$f$ primitivable implique $|f|$ primitivable

Corto

Au détour d'internet je suis tombé sur cette question qui a piqué ma curiosité.

Soit $f$ une fonction primitivable, est-ce que $|f|$ est primitivable ?

Il n'y avait pas beaucoup plus de précisions dans l'énoncé, je vous propose donc deux définitions possibles.
1) Une fonction $f:\R \to \R$ est primitivable s'il existe une fonction $F : \R \to \R$, dérivable sur $\R$ et telle que $F' = f$.
2) Une fonction $f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\R)$ est primitivable s'il existe une fonction $F : \R \to \R$ continue, dérivable presque partout et telle que $F' = f$ pp.

Normalement j'ai la réponse aux deux questions mais je me suis dit que ce problème pourrait vous intéresser donc je ne mettrais pas de solution tout de suite sur ce fil. Si une autre définition que les deux données vous semble pertinente n'hésitez pas à la partager.

EDIT : merci de ne pas changer le titre AD.

gebrane

Je ne connais pas le définition 2 et je ne vois pas son intérêt. Pour la définition 1, $x\mapsto x$ est primitivable mais $x\mapsto |x|$ non.

gerard0

Heu ... Gébrane,

La fonction $x\mapsto \frac{x|x|}2$ n'est elle pas dérivable, de dérivée $x\mapsto |x|$ ?

Cordialement.

Chalk

Es-tu bien certain gebrane que $x\mapsto |x|$ n'admet pas de primitive (en tant que brave fonction continue) ?

Edit : une seconde trop tard ;-)

Corto

Gebrane : le théorème fondamental de l'analyse énonce le lien entre intégration et primitivation (ou dérivation, suivant comment on considère les choses) pour les fonctions continues.

L'intégrale de Lebesgue donne une théorie de l'intégration bien plus large que celle que connaissait Newton et Leibniz, il est donc naturel de se demander, dans la théorie de Lebesgue, quel lien unit l'intégration et la primitivation. Cela demande d'assouplir un peu la définition de primitive mais fait émerger la notion d'absolue continuité et du théorème de différentiation de Lebesgue. Comme je l'ai dit si les définitions proposées ici ne conviennent pas je suis ouvert à la discussion :-)

J'ai d'ailleurs un peu corrigé ma définition 2) : j'ai rajouté une hypothèse de continuité que j'avais oublié.

gebrane

J 'adore quand Gérard s'exprime avec HEU. j'ai lu rapidement et j'ai compris la question dans le sens si f est une primitive alors aussi |f| est aussi une motivé.
Je vais regarder de plus près la définition 2 de corto que je salue, pour bien saisir son importance

raoul.S

@gebrane "[Suffit-il, pour être soi-même, d'être différent des autres ? ]"... on dirait que tu es moi-même.

PS. fan de Cobra également ?

gebrane

oui un fan aussi

Riemann_lapins_cretins

Je poste juste pour saluer les avatars Cobra. Son opening me donnera à jamais envie de partir à l'aventure.

gebrane

Ok Corto, la définition 2 est la notion de primitives généralisés https://fr.wikipedia.org/wiki/Primitive

Calli

Bonsoir,
Pour la question 1, $f:x \mapsto [2x \sin(\frac1{x^2}) - \frac2x \cos(\frac1{x^2})] \times {\bf 1}_{\Bbb R^*}(x)$ est primitivable sur $\Bbb R$ en $x^2 \sin(\frac1{x^2}) {\bf 1}_{\Bbb R^*}(x)$. Mais $|f|$ ne possède pas de primitive sur $\Bbb R$ car $\int_0^1 |f| = +\infty$.

gebrane

Pour faire concurrence à Calli

La fonction f(x) = sin(1/x) avec f(0)=0 a une primitive sur R.

Qu'en est-il pour |f| ?

raoul.S

@Corto en fait toute fonction $f$ localement intégrable est primitivable selon ta définition 2), si pas d'erreur.

En effet si on considère la fonction continue $\displaystyle F:\R\to\R, F(x)\mapsto\int_0^x f(t) dt$ on a pour tout $h>0$ :

$\displaystyle \Big|\dfrac{F(x+h)-F(x)}{h} -f(x)\Big|= h^{-1}\Big|\int_x^{x+h} \left(f(t) -f(x)\right)dt\Big|\leqslant\\
\displaystyle h^{-1}\int_x^{x+h} |f(t) -f(x)|dt\leqslant h^{-1}\int_{x-h}^{x+h} |f(t) -f(x)|dt.$

Or cette dernière expression tend vers $0$ pour presque tout $x$ lorsque $h\to 0^{+}$ (théorème de différentiation de Lebesgue).

En recommençant avec $\displaystyle \Big|\dfrac{F(x-h)-F(x)}{-h} -f(x)\Big|$ on voit que cette expression tend également vers $0$ et donc $F$ vérifie les conditions voulues.
@Riemann_lapins_cretins (tu)

gebrane

raoul, pourquoi la continuité de $F$ est évidente ?

Soit $a<b$ et $x\in [a,b]$, on a $F(x+h)-F(x)=\int_x^{x+h}f(t)dt=\int_{\mathbb R} f(t)\chi_{[x,x+h]}(t)\mathrm d t.$
Mais $|f(t)\chi_{[x,x+h]}(t)|\leq |f(t)|\in L^1(a,b).$ On conclut par le TDC que $F$ est continue en $x$ et donc sur $[a,b]$ et donc sur $\mathbb R$.

raoul.S

@gebrane oui c'est pour ça. Mais bon vu que tu es moi tu aurais dû le savoir... B-)-

gebrane

raoul je ne le savais pas avant de l’écrire :-D

Corto

Bravo à tous, j'étais arrivé aux mêmes conclusions.

Pour le 1 j'avais utilisé la fonction $x\mapsto 1/x\sin(1/x^2)$ qui se primitive en $x\mapsto -\mathrm{Si}(1/x^2)/2$ où $\mathrm{Si}$ représente le sinus cardinal (c'est wolfram alpha qui a fait la primitivation pour moi). L'exemple de gebrane est à creuser, s'il est correct il diffère du mien et de celui de Calli car il ne repose pas sur la non intégrabilité (au sens de Riemann généralisé) de $|f|$.

Pour le 2 tout cela découle effectivement du théorème de différentiation de Lebesgue. J'avais pensé à mettre $f$ mesurable au lieu de localement intégrable mais alors on retrouve le même contre-exemple qu'à la question 1.

Chalk

Vous pouvez me rappeler comment la non-intégrabilité de |f| montre que ce ne peut pas être une derivée ?

Il me semblait qu'il y avait des dérivées non intégrables.

Corto

Je prend mon exemple. Si $|f|$ était la dérivée d'une fonction $F$ alors $F$ serait croissante et, par continuité sur $\R^*$, on aurait $F(x) = F(-1) +\int_{-1}^x |f(t)| \mathrm dt $ pour tout $x\in[-1;0[$. Le calcul de $\int_{-1}^0 |f(t)| \mathrm dt$ montre alors que l'on devrait avoir $F(x) \geq +\infty $ pour tout $x\geq 0$, ce qui contredit le fait que $|f|$ soit la dérivée de $F$.

Une dérivée peut-être non intégrable (comme l'est $f$ dans mon exemple) mais il faut tout de même que son intégrale soit semi-convergente.

Chalk

Ton exemple n'est pas défini sur $\mathbb R$ contrairement à ta consigne :-P

Merci beaucoup pour tes détails, c'est beaucoup plus clair à présent ;-)

Corto

La primitive que j'ai donnée se prolonge par continuité en $0$ et la dérivée de cette primitive en $0$ est $0$, il faut donc prolonger $x\mapsto 1/x\sin(1/x^2)$ par $0$ en $0$, c'est la seule valeur qui fonctionne.

Chalk

Ah oui bien sûr, je cherchais à prolonger la dérivée ce qui bien sûr ne marche pas, et puis si la dérivée étaient continue alors elle serait primitivable comme on l'a déjà mentionné ...

raoul.S

Je reprends l'exemple de gebrane ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2105286,2105598#msg-2105598.

En fait il fonctionne et on peut montrer que $|f|$ ne possède pas de primitive sur $\mathbb{R}$.

"Preuve :" Supposons que $F$ est une primitive de $|f|$. Alors $\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{x}\int_0^x |\sin(1/t)|dt = \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{F(x)}{x}=|f(0)|=0$.

Or pour tout entier $N>0$, $\displaystyle N\pi\int_0^{\frac{1}{N\pi}} |\sin(1/t)|dt \geqslant N\pi \sum_{k=N}^{+\infty}T_k$

où $T_k$ est l'aire "du triangle sous la courbe" dans l'intervalle $[\frac{1}{(k+1)\pi}, \frac{1}{k\pi}]$.

Vu que $T_k=\dfrac{1}{2\pi}(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1})$ on en déduit que $\sum_{k=N}^{+\infty}T_k=\dfrac{1}{2\pi N}$
et donc $\displaystyle N\pi\int_0^{\frac{1}{N\pi}} |\sin(1/t)|dt \geqslant \dfrac{1}{2}$.

Ceci prouve que $\displaystyle \forall x>0, \dfrac{1}{x}\int_0^x |\sin(1/t)|dt\geqslant \dfrac{1}{2}$ et contredit le fait que la limite est nulle.

gebrane

Raoul mon héros pour toujours.(tu)

Chaurien

Il est remarquable que cette célèbre fonction $f(x)=\sin \frac{1}{x}$ pour $x\neq 0$, et $f(0)=0$, donne une réponse à ce problème. Je vais me permettre une autre rédaction de cettte question.

$\bullet $ Soit $g=\left\vert f\right\vert $. La fonction $x\mapsto \int_{1}^{x}g(t)dt$ est $1$-lipschitzienne sur $\mathbb{R}_{+}^{\ast }$ et elle a donc une limite finie quand $x\rightarrow 0^{+}$, limite qui se note $\int_{1}^{0}g(t)dt$.
On définit de même $\int_{-1}^{0}g(t)dt$. Ceci permet de définir la fonction $x\mapsto G(x)=\int_{0}^{x}g(t)dt$ sur $\mathbb{R}$ tout entier, et cette fonction $G$ est continue sur $\mathbb{R}$ et dérivable sur $\mathbb{R}^{\ast }$, avec $G^{\prime }(x)=g(x)$ pour $x\in \mathbb{R}^{\ast }$.

On pourrait aussi remarquer que la fonction $g$ (comme la fonction $f$) est Riemann-intégrable sur tout segment de $\mathbb{R}$, ce qui conduit à la même conséquence, mais il faut connaître l'intégrale de Riemann.

$\bullet $ On a : $\lim_{x\rightarrow 0}G(x)=G(0)=0$. On en déduit, pour $n\in \mathbb{N}^{\ast }$ : $\displaystyle G(\frac{1}{n\pi })=\overset{+\infty }{\underset{k=n}{\sum }}(G(\frac{1}{k\pi })-G(\frac{1}{(k+1)\pi })=\overset{+\infty }{\underset{k=n}{\sum }}U_{k}$, où $U_{k}=\int_{\frac{1}{(k+1)\pi }}^{\frac{1}{k\pi }}\left\vert \sin \frac{1}{t}\right\vert dt=\int_{k\pi }^{(k+1)\pi }\frac{\left\vert \sin x\right\vert }{x^{2}}dx=\int_{0}^{\pi }\frac{\sin \theta }{(\theta +k\pi )^{2}}d\theta $. D'où l'encadrement : $\frac{2}{(k+1)^{2}\pi ^{2}}\leq U_{k}\leq \frac{2}{k^{2}\pi ^{2}}$.

Il en résulte : $\displaystyle G(\frac{1}{n\pi })\sim \overset{+\infty }{\underset{k=n}{\sum }}\frac{2}{k^{2}\pi ^{2}}\sim \frac{2}{n\pi ^{2}}$ quand $n\rightarrow +\infty $. D’où : $\lim_{n\rightarrow +\infty }n\pi G(\frac{1}{n\pi })=\frac{2}{\pi }$.

$\bullet $ Si la fonction $g$ était une fonction dérivée, soit $G_{1}$ sa primitive qui s'annule en $0$. La fonction $G_{1}-G$ serait constante sur $\mathbb{R}_{+}^{\ast }$ et comme cette fonction est continue sur $\mathbb{R}
$, donc en $0$, cette constante est nulle. Cette primitive serait donc $G(x)=\int_{0}^{x}g(t)dt$, et je reprends l'idée de
Raoul. S : $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{G(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{G(x)-G(0)}{x-0}=G^{\prime }(0)=g(0)=0$. Ceci impliquerait : $\lim_{n\rightarrow +\infty }n\pi G(\frac{1}{n\pi })=0$. Contradiction.
Si je ne me trompe, il s'agit d'un raisonnement par l'absurde, mais va savoir, Gaspard.

Bonne journée automnale.
Fr. Ch.
07/10/2020

Corto

Petit détail tout de même, avez-vous vérifié que $\sin(1/x)$ est réellement primitivable sur $\R$ ? J'ai l'impression que
\[
x\mapsto \int_0^x \sin(1/t) \mathrm dt

\] n'est pas dérivable en $0$. Dans tous les cas avec $x\mapsto \sin(1/x^2)$ ça devrait marcher.

Chaurien a écrit:

Si je ne me trompe, il s'agit d'un raisonnement par l'absurde, mais va savoir, Gaspard.

Héhé, tout dépend à qui tu demandes ;-)

Chaurien

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1438348,1438704#msg-1438704

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1495256,1495660#msg-1495660

gebrane

corto, on démontre bien que F est dérivable en 0 par des majorations.

christophe c

Je n'ai lu que les premiers posts, mais Raoul, il manque (pour les médias) un quelque soit, pour ne pas faire perdurer cette satanée tradition qu'il est implicite (et en fait n'est rien du tout, pas plus explicite qu'implicite chez les jeunes étudiants).

Sinon, je pense qu'il est bien évident que moult et moult fonctions $f$ sont telles que $|f|$ est la constante 1 (donc primitivable). Tu es donc :-D devant la gravissime sous-question existentielle de savoir si toutes les fonctions $f$ telles que $\forall x,\ f(x)\in \{-1;1\}$ sont des dérivées (et je sais que tu connais la réponse).

Corto

Gebrane : encore faut-il les faire ces majoration (:D

Je m'y colle donc. Soit $n\geq 2$ un entier on a
\[
\int_0^{\frac{1}{n\pi}}\sin(1/t)\mathrm dt = \sum_{k=n}^\infty \int_{\frac{1}{(k+1)\pi}}^{\frac{1}{k\pi}} \sin(1/t) \mathrm dt
\]
et cette égalité est justifiée puisque l'intégrale du membre de gauche est convergente (ou par convergence dominée si l'on veut utiliser Lebesgue).

La somme de Droite est une série alternée dont le terme général tend vers $0$, on peut appliquer le critère de Leibniz qui montre (mais on le savait déjà) que cette série est convergente et on obtient en plus la majoration

\[
\left| \sum_{k=n}^\infty \int_{\frac{1}{(k+1)\pi}}^{\frac{1}{k\pi}} \sin(1/t) \mathrm dt \right| \leq \left|\int_{\frac{1}{n\pi}}^{\frac{1}{(n-1)\pi}} \sin(1/t) \mathrm dt\right| \leq \frac{1}{\pi n(n-1)}.
\]
Prenons maintenant un $x\in [1/n\pi; 1/(n-1)\pi]$ quelconque on a
\[
\left|\frac{1}{x}\int_0^{x}\sin(1/t)\mathrm dt \right|= \frac{1}{x}\left|\int_0^{\frac{1}{n\pi}}\sin(1/t)\mathrm dt + \int_{\frac{1}{n\pi}}^x\sin(1/t)\mathrm dt \right| \leq n\pi \cdot \frac{2}{\pi n(n-1) } = \frac{2}{n-1}
\]
et donc
\[
\lim_{x\to 0 }\frac{1}{x}\int_0^{x}\sin(1/t)\mathrm dt = 0,
\]
ce qui démontre bien que $x\mapsto \int_0^{x}\sin(1/t)\mathrm dt$ est dérivable en $0$ et que sa dérivée vaut $0$.

La démonstration proposée par Chaurien est toute de même plus élégante et économe en latex !

gerard0

Bonjour Christophe.

Tu t'es trompé de question ! Celle dont tu parles est classique et simple. Ici, c'est f qui a une primitive (toi tu traites "|f| a une primitive").

Cordialement.

Chaurien

Soit $F(x)=\int_{0}^{x}\sin \frac{1}{t}dt$, je veux prouver que $F'(0)=0$.
Une IPP donne : $F(x)=x^{2}\cos \frac{1}{x}-\int_{0}^{x}2t\cos \frac{1}{t}dt$.
D'où pour $x>0$ : $\left\vert F(x)\right\vert \leq x^{2}\left\vert \cos \frac{1}{x}\right\vert
+\int_{0}^{x}2t\left\vert \cos \frac{1}{t}\right\vert dt\leq x^{2}+\int_{0}^{x}2tdt=2x^{2}$.
Etc.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

raoul.S

Merci Chaurien pour ta preuve ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2105286,2106300#msg-2106300, avec le calcul de la limite en plus. Mieux que mes triangles...

@CC il est où mon "quelque soit (sic)" qui n'est pas là ?

CC a écrit:

...la gravissime sous-question existentielle de savoir si toutes les fonctions $f$ telles que $\forall x,\ f(x)\in \{-1;1\}$ sont des dérivées (et je sais que tu connais la réponse)

À part les fonctions constantes, aucune de ces fonctions n'est une dérivée : Théorème de Darboux mon cher CC.

PS. Je ne sais pas pourquoi mais j'ai la désagréable impression d'être OShine qui répond à une de ces questions supplémentaires qu'on lui pose... B-)- Il fait comment pour tenir le coup ?

Chaurien

@ Raoul.S
Mais sans tes triangles, je n'aurais pas trouvé cette démonstration.
C'est ça l'utilité de ce forum.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

Chaurien

Cette fonction $f(x)=\sin \frac{1}{x}$ pour $x \neq 0$ et $f(0)=0$, est une source d'exemples et contre-exemples. Par exemple la fonction $g=|f|$ est une fonction qui satisfait à la propriété de Darboux des valeurs intermédiaires mais qui n'est pas une fonction dérivée.

gebrane

Chaurien, il manque un signe moins à ton ipp.
édit il ne manque rien. Une preuve plus simple est de considérer la fonction $x^2\cos(\frac 1x) $

christophe c

[large]@Gerard un grand merci!!! J'ai confondu A=>B et B=>A :-D:-D[/large]