Équivalent d'une série entière

Reinhard

Bonjour

Je m'intéresse à la somme, pour $t$ réel :
\[ \Phi (t) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{ t^k }{k!} \sqrt{k}

\] Évidemment, par le critère de d'Alembert, cette somme converge pour tout $t$. Avec une comparaison + Cauchy-Schwarz :
\[
\exp(t) \leq \Phi (t) \leq C t^2 \exp (t) ,\quad\text{ où }\quad C \leq \zeta (3),

\] [mais on s'en fout].
J'aimerais bien trouver un équivalent de $\Phi (t) $, mais je n'arrive pas a en calculer un. J'ai essayé sur ordinateur de calculer la quantité $\Phi (t) \exp(-t) / \sqrt{t} $ et cela a l'air de converger vers 1. Mais je n'arrive pas à avancer, même en ayant "deviné" un équivalent et en essayant de majorer/minorer à partir de cela.
Avez-vous une idée ou une ressource pour continuer ?
Bonne journée.

noobey

Hello !
Je m'intéresse à une loi $X(t)$ de [large]P[/large]oisson de paramètre $t$ et à $E[\sqrt{X(t)}] = e^{-t} \sum t^k/k! \sqrt{k}$

$X(t)$ est approximée par une loi normale de paramètres $(t,t)$ quand $t$ est grand.
Donc $\displaystyle E[\sqrt{X(t)}] \sim \int_R \sqrt{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-(x-t)^2/2t}dx\quad$ (il faudra mieux justifier ça...)
Ensuite je pose $u = (x-t)/\sqrt{t}$ et $dx = \sqrt{t}du$
$\displaystyle \int_R \sqrt{t} \sqrt{\sqrt{t}u+t}\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-u^2/2}du
= \sqrt{t}\int_R \sqrt{u/\sqrt{t}+1}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}du.$
Et un théorème de convergence dominée te dirait que $\displaystyle\int_R \sqrt{u/\sqrt{t}+1}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}du \to 1$

Bref je ne suis pas très rigoureux du tout mais on a un truc qui ressemble à ce que tu as.

[Siméon Poisson (1781-1840) prend toujours une majuscule. AD]

side

supp

Reinhard

Hello,

merci pour les réponses. En effet, il s'agit de calculer l'espérance de la racine d'une loi de Poisson. Comme j'avais une petite idée de l'équivalent de la série entiere associée, je voulais une preuve formelle de l'équivalent.


Si je note $g$ la fonction racine carrée, il y a toujours l'astuce de développer une variable de Poisson de parametre $\lambda$ autour de son espérance $\mu = \lambda t$ :

\[ g(X) = g((X - \mu) + \mu) = g(\mu) + g'(\mu) ( X - \mu ) + \frac{g''(\mu) }{2} ( X - \mu)^2 + ... \] et de prier pour que les termes deviennent négligeables sous espérance. Mais je ne parviens pas a expliquer mathématiquement et rigoureusement le fait que les termes en $o((X - \mu)^2) $ vont faire du $O \left( \frac{1}{t} \right) $.

P.

On reprend l'approche de noobey en posant $X(t)=t+\sqrt{t}Z(t)$ ou $X(t)$ suit une loi de Poisson de moyenne $t$. Le theoreme central limite dit que la loi de $Z(t)$ tend vers $N(0,1)$ ce que on traduit par le theoreme de Paul Levy: $\mathbb{E}(e^{ivZ(t)})\to_{t\to \infty}e^{-v^2/2}$ uniformement en $v.$ Cela entraine $$\mathbb{E}(e^{ivZ(t)/\sqrt{t}})\to_{t\to \infty}1$$ egalement uniformement en $v.$ On introduit l'astuce suivante pour lineariser $\sqrt{A},$ et plus generalement $A^a,$ avec des sommes d'exponentielles afin d'utiliser les fonctions caracteristiques : pour $A>0$ alors pour $a>0$
$$A^{a}=C(a)\int_{0}^{\infty}\frac{1-\cos (Av)}{v^{a+1}}dv$$ (poser $u=Av$ pour s'en convaincre). Et donc avec $A(t)=1+\frac{Z(t)}{\sqrt{t}}$
$$t^{-a}\mathbb{E}(X(t)^a)=\mathbb{E}\left[\left(1+\frac{Z(t)}{\sqrt{t}}\right)^a\right]=C(a)\int_{0}^{\infty}\frac{1-\mathbb{E}(\cos (A(t)v))}{v^{a+1}}dv\to_{t\to \infty}1.$$ Bref, pour $a>0$
$$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^k}{k!}k^a\sim_{t\to \infty}e^t t^a.$$