Pi-systèmes, tribus, Carathéodory, etc.
Bonsoir à tous
Je travaille sur la théorie de la mesure, et je suis un peu perdu entre les différentes notions et théorèmes. Il y a d'abord plusieurs "classes" d'ensembles. J'ai compris ce qu'était une tribu, mais on parle aussi de $\pi$-systèmes, de $\lambda$-systèmes, d'algèbres de Boole, etc. et déjà je suis un peu perdu. Y a-t-il une liste exhaustive de l'ensemble de ces notions, ce qu'elles représentent si elles représentent quelque chose (je pense avoir compris pour une tribu, mais pour le reste...?) et les liens entre elles (par exemple "tribu" implique "$\pi$-système") ? Sinon quelqu'un pourrait-il me l'expliquer ?
Mêmes questions pour les théorèmes d'existence et d'unicité de mesures. On me parle de théorème des classes monotones, de théorème de Carathéodory (certains parlent de Carathéodory pour l'unicité d'une mesure dans le cas des tribus, d'autres parlent du théorème de Carathéodory pour l'existence et l'unicité d'une mesure avec des $\pi$-systèmes, etc.). Bref je suis perdu. Y a-t-il une liste de ces théorèmes, où les noms et les hypothèses (tribu / algèbre de Boole / autre chose) et les résultats sont clairement énoncés ? Sinon quelqu'un pourrait-il me les énoncer (avec si possible un lien pour les démonstrations de chaque théorème) ?
Je vous remercie d'avance !
Je travaille sur la théorie de la mesure, et je suis un peu perdu entre les différentes notions et théorèmes. Il y a d'abord plusieurs "classes" d'ensembles. J'ai compris ce qu'était une tribu, mais on parle aussi de $\pi$-systèmes, de $\lambda$-systèmes, d'algèbres de Boole, etc. et déjà je suis un peu perdu. Y a-t-il une liste exhaustive de l'ensemble de ces notions, ce qu'elles représentent si elles représentent quelque chose (je pense avoir compris pour une tribu, mais pour le reste...?) et les liens entre elles (par exemple "tribu" implique "$\pi$-système") ? Sinon quelqu'un pourrait-il me l'expliquer ?
Mêmes questions pour les théorèmes d'existence et d'unicité de mesures. On me parle de théorème des classes monotones, de théorème de Carathéodory (certains parlent de Carathéodory pour l'unicité d'une mesure dans le cas des tribus, d'autres parlent du théorème de Carathéodory pour l'existence et l'unicité d'une mesure avec des $\pi$-systèmes, etc.). Bref je suis perdu. Y a-t-il une liste de ces théorèmes, où les noms et les hypothèses (tribu / algèbre de Boole / autre chose) et les résultats sont clairement énoncés ? Sinon quelqu'un pourrait-il me les énoncer (avec si possible un lien pour les démonstrations de chaque théorème) ?
Je vous remercie d'avance !
Réponses
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Tu évoques des questions de niveaux de difficulté très divers.
Cela me fait penser qu'il faut que tu clarifies tes objectifs et que, dans un premier temps, tu diminues le nombre de sources que tu utilises.
Par exemple, en termes d'identification de mesures (théorème d'unicité), certains préfèrent utiliser les $\pi$-systèmes, d'autres les classes monotones. Dans la plupart des cas, les deux font l'affaire, donc il est inutile d'apprendre les deux tout de suite.
Si tu suis un cours, je te conseille d'identifier les choix faits par ton prof.
Le théorème d'extension de Carathéodory (théorème d’existence) est un théorème difficile ; particulièrement la preuve déploie tout un arsenal compliqué autour de la notion de mesure extérieure.
Ça ne me semble pas prioritaire ; en revanche faire en sorte qu'il soit évident qu'une tribu est toujours un $\pi$-système est fondamental.
Tu peux éventuellement regarder mon poly de licence http://www.iecl.univ-lorraine.fr/~Olivier.Garet/cours/ip/ ou le livre que j'ai écrit avec Aline Kurtzmann http://www.iecl.univ-lorraine.fr/~Olivier.Garet/livre-v2/
Si la preuve de Carathéodory te chatouille, on la trouve dans le livre de Briane et Pagès, théorie de l'intégration. -
@aléa Merci pour votre réponse!
Le fait est que j'ai un parcours un peu atypique et que j'ai eu plusieurs cours de théorie de la mesure par plusieurs profs différents. Il y a bien sûr des points communs, mais certains parlent de $\pi$-systèmes, d'autres de classes monotones, d'autres encore de Carathéodory, donc quitte à beaucoup travailler j'aimerais être au clair avec l'ensemble de ces notions (au moins avoir une liste claire et définitive de ces notions et des théorèmes). -
Vu qu'en même temps ça me permets de clarifier (pour moi-même ;-)) ces différentes notions, je présente la façon dont je vois les choses pour ton premier paragraphe. Si quelqu'un voit une erreur, qu'il n'hésite pas à réagir.
Soit $\Omega$ un ensemble quelconque. On note $\mathcal P(\Omega)$ l'ensemble des parties de $\Omega$.- Une tribu $\mathcal F$ sur $\Omega$ est une partie de $\mathcal P(\Omega)$ vérifiant les trois axiomes que tu connais.
- Un $\pi$-système $\mathcal P$ de $\Omega$ est une partie de $\mathcal P(\Omega)$ stable par intersection finie (point de détail : certaines personnes rajoutent en plus que $\Omega\in\mathcal P$, ce qui est inutile si on sait qu'une intersection vide de parties de $\Omega$ est égale à $\Omega$).
- Une classe monotone (on dit aussi un $\lambda$-système) $\mathcal L$ de $\Omega$ est une partie de $\mathcal P(\Omega)$ contenant $\Omega$, stable par différence propre et stable par union dénombrable croissante.
En particulier, chacun de ces ensembles est défini par rapport à $\Omega$ et ils sont en plus « au même étage » : $\mathcal F\subset\mathcal P(\Omega), \mathcal P\subset\mathcal P(\Omega)$ et $\mathcal L\subset\mathcal P(\Omega)$.
Avec la définition de tribu, tu montres immédiatement qu'une tribu est à la fois un $\pi$-système et un $\lambda$-système. Mieux, tu peux montrer que la réciproque est également vraie en jouant un peu avec les opérations ensemblistes : une tribu sur $\Omega$ est exactement la même chose qu'une partie de $\mathcal P(\Omega)$ qui est à la fois un $\pi$-système et un $\lambda$-système.
Par contre, tu te doutes qu'il n'y a en général aucun lien entre les notions de $\pi$-système et de $\lambda$-système. Par exemple :- Sur $\Omega:=\R$, la topologie usuelle est un $\pi$-système mais n'est pas un $\lambda$-système (car $]0,2[\setminus ]0,1[=[1,2[$ n'est pas ouvert) ;
- J'ai l'impression que c'est plus compliqué de trouver un $\lambda$-système qui ne soit pas un $\pi$-système, quelqu'un aurait un exemple simple ?
Enfin, tu as l'important théorème de classe monotone qui stipule la chose suivante :
Si $\mathcal P$ et $\mathcal L$ sont respectivement un $\pi$-système et un $\lambda$-système d'un même ensemble $\Omega$ et $\mathcal P\subset\mathcal L$, alors $\sigma(\mathcal P)\subset\mathcal L$.
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