Théorie de l'intégration

Bonjour,

Je travaille actuellement le poly de J-F Le Gall et j'ai un petit problème à la page 28.

Pour le théorème de dérivation sous le signe intégrale, il donne comme hypothèse :

Il existe g intégrable telle que |f(u, x) - f(u_0, x)| <= g(x) |u - u_0| (hypothèse 1).

Ensuite, il est explique qu'en pratique, on majore directement le module de la dérivée partielle par rapport à u (hypothèse 2) et que cela implique l'hypothèse précédente par le théorème des accroissements finis.

Il donne ensuite un exercice censé illustré que parfois, l'hypothèse 1 est nécessaire, et c'est là que je ne suis pas d'accord.

On se donne phi intégrable telle que xphi(x) est encore intégrable. On pose alors F(u) = intégrale ((u - x)_+ phi(x)) ( (u-x)_+ est la partie positive de (u-x)).
F est dérivable de dérivée : intégrale de -inf à u de phi(x).

Le problème est le suivant : quand je vérifie moi-même, j'ai les choses suivantes :

f(u, x) = (u - x)_+ phi(x). f est dérivable en tout u différent de x et j'obtiens que le dérivée partielle de f par rapport à f est : phi(x) indicatrice de (u>x), et cette quantité est majorée en module par le module de phi(x) donc je dispose de l'hypothèse 2 alors que cette exercice est censé montrer que l'hypothèse 1 est parfois nécessaire.

Qqun pourrait m'aider svp ?

PS: pour cette question, on suppose que la mesure est diffuse. Quel est l'intérêt de cette hypothèse svp ?

Réponses

  • Bonjour,
    Si tu regardes attentivement les hypothèses (ii) et (iii) puis (ii)’ et (iii)’ tu verras une inversion de quantificateurs. On passe de "en $u_0$ on a p.p. bidule" et "pour tout $u\in I$, on a p.p. bidule" à "p.p. on a $\forall u\in I$, bidule". Les premiers "p.p." sont pour un $u$ fixé, alors que le dernier "p.p." est uniforme en $u$.
    Ici, pour tout $u$, ton intégrande $f$ est dérivable par rapport à $u$ p.p. (partout sauf en $u$), mais il n'existe pas d'ensemble négligeable $X$ telle que $\forall u\in I, \forall x\notin X$, $f$ est dérivable par rapport à $u$ en $(u,x)$. Car $X$ doit contenir au moins $I$ !

    Le fait que la mesure est diffuse permet que le singleton $\{u_0\}$ soit de mesure nulle, ce qui est crucial dans le "p.p.".
  • Le fait que la mesure est diffuse est important car comme tu l'as dit, pour tout $x \in \mathbb R$, la fonction $u \mapsto f(u,x)$ n'est pas dérivable en $x$. S'il existait un $x \in \mathbb R$ tel que $\mu(\{x\}) > 0$ alors l'intégrale de $y \mapsto \frac{\partial f}{\partial u}(x, y)$ relativement à la mesure $\mu$ n'aurait pas de sens puisque cette fonction n'est pas définie $\mu$-presque partout.

    Comme l'a dit Calli, la subtilité provient d'une interversion de quantificateurs concernant le $\mu$-presque partout.
  • J'ai vérifié au brouillon et c'est très clair, merci beaucoup à vous deux !
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