Parallélogramme entier

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Bonjour

existe-t-il un parallélogramme dont les mesures des côtés ET des diagonales sont tous des entiers naturels ?

J'ai le sentiment que non (du moins, j'ai cherché et n'en ai point trouvé...) mais comment le prouver ?

Merci.

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Je précise : parallélogramme "non aplati" :-)

gai requin

Un rectangle de côtés $3$ et $4$. :-D

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re-re-précision : un parallélogamme non rectangle ! (:P)

zephir

Un losange côté 5 diagonales 6 et 8 ?

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rhooo.... non.... trop trivial ! ;-)
je recherche un parallélogramme qui ne soit ni un rectangle ni un losange.

En fait, je cherche un quadruplet d'entiers $(L, \ell, D, d)$ distincts tels que $2(L^2 + \ell^2) = D^2 + d^2$. Bien sûr, j'en trouve mais à chaque fois je tombe sur la trivialité $D=L+\ell$ et $d=L-\ell$ (ce qui donne un plg aplati...)

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J'ai le sentiment qu'au delà des cas trivaux (rectangle, losange, plg aplati), il n'est pas possible que ces 4 grandeurs soient des entiers. Si trois en sont, le quatrième est alors irrationnel. Mais je n'arrive pas à le prouver.

Dom

Bonsoir,

Si je n'ai pas fait d'erreur...
De plus, l'une des hauteurs ainsi que le triangle rectangle "caché" ont des mesures entières.
Reste à trouver si l'on peut avoir la seconde hauteur entière...


Cordialement

Dom

pappus

Bonne Nuit à tous et faites de beaux rêves
$a=39$, $b=25$ pour les côtés
$d=34$, $d'=56$ pour les diagonales.
Exercice: calculer l'aire
Amicalement
[small]p[/small]appus

Math Coss

Voici je crois la plus petite solution « non dégénérée » : \[2\times(7^2+4^2)=9^2+7^2.\]Et voici en principe tous les quadruplets $(L,\ell,D,d)$ avec $d< D\le20$ et $\ell< L$ :

(7, 4, 9, 7)
(8, 1, 11, 3)
(7, 6, 11, 7)
(9, 2, 13, 1)
(10, 5, 13, 9)
(9, 8, 13, 11)
(9, 7, 14, 8)
(11, 7, 14, 12)
(11, 2, 15, 5)
(11, 3, 16, 2)
(12, 1, 17, 1)
(11, 8, 17, 9)
(13, 6, 17, 11)
(13, 1, 18, 4)
(14, 8, 18, 14)
(13, 11, 18, 16)
(13, 4, 19, 3)
(14, 3, 19, 7)
(11, 10, 19, 9)
(12, 11, 19, 13)
(15, 10, 19, 17)
(17, 6, 19, 17)
(13, 9, 20, 10)

Math Coss

Voici les quadruplets à la pappus avec $D=56$.

(39, 7, 56, 2)
(35, 19, 56, 6)
(38, 14, 56, 12)
(41, 7, 56, 18)
(42, 2, 56, 20)
(37, 21, 56, 22)
(36, 28, 56, 32)
(39, 25, 56, 34)
(43, 21, 56, 38)
(49, 15, 56, 46)
(44, 28, 56, 48)
(42, 34, 56, 52)
(49, 25, 56, 54)

et d'autres à la Dom avec $L=56$.

(56, 19, 63, 55),
(56, 31, 65, 63),
(56, 6, 70, 38),
(56, 37, 71, 63),
(56, 32, 72, 56),
(56, 3, 73, 31),
(56, 27, 73, 49),
(56, 22, 74, 42),
(56, 17, 75, 35),
(56, 12, 76, 28),
(56, 3, 77, 19),
(56, 7, 77, 21),
(56, 29, 77, 45),
(56, 47, 77, 69),
(56, 2, 78, 14),
(56, 34, 78, 50)

pappus

Bonne Nuit à tous et faites de beaux rêves
Un ptit dernier avant de partir (au dodo)?.
$a=2300449$, $b=1413409$, $d=891458$, $d'=3712800$, $S=159789614880$
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Ce serait mieux placé dans le forum d'arithmétique que dans celui de géométrie!!

gai requin

Bonne nuit pappus,

En effet, $4S^2=(dd')^2-(a^2-b^2)^2$.

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Merci à vous tous pour vos contributions et pour avoir infirmé ma fausse conjecture !
C'est très chouette...
Vous avez trouvé ces solutions via un programme informatique visiblement ?

Chaurien

Le problème est le même pour des longueurs entières ou rationnelles, puisque l'équation est homogène.
Il a un riche passé, dont on peut prendre connaissance dans :
Leonard Eugene Dickson, History of the theory of numbers, Volume II, Diophantine Analysis, pp. 205-207.
Dans cette histoire on trouve d'abord Bachet de Méziriac dans son Diophanti Alexandrini Arithmeticorum (1621) et ensuite de nombreux mathématiciens, notamment Euler en 1782 : https://scholarlycommons.pacific.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1753&context=euler-works
Bonne journée.
Fr. Ch.

Ludwig

Un pot de yaourt est de forme cylindrique.
On cherche un pot dont le rayon, le périmètre de sa base et sa hauteur sont des nombres entiers.
Autrement dit, existe-t-il un pot de yaourt entier ?

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@Ludwig, j'avais justement choisi ainsi le titre du topic pour attirer l'attention ! (:D

ev

@ Ludwig.

Pour un yaourt entier, il convient d'éviter le lait d'Echiré

e.v.

Dom

Il faut éviter $\ La-\pi-Hour \ $ aussi dans cet exercice !

rferreol

Dom a dit :

Bonsoir,

Si je n'ai pas fait d'erreur...
De plus, l'une des hauteurs ainsi que le triangle rectangle "caché" ont des mesures entières.
Reste à trouver si l'on peut avoir la seconde hauteur entière...


Cordialement

Dom

La seconde hauteur vaut 56*30/34=840/17, donc si on multiplie tout par 17, les deux hauteurs seront entières, non ?
Sinon je crois que tu as répondu au problème 552-2 de la revue au fil des maths, non ?
https://afdm.apmep.fr/wp-content/uploads/2024/06/552_de-ligt_552_solo.pdf