Ajouter quelques racines et clôturer

Magnéthorax

Bonjour tout le monde,

Depuis un bon moment un phénomène m'étonne : quand on construit $\mathbb{C}$ comme le quotient $\mathbb{R}[X]/(X^2+1)$, on obtient un corps algébriquement clos. Sait-on caractériser les couples $\left(\mathbb{K},P\right)$ avec $\mathbb{K}$ corps et $P$ dans $\mathbb{K}\left[X\right]$ irréductible tels que $\mathbb{K}\left[X\right]/P$ est algébriquement clos ? Je précise que mes connaissances en algèbre commutative sont faibles. Ainsi, je ne sais pas si cette question est idiote (car trop facile ou trop générale) ou si elle est digne d'intérêt.

M

Poirot

Oui on sait le faire, c'est une conséquence du théorème d'Artin-Schreier qui énonce notamment qu'un corps $K$ a sa clôture algébrique de degré fini sur $K$ si et seulement si $K$ est un corps réel clos (et accessoirement le degré en question est forcément $2$).

Maxtimax

Juste pour alimenter la réponse de Poirot:

"je ne sais pas si cette question est idiote (car trop facile ou trop générale) ou si elle est digne d'intérêt." ; ta question est tout à fait digne d'intérêt, et d'ailleurs la réponse de Poirot montre bien que c'est une question difficile (le théorème d'Artin-Schreier n'est pas une trivialité).

Magnéthorax

Merci

julian

Ne serait-ce pas C(X)? Au lieu de C...?

Juggleforlife

Non Julian, on construit C et pas C[X].

Intuitivement sur les cardinaux, C[X] est plus gros que R[X].
et R[X] quotienté par quelque chose ne peut pas grossir donc cela ne peut pas être C[X].

On pourrait probablement justifier rigoureusement en introduisant les grands cardinaux.

Math Coss

Je ne comprends pas : quelle différence entre le cardinal de $\C$ et le cardinal de $\R$ ?

Maxtimax

Non ça n'a rien à voir avec les cardinaux de $\R,\C$, encore moins les grands cardinaux.

Mais $\R[X]/(X^2+1)$ est de dimension $2$ sur $\R$, comme $\C$, donc tout va bien.

Julia Paule

Pour reprendre ce que dit Juggleforlife, on peut considérer que $\mathbb{R}[X]/(X^2+1)$ est l'ensemble des polynômes de $\mathbb{R}[X]$ de degré $\leq 1$ (avec pour la loi multiplicative $X^2=-1$).

Alors on a : $\mathbb{R}[X]/(X^2+1) \subsetneq \mathbb{R}[X] \subsetneq \mathbb{C}[X]$, donc on ne peut pas avoir $\mathbb{R}[X]/(X^2+1) = \mathbb{C}[X]$.

Magnéthorax

Bonjour tout le monde,

pour ma part, et cela a sans doute été dit, $\mathbb{R}\left[X\right]/(X^2+1)$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension $2$ sur $\mathbb{R}$ ce qui n'est pas le cas de $\mathbb{C}\left(X\right)$.

M