Tucker
Bonjour,
Comme Pappus semble apprécier les transversales passant par le centre de gravité, voilà un problème inspiré par une question de Kadir Altintas sur la liste Euclid:
$ABC$ est un triangle quelconque de centre de gravité $G$ et $(D)$ est une tranversale passant par $G$.
La droite $(D)$ coupe $(BC),(CA),(AB)$ respectivement en $A_1,B_1,C_1$.
Les triangles $AB_1C_1,BC_1A_1,CA_1B_1$ ont pour centres de gravité respectifs $G_A,G_B,G_C$.
Le triangle $G_AG_BG_C$ a pour centre de gravité $G'$.
1)Alors $G'$ est encore sur $(D)$.
J'ai testé quatre exemples:
$(D)$ est la droite d'Euler, $(GX_6),(GX_{110})$ ou $(GX_{32})$.
Aucun des points $G'$ associés n'est dans l'ETC.
2)Le lieu des points $G'$ quand $(D)$ tourne autour de $G$ est une cubique $\Gamma$.
3)Les asymptotes de $\Gamma$ sont les droites passant par $G$ parallèles aux côtés de $ABC$.
4)Les médianes de $ABC$ coupent $\Gamma$ en trois points $A_2,B_2,C_2$ formant un triangle image de $ABC$ par l'homothétie de centre $G$ et de rapport $\dfrac{1}{3}$.
5)Il semblerait que $\Gamma$ soit la cubique de Tucker $K015$ du triangle $A_2B_2C_2$.
Elle serait alors tangente à son ellipse de Steiner circonscrite.
Une équation de $\Gamma$ avec Morley circonscrit est:
Cordialement,
Rescassol
Comme Pappus semble apprécier les transversales passant par le centre de gravité, voilà un problème inspiré par une question de Kadir Altintas sur la liste Euclid:
$ABC$ est un triangle quelconque de centre de gravité $G$ et $(D)$ est une tranversale passant par $G$.
La droite $(D)$ coupe $(BC),(CA),(AB)$ respectivement en $A_1,B_1,C_1$.
Les triangles $AB_1C_1,BC_1A_1,CA_1B_1$ ont pour centres de gravité respectifs $G_A,G_B,G_C$.
Le triangle $G_AG_BG_C$ a pour centre de gravité $G'$.
1)Alors $G'$ est encore sur $(D)$.
J'ai testé quatre exemples:
$(D)$ est la droite d'Euler, $(GX_6),(GX_{110})$ ou $(GX_{32})$.
Aucun des points $G'$ associés n'est dans l'ETC.
2)Le lieu des points $G'$ quand $(D)$ tourne autour de $G$ est une cubique $\Gamma$.
3)Les asymptotes de $\Gamma$ sont les droites passant par $G$ parallèles aux côtés de $ABC$.
4)Les médianes de $ABC$ coupent $\Gamma$ en trois points $A_2,B_2,C_2$ formant un triangle image de $ABC$ par l'homothétie de centre $G$ et de rapport $\dfrac{1}{3}$.
5)Il semblerait que $\Gamma$ soit la cubique de Tucker $K015$ du triangle $A_2B_2C_2$.
Elle serait alors tangente à son ellipse de Steiner circonscrite.
Une équation de $\Gamma$ avec Morley circonscrit est:
-81*s3*(z^3 + s1*s3*z*zB^2 + s2*z^2*zB + s3^2*zB^3) + 3*(7*s2^2 + 33*s1*s3)*z^2 + 6*s3*(9*s3 + 17*s1*s2)*z*zB + 3*s3^2*(7*s1^2 + 33*s2)*zB^2 - 3*(7*s1*s2^2 + 6*s2*s3 + 13*s1^2*s3)*z - 3*s3*(7*s1^2*s2 + 6*s1*s3 + 13*s2^2)*zB + (5*s3*s1^3 + 4*s1^2*s2^2 + 6*s3*s1*s2 + 5*s2^3)=0
Cordialement,
Rescassol
Réponses
-
Merci Rescassol pour ce beau problème de géométrie affine qui rejoint le mien.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour,
ce problème pour la question 1, peut s'inspirer
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Le point de Gossard.pdf p. 14...
traité dans le cas de la droite d'Euler....
Sincèrement
Jean-Louis -
Bonjour,
Après vérification, $\Gamma$ est bien la cubique de Tucker du triangle $A_2B_2C_2$.
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour
Pour qui veut éviter des calculs et une équation de la cubique aussi compliqués que ceux de Rescassol, il est clair qu'en coordonnées cartésiennes dans n'importe quel repère - par exemple le repère $\left( A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right) $ -, on obtient avec un ou deux calculs très simples une représentation paramétrique de la cubique. Idem en barycentriques.
Remarque : $G$ est point acnodal (singularité isolée) de la cubique
Bien cordialement. Poulbot -
Bonjour,
En barycentriques, $\Gamma$ a pour équation $\displaystyle 4\sum_{cyclic}{x^3}-9\sum_{cyclic}{x^2y}+42xyz=0$, ou encore $4S_1^3 - 21S_1S_2 + 81S_3 = 0$ avec les fonctions symétriques de $x,y,z$.
Cordialement,
Rescassol
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