Primitive de la réciproque

dans Analyse
Bonjour
Je propose un énoncé simple et, il me semble, pas si courant que ça d'après mes lectures. Je le trouve sympa à donner en début de première année de prépa pour travailler la notion de composition.
Soient $I$ et $J$ deux intervalles non vides et non réduits à un point.
Soit $f$ une fonction de $I$ dans $J$.
On suppose qu'il existe une fonction $F$ de $I$ dans $J$ dérivable telle que $F'=f$.
On suppose $f$ bijective.
On suppose la bijection réciproque de $f$, notée $g$ pour l'occasion, dérivable.
Je propose un énoncé simple et, il me semble, pas si courant que ça d'après mes lectures. Je le trouve sympa à donner en début de première année de prépa pour travailler la notion de composition.
Soient $I$ et $J$ deux intervalles non vides et non réduits à un point.
Soit $f$ une fonction de $I$ dans $J$.
On suppose qu'il existe une fonction $F$ de $I$ dans $J$ dérivable telle que $F'=f$.
On suppose $f$ bijective.
On suppose la bijection réciproque de $f$, notée $g$ pour l'occasion, dérivable.
- Justifier que pour tout $x$ dans $J$ l'expression $xg\left(x\right)-{F}\circ{g}\left(x\right)$ a un sens. On note $G$ la fonction de $J$ dans $\mathbb{R}$ définie par
$$
G\left(x\right)=xg\left(x\right)-{F}\circ{g}\left(x\right).
$$ - Justifier que $G$ est dérivable sur $J$ et calculer sa dérivée $G'$. Commentaire ?
Réponses
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Cela ressemble furieusement à une IPP déguisée, non ?
-
@bisam : oui. Ca ne coûte pas plus cher que ce que tout le monde fait pour $\ln$ (et les réciproques des trigo circulaires). Soit on le présente comme ça dans un cours de début d'année où on apprend à dériver une composée, soit on fait chercher la formule dans un cours où on apprend l'IPP.
-
C'est mignon et bien rédigé.
Je trouverais cela un tantinet plus intéressant si tu faisais montrer que $g$ est dérivable (en admettant éventuellement qu'elle est continue) mais c'est d'un tout autre niveau !
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Bonjour!
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