EDP et fonction de Green
Bonjour à tous
J'aimerais comprendre la notion de fonction de Green pour résoudre une EDP de type
$$\mathcal{D} \varphi (x) = j(x),
$$ où $\mathcal{D}$ est un opérateur différentiel linéaire, $j$ une fonction continue.
On appelle fonction de Green toute solution $G$ de l'équation aux dérivées partielles linéaire, au sens des distributions
$$\mathcal{D}G =\delta_0.$$ Wikipédia dit alors ce qu'il y a dans le fichier joint, mais je ne comprends pas pourquoi ce raisonnement est justifié. Qu'est-ce que ça veut dire une distribution $G$ convolée avec une fonction continue $j$, pourquoi peut-on intervertir dérivation et somme, etc. ?
J'aimerais comprendre la notion de fonction de Green pour résoudre une EDP de type
$$\mathcal{D} \varphi (x) = j(x),
$$ où $\mathcal{D}$ est un opérateur différentiel linéaire, $j$ une fonction continue.
On appelle fonction de Green toute solution $G$ de l'équation aux dérivées partielles linéaire, au sens des distributions
$$\mathcal{D}G =\delta_0.$$ Wikipédia dit alors ce qu'il y a dans le fichier joint, mais je ne comprends pas pourquoi ce raisonnement est justifié. Qu'est-ce que ça veut dire une distribution $G$ convolée avec une fonction continue $j$, pourquoi peut-on intervertir dérivation et somme, etc. ?
Réponses
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Bonjour,
C'est ${\frak D}\,G=\delta _0$ et pas $=0$.
De ce que je sais, le raisonnement fonctionne quand $\frak D$ est à coefficients constants et $j\in{\cal E}'$. Le premier point parait nécessaire pour pouvoir dire que $ {\frak D}_x\,[G(x-y)] = ({\frak D}\,G)(x-y) = \delta_0(x-y)$ et conclure ${\frak D}\,\varphi = j$. Le second point permet de convoluer $j$ avec $G$ quelque soit $G$ (tant que c'est une distribution), mais ça peut être affaibli dans certains contextes. Par exemple, on peut imaginer remplacer "$j$ à support compact" par "$j$ une fonction intégrable" si $G$ est aussi une fonction intégrable.
J'ai l'impression que le raisonnement de Wikipédia est un raisonnement dans le vague, une méthode générale à justifier au cas par cas suivant ce qu'on a et ce qu'on veut faire dans le contexte. -
Oui bien sûr c'est $\delta_0$, faute de frappe, c'est corrigé !
C'est ce que j'ai fini par me dire aussi, je vais aller voir dans les bouquins, mais si quelqu'un a plus d'infos je prend
Merci !
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