer" parle à raoul de ses péchés (ses demonstrations), c'est généralement pour en rajouter un.
Citation : Essaye avec une formule de politesse plus convenable, le contexte de l'exercice, ton niveau actuel d'étude et en expliquant les initiatives que tu as prises pour voir ce que ça donne ?. JLapin
Citation : Essaye avec une formule de politesse plus convenable, le contexte de l'exercice, ton niveau actuel d'étude et en expliquant les initiatives que tu as prises pour voir ce que ça donne ?. JLapin
Mon récent émerveillement est que la passion et l'apprentissage efficace des mathématiques est directement corrélée avec l'anéantissement des feuilles de brouillons et la musculation de la main qui écrit, et qu'il faut à tout prix bannir la réflexion, même de quelques secondes, démunie de feuilles de brouillon et non plus jamais faire d'économies de feuilles.
Code_Name : ce qui marche pour certain-e-s marchent moins pour d'autres; il n'y a pas d'absolu. Moi il me faut les deux, des réflexions sans feuille, et des moments sur feuille.
Maxtimax: Oui bien sûr mais moi j'ai l'impression que même dans mes réflexions sans feuilles, je dois à un moment quand même écrire quelque chose rien que pour la clarté ou la conclusion, donc quitte à tout écrire ca travaille le poignet!
raoul.S: Je pense que ce n'est pas utile car avoir une seule feuille en vue est un handicap, désormais j'écris toujours en gardant au moins la feuille précédente à côté.
raoul.S : c'est peut-être seulement moi, mais je me suis rendu compte récemment d'à quel point j'étais beaucoup plus motivé, beaucoup plus performant, et beaucoup plus heureux en réfléchissant sur feuille que sur tablette (j'ai à peu près la même).
Initialement, j'avais considéré cette tablette comme une aubaine ("plus besoin de brouillon, plus de gâchis" etc. etc.) et donc je faisais à peu près tout dessus, mais en repassant récemment sur feuille (un peu au hasard) je me suis rendu compte de la différence.
Je ne sais pas trop l'expliquer (ce n'est pas seulement la question de "feuille précédente" que mentionne Code_Name, je les regarde à peu près aussi souvent dans les deux cas), mais "ça marche mieux".
Code_Name: une question de goûts ;-) c'est plus compliqué de sortir une feuille quand tu fais une insomnie :-D
En fait je me suis fait cette réflexion car j'ai fait le rapprochement avec l'activité du programmeur.
Pour programmer on écrit des codes que l'on exécute au fur et à mesure jusqu'à ce que l'on trouve le résultat souhaité. On se lasse beaucoup moins de taper sur un clavier que d'écrire sur une feuille de papier, c'est pourquoi l'activité du programmeur est considérée comme moins "abstraite" en générale vu qu'il s'agit simplement de taper et appuyer sur la touche entrée (pour faire simple, évidemment il faut aussi du brouillon pour le programmeur).
Je me suis donc dit qu'en maths c'est essentiellement la même chose sauf qu'on a plus tendance à avoir la flemme de tout rédiger sur des feuilles et donc on passe aussi pas mal de temps à réfléchir (ou rêvasser dans mon cas...).
Mais si on s'appliquait avec autant d'assiduité que le programmeur à rédiger en ignorant la peine du poignet et le poids des feuilles, on pourrait devenir plus efficace :-)
@Maxtimax ah tiens ça m'intéresse car je me tâtais à l'acheter en fait. C'est surtout qu'ils disent qu'on a l'impression d'écrire sur du papier. Donc tu me dis qu'il y a quand même une différence non négligeable ?
Ceci-dit es-tu sûr que le modèle que tu possèdes est équivalent à celui que j'ai indiqué ?
raoul.S : J'ai la version 1, donc pas exactement le même modèle mais j'ai vu des gens avec celui que tu indiques, et ça m'avait l'air similaire en termes de sensation.
Personnellement, je pense que ça reste un super outil pour prendre des notes (de cours, ou sur des bouquins, des pdfs), mais, pour une raison qui m'échappe, quand il s'agit de me motiver à travailler, ou de travailler à proprement dit, je suis beaucoup plus efficace et investi sur papier. C'est peut-être une question de sensation, je ne sais pas. C'est possible aussi que la (minuscule) barrière psychologique de l'allumage se soit traduit pour une raison ou une autre par une énorme barrière dans mon cerveau. Je n'en sais rien :-D je partage juste une impression
J'ai le modèle 2 et la sensation est très proche du papier, c'est vraiment très agréable pour écrire. Je m'en sers pour préparer tous mes enseignements depuis que je l'ai !
La seule chose qui ne marche pas bien est le partage d'écran.
Un des premiers émerveillements que j'ai pu ressentir au niveau des Mathématiques, c'est quand j'ai découvert comment était constitué le triangle de Pascal lors d'un exercice sur la formule du binôme de Newton, dans un rappel sur les raisonnements par récurrence. J'avais beaucoup apprécié la façon dont on pouvait très aisément retrouver les termes avec le triangle pour pouvoir développer ce qu'on souhaitait.
Un autre émerveillement, je le dois également à un très bon professeur que j'admire énormément pour sa passion pour le nombre d'or et la suite de Fibonacci : C'est la limite du rapport de deux termes successifs de la suite de Fibonacci qui tend vers le nombre d'or au fur et à mesure qu'on s'approche d'une infinité de termes.
Que les pôles du cercle sur la sphère de Riemann dont l'image par projection stéréographique est la droite critique se projettent en le nombre d'or et son conjugué a renforcé ma foi en RH et en l'harmonie des maths.
Je ne sais pas trop où poster, donc si les admin. veulent changer....
Je crois que mon plus grand émerveillement c'est la droite d'Euler d'un triangle. Que ces 3 points soient alignés, wouah.... Pourquoi? Je trouve ça fabuleux. Il y aussi la démonstration de la construction au compas seul du centre d'un cercle. Napoléon a-t-il vraiment résolu ce problème? Qu'il y ait peut-être toujours des nombres premiers jumeaux aussi loin qu'on aille m'interpelle... Et dans un autre ordre d'idée, à quoi peuvent bien servir tous ces cardinaux inaccessibles, faiblement, fortement inaccessibles, de Woodin, super compacts, .... et j'en passe? Penser qu'il y a plus de cardinaux que d'atomes dans l'univers...Oh la la ... Ceci dit, il y a aussi plus d'entiers que d'atomes dans l'univers (si l'univers est fini)...
Mes émerveillements vont du "paradoxe" de Banach-Tarski au théorème de compacité de la logique du premier ordre et en particulier l'application du théorème de Löwenheim-Skolem appliqué à ZFC et sa conséquence sur le théorème de Cantor.
Et j'ajoute la notion d'ultra-produit.
C'est un peu orienté, peut-être
Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour Jean-Louis, Toute petite, ce fut la résolution d'équations, j'aimais bien les petits problèmes triviaux qu'on trouvait dans les magazines mais je les résolvais en bidouillant, j'avais trouvé ça tellement plus pratique ! Étudiante, ce fut le concept de matroïdes, outil qui m'a plu pour résoudre des problèmes de théorie des graphes à l'aide d'algèbre linéaire Dernièrement, ce fut la géométrie projective (version analytique avec les coordonnées homogènes), bluffée par le fait que des problèmes hors de ma portée (étant plus ou moins nulle en géométrie) deviennent très abordables. Mais surtout, et je pense pour encore bien longtemps, c'est la classification des problèmes en NP-complet ce qui assure, du moins tant qu'on n'a pas P=NP, une certaine inefficacité de résolution. En fait, c'est vraiment le fait qu'une notion me semble bien pensée pour répondre à des questionnements qui me semble merveilleux plutôt qu'un résultat en lui-même.
In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
Je suis jaloux car beaucoup de vos émerveillements sont hors de mes connaissances! Pour ma part je suis souvent émerveillé, pas forcément par des résultats très forts, mais plutôt par des idées astucieuses ou encore par le fait de transformer un problème qui apparait compliqué en problème simple. Quel plaisir quand un ou une élève s'exclame en classe "Han! J'ai compris!".
Pour être un peu concret quand même, la notion de propriété indécidable m'est apparu tout à fait incroyable, et j'ai d'ailleurs eu du mal à la croire...
The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
J'ai le souvenir de quelques émerveillements en entrant à l'université. Par exemple démontrer que la série des inverses des nombres premiers diverge, ça me semblait complètement invraisemblable. J'étais écartelé entre la démonstration implacable dont j'appréciais la beauté et mon intuition qui me disait que c'était totalement impossible.
Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
On doit pouvoir affirmer que l'émerveillement de Cantor est "il y a autant de point dans un carré que dans un de ses côtés", puisqu'il écrivit : "je le vois mais je n'y crois pas"
Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
J'ai toujours trouvé fascinant que l'on puisse calculer une "aire sous une courbe" en déterminant simplement une primitive et en calculant une différence de deux images.
J'ai adoré découvrir la technique de calcul d'intégrales par résidus. A l'époque on pouvait même calculer à la main, grâce à cette technique, des intégrales que Wolfram était incapable de calculer de façon exacte.
Une des plus sensationnelles à mon goût est : $$\int_{-1}^1 \frac{1}{x} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \ln\left(\frac{2x^2+2x+1}{2x^2-2x+1}\right) \, dx = 4\pi \,\text{arcotg} \sqrt{\phi}$$ où $\phi$ est le nombre d'or.
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Et par la suite la loi de réciprocité quadratique, découverte par Legendre, et énoncée clairement par lui avec le caractère qu'il a inventé
http://www-irem.univ-paris13.fr/site_spip/IMG/pdf/roger_cuculiere_loireciprocitequadratique.pdf.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
- le paradoxe de Banach-Tarski
- la formule de Cauchy (la connaissance sur le bord d'une fonction holomorphe implique sa connaissance à l'intérieur)
- les équations différentielles universelles (équations dont toute fonction continue est solution en un sens faible) -avec le recul je suis moins émerveillé, pour certaines raisons.
- un théorème de Slyusarchuk, https://link.springer.com/article/10.1023/A:1010687922737. Il énonce que l'opérateur différentiel à gauche de l'équation est un homéomorphisme de $BC^1$ vers $BC^0$ (il y a aussi une version avec les presque-périodiques) si et seulement si $f$ en est un de $\R$ sur lui-même
- le théorème de Riemann sur les séries semi-convergentes (l'EDIT pour rajouter celui-ci que j'avais oublié)
Julia et les itérations de fonctions rationelles.
Et, restrospectivement seulement (sur le coup je n'ai pas vraiment compris que c'était important), le théorème de Cayley-Hamilton (initié par Cayley et Hamilton mais apparemment dû à Frobenius dans sa forme générale).
Plus précisément, lorsque j'étais jeune le prof de math avait besoin du déterminant pour un chapitre du cours, mais il n'avait pas le temps de l'introduire rigoureusement. Du coup il s'est contenté de nous montrer comment le calculer en le développant par rapport à une ligne. Puis il nous a dit que quelle que soit la ligne qu'on choisissait pour développer le déterminant on obtenait toujours le même résultat (qui était "par définition" le déterminant). Je ne me souviens plus s'il en a rajouté une couche en disant que le développement par les colonnes donnait aussi le même résultat.
Et moi j'étais émerveillé et frustré en même temps et je me demandais comment pouvait-on faire pour démontrer que quelle que soit la ligne choisie on obtenait toujours le même résultat... :-?
Si seulement c'était vrai.
En lisant le shtam parfois j'ai des doutes.
...
Le savant doute, il est malheureux
Le sage réfléchit; il est malheureux
L'ignorant affirme; il répond à tout ce qu'on lui demande c'est merveilleux non ? il est donc heureux
"Les plus grands savants braquent leurs plus puissants microscopes et télescopes, tentant de percer les mystères respectifs des infiniments petit et grand et sont sans explications sur la plupart des phénomènes qu'ils découvrent.
A contrario, n'importe quel bon vivant aviné qui scrute le fond de sa bouteille prétend, à qui veut bien l'écouter, y trouver là les réponses aux plus grands secrets de l'univers..."
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
raison pour laquelle la rubrique Shtam peut servir de thérapie, on y trouve plein de gens heureux. Moi je suis en cure chez eux.
raoul.S: Je pense que ce n'est pas utile car avoir une seule feuille en vue est un handicap, désormais j'écris toujours en gardant au moins la feuille précédente à côté.
Initialement, j'avais considéré cette tablette comme une aubaine ("plus besoin de brouillon, plus de gâchis" etc. etc.) et donc je faisais à peu près tout dessus, mais en repassant récemment sur feuille (un peu au hasard) je me suis rendu compte de la différence.
Je ne sais pas trop l'expliquer (ce n'est pas seulement la question de "feuille précédente" que mentionne Code_Name, je les regarde à peu près aussi souvent dans les deux cas), mais "ça marche mieux".
Code_Name: une question de goûts ;-) c'est plus compliqué de sortir une feuille quand tu fais une insomnie :-D
Pour programmer on écrit des codes que l'on exécute au fur et à mesure jusqu'à ce que l'on trouve le résultat souhaité. On se lasse beaucoup moins de taper sur un clavier que d'écrire sur une feuille de papier, c'est pourquoi l'activité du programmeur est considérée comme moins "abstraite" en générale vu qu'il s'agit simplement de taper et appuyer sur la touche entrée (pour faire simple, évidemment il faut aussi du brouillon pour le programmeur).
Je me suis donc dit qu'en maths c'est essentiellement la même chose sauf qu'on a plus tendance à avoir la flemme de tout rédiger sur des feuilles et donc on passe aussi pas mal de temps à réfléchir (ou rêvasser dans mon cas...).
Mais si on s'appliquait avec autant d'assiduité que le programmeur à rédiger en ignorant la peine du poignet et le poids des feuilles, on pourrait devenir plus efficace :-)
Ceci-dit es-tu sûr que le modèle que tu possèdes est équivalent à celui que j'ai indiqué ?
Personnellement, je pense que ça reste un super outil pour prendre des notes (de cours, ou sur des bouquins, des pdfs), mais, pour une raison qui m'échappe, quand il s'agit de me motiver à travailler, ou de travailler à proprement dit, je suis beaucoup plus efficace et investi sur papier. C'est peut-être une question de sensation, je ne sais pas. C'est possible aussi que la (minuscule) barrière psychologique de l'allumage se soit traduit pour une raison ou une autre par une énorme barrière dans mon cerveau. Je n'en sais rien :-D je partage juste une impression
La seule chose qui ne marche pas bien est le partage d'écran.
Un autre émerveillement, je le dois également à un très bon professeur que j'admire énormément pour sa passion pour le nombre d'or et la suite de Fibonacci : C'est la limite du rapport de deux termes successifs de la suite de Fibonacci qui tend vers le nombre d'or au fur et à mesure qu'on s'approche d'une infinité de termes.
Et j'ajoute la notion d'ultra-produit.
C'est un peu orienté, peut-être
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Toute petite, ce fut la résolution d'équations, j'aimais bien les petits problèmes triviaux qu'on trouvait dans les magazines mais je les résolvais en bidouillant, j'avais trouvé ça tellement plus pratique !
Étudiante, ce fut le concept de matroïdes, outil qui m'a plu pour résoudre des problèmes de théorie des graphes à l'aide d'algèbre linéaire
Dernièrement, ce fut la géométrie projective (version analytique avec les coordonnées homogènes), bluffée par le fait que des problèmes hors de ma portée (étant plus ou moins nulle en géométrie) deviennent très abordables.
Mais surtout, et je pense pour encore bien longtemps, c'est la classification des problèmes en NP-complet ce qui assure, du moins tant qu'on n'a pas P=NP, une certaine inefficacité de résolution.
En fait, c'est vraiment le fait qu'une notion me semble bien pensée pour répondre à des questionnements qui me semble merveilleux plutôt qu'un résultat en lui-même.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
A l'époque on pouvait même calculer à la main, grâce à cette technique, des intégrales que Wolfram était incapable de calculer de façon exacte.
Une des plus sensationnelles à mon goût est : $$\int_{-1}^1 \frac{1}{x} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \ln\left(\frac{2x^2+2x+1}{2x^2-2x+1}\right) \, dx = 4\pi \,\text{arcotg} \sqrt{\phi}$$ où $\phi$ est le nombre d'or.