Dérivation partielle
Bonjour à tous
J'aimerais savoir d'où vient la dérivée temporelle $u_t$ de la fonction $u$ définie à la première ligne de ma capture d'écran jointe. On peut supposer $f \in C^\infty_c$ (infiniment dérivable et à support compact), et $\Phi$ est le noyau de la chaleur, mais j'imagine que la formule serait vraie pour toute $\Phi \in C^\infty$ et à décroissance rapide.
Y a-t-il une formule ? J'imagine que c'est très simple...
J'aimerais savoir d'où vient la dérivée temporelle $u_t$ de la fonction $u$ définie à la première ligne de ma capture d'écran jointe. On peut supposer $f \in C^\infty_c$ (infiniment dérivable et à support compact), et $\Phi$ est le noyau de la chaleur, mais j'imagine que la formule serait vraie pour toute $\Phi \in C^\infty$ et à décroissance rapide.
Y a-t-il une formule ? J'imagine que c'est très simple...
Réponses
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C'est le calcul de la dérivée d'une fonction de la forme $t \mapsto \int_0^t g(t, s) \,\mathrm{d}s$, qui se fait facilement en disant qu'une telle fonction vaut $F(t, t) - F(t, 0)$, où $x \mapsto F(t, x)$ est une primitive de $x \mapsto g(t, x)$. Je te laisse chercher comment dériver une telle chose, et constater que ça te donne ce que tu cherches !
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Ah ok je pensais, vu la façon de l'écrire, qu'il y avait une formule connue ou que c'était immédiat.
Merci, je m'y mets :-) -
supp
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Bonjour!
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