Puissances d'une matrice stochastique

Bonsoir à tous,

Je dispose d'une matrice stochastique $M$ dont tous les coefficients sont strictement positifs.

J'ai réussi à démontrer que la suite $(M^{k})$ a pour limite une matrice dont toutes les lignes
sont identiques, disons, toutes égales à $L=[\ell_{1},\ell_{2},\ldots,\ell_{n}]$.

A l'aide de Maple, j'ai fait quelques simulations et il me semble (mais ce n'est qu'une
supposition) que tous les coefficients $\ell_{k}$ sont strictement positifs.

J'ai donc deux questions :

1. Ma conjecture est-elle correcte ?
2. Si oui, comment la démontre-t-on ? C'est peut-être lié au fait que $1$ est valeur propre
de $M$ et que toutes les autres valeurs propres ont un module strictement inférieur à $1$ ?
3. Sinon, quelqu'un pourrait-il me proposer un contre-exemple ?

Merci par avance aux spécialistes qui pourront m'aider...

Bonne soirée,

$\alpha$-Nico

Réponses

  • Bonjour,

    Je suis loin d'être un spécialiste, mais il me semble que si tous les coefficients de $M$ sont supérieurs à $a>0$, alors, pour tout $k>0$, il en est de même de ceux de $M^k$.
    En effet: si $\forall i,j \in [\![1;n]\!]\:\:\:(M^k)_{ij} \geqslant a,\:\:$ alors $\:\:(M^{k+1}) _{i j} = \displaystyle \sum_{s=1}^n M_{is}(M^n)_{sj}\geqslant a \sum_{s=1}^n M_{is} = a$
    $(M^k)_{ij}\geqslant a,\qquad\displaystyle \lim_{k\to +\infty} M^k =A, \qquad \lim_{k\to +\infty}( M^k)_{ij} =A_{ij}, \qquad A_{ij} \geqslant a>0.$
  • Merci à Bisam pour ce lien !

    Et merci à LOU16 pour cette idée très simple et qui répond parfaitement bien à ma question...
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