ouvert de IR

Sasha1

bonsoir,

Est-il vrai que tout ouvert de $\R$ est reunion dénombrable d'intervalles ouverts ? Ca fait longtemps que je ne fais plus de telle choses et j'aurais besoin de savoir si c'est vrai, et d'avoir la preuve si possible

merci beaucoup !

GLaG

C'est vrai.

Preuve possible : cet ouvert $O$ est réunion de ses composantes connexes. Qui sont des connexes de $\R$, donc ce sont des intervalles.
Qui sont ouverts car $O$ l'est (considérer une extremité éventuellement contenue dans $O$...). Et enfin, comme chacun de ces intervalles ouvert contient un rationnel, l'ensemble des intervalles est dénombrable.

Sasha1

merci mais je voudrais un argument qui ne parle pas de connexité : en disant par exemple que chaque point de l'ouvert $O$ a un voisinage $V$ contenu dans $O$, puis en prennant un autre element de $O$ hors de $V$, on arrive par construction à montrer que $O$ est une reunion disjointe d'intervalles ouverts (dénombrable car ils contiennent tous un rationnel différent), mais je n'arrive pas a trouver "l'algorithme"

gougou

On peut dire, que puisque $O$ est ouvert, à chaque $x$ correspond un $r_x>0$ tel que $]x-r_x,x+r_x[ \subset O$. Ensuite il suffit de montrer l'égalité $\displaystyle O=\bigcup_{x\in O} ]x-r_x,x+r_x[$ à l'aide de deux inclusions toute deux évidentes et le tour est joué.

Plus généralement, dans tout espace métrique (la séparabilité étant importante) un ouvert est réunion de boules ouvertes !!

gougou

gougou

j'avais pas lu le mot dénombrable : c'est vrai qu'il faut parler de connexité. Ou contourner, en associant à chaque $x$ l'intervalle maximal, de telle sorte que tous les intervalles de la reunion soient disjoints, et prendre un rationnel dans chaque intervalle pour l'indicer. Ainsi la réunion est dénombrable
gougou

Sasha1

avec les "ouverts maximaux" ca me convient bien

merci a vous!

GLaG

mais les ouverts maximaux sont exactement les composantes connexes...

GG5

bonjour,
il est plus simple, me semble-t-il de dire que R admet la base dénombrable d'ouverts constitués des intervalles ouverts d'extrémités rationnelles puisque tout voisinage contient un tel intervalle. Ainsi un ouvert, réunion des voisinages de tous ses points, est réunion dénombrable d'intervalles.

Sasha1

merci merci, mais je voulais un argument simple sans parler de composantes connexes ni de base d'ouverts Je dois expliquer ça en 5 min à des gens qui n'ont pas fait de topologie (ou très peu)

GG5

P.S. ... réunion des voisinages de tous ses points, parties de cet ouvert, ...

Christophe78

Ce qui fait marcher les choses sur $\R$, c'est qu'il est séparable c'est à dire qu'il contient une partie dénombrable dense ($\Q$ par exemple).
De manière générale cette propriété est vraie sur un espace métrique si et seulement si il est séparable.
Christophe78