Équation x1+x2+...+xp=n

jrbrazza

Bonjour.

On note S_p,n le nombre de solutions de l'équation x₁+x₂+...+x_p=n, où les x_i sont des entiers naturels et n un entier naturel.
Je cherche à démontrer que S_p+1,n égale la somme allant de k=0 à k=n des S_p,k.
Je cherche depuis tout à l'heure et je suis bloqué, ne sachant pas quoi faire.
Merci d'avance pour vos réponses.

jrbrazza

(p est un entier naturel non nul)

MrJ

Il faut que tu regardes quelles sont les valeurs possibles pour $x_{p+1}$. Ensuite, tu peux regrouper les décompositions de $n$ en $p+1$ termes selon la valeur de $x_{p+1}$.

jrbrazza

Je ne vois pas comment ça pourrait m'aider dans l'exercice, et x_p+1 peut prendre ''plein'' de valeurs, non?

PetitLutinMalicieux

Bonjour

Tu as une nouvelle variable pour décomposer n. Elle va forcément prendre des unités aux autres variables, si elle en prend. Combien va-t-elle prendre d'unités aux autres ? 0, si elle prend rien et reste à 0. Jusqu'à un maximum de n, si elle dépossède toutes les autres. Dans chacun de ces cas, il s'agirait de savoir comment les p vieilles variables vont contribuer à la dotation de la nouvelle (p+1)ème variable.

jrbrazza

Mais comment peut-on être sûr du nombre exact de solutions ? Je n'ai pas bien compris.

PetitLutinMalicieux

Parce que tu as fait tous les cas possibles.

babsgueye

Salut

@jrbrazza, est-ce que tu es sur que ce que tu veux démontrer est vrai ?
Explique mieux ton problème en donnant un exemple avec de petites valeurs de $n$ et $p$. Tes solutions sont-elles des p-uplets ?
Tu peux aussi regarder du coté de ''partition d'un entier'' dans le net, pour mieux comprendre le problème que tu poses.

PetitLutinMalicieux

:-) Ton objection est étrange. Si tu penses que c'est faux, c'est à toi de trouver un contre-exemple. Les exemples qui marchent ne prouvent rien.

babsgueye

Je pense plutôt avoir posé une question...euh deux, et donné une indication. Si tu peux répondre à la place de @jrbrazza, c'est aussi cool.

Cordialement.

PetitLutinMalicieux

Hum. Sur l'indication, justement, ce n'est ni la partition d'un entier (sans ordre), ni la composition d'un entier (avec ordre), car il faut considérer aussi les zéros (le tout avec ordre).

babsgueye

Ah ok, les solutions sont des p-uplets avec des zéros possibles.

Tu pourrais @jrbrazza essayer de montrer dans un premier temps que tout p-uplet $(x_1, x_2, \cdots, x_{p+1})$ tel que : $x_1 + x_2 + \cdots + x_{p+1} = n$ est de la forme $(x_1, x_2, \cdots, x_p, n - k)\,/\,x_1 + x_2 + \cdots + x_p = k,\,k\,\in\,[\![0; n]\!]$.
Ensuite que la fonction $f : \,\bigcup_{k=0}^{n}\{(x_1, x_2, \cdots, x_p)\,/\,x_1 + x_2 + \cdots + x_p = k\}\,\rightarrow\,\bigcup_{k=0}^{n}\{(x_1, x_2, \cdots, x_p, n - k)\,/\,x_1 + x_2 + \cdots + x_p = k\}$ qui à $(x_1, x_2, \cdots, x_p)\,/\,x_1 + x_2 + \cdots + x_p = k\,\mapsto\,(x_1, x_2, \cdots, x_p, n - k)$ est bijective (injective, surjective).