Nombres de Carol et de Kynea

dans Arithmétique
Bonjour chers tous
Je coince sur la démonstration de ce qui suit. J'attends donc vos propositions de preuve.
Pour $n\in \mathbb{N}^{*}$, considérons le nombre de Carol d’indice $n$, à savoir $C_{n}=\left(2^{2n}-2^{n+1}-1\right)$. Posons ensuite $\alpha_{n}=\frac{(C_{n}-1)}{2}=\left(2^{2n-1}-2^{n}-1\right)$ et $N_{\alpha_{n}}=\left(2^{\alpha_{n}}+1\right)$.
Je coince sur la démonstration de ce qui suit. J'attends donc vos propositions de preuve.
Pour $n\in \mathbb{N}^{*}$, considérons le nombre de Carol d’indice $n$, à savoir $C_{n}=\left(2^{2n}-2^{n+1}-1\right)$. Posons ensuite $\alpha_{n}=\frac{(C_{n}-1)}{2}=\left(2^{2n-1}-2^{n}-1\right)$ et $N_{\alpha_{n}}=\left(2^{\alpha_{n}}+1\right)$.
- Montrer que $\forall n\in \mathbb{N}^{*}$, $N_{\alpha_{n}}$ n’est pas divisible par $C_{n}$.
- Il en est de même pour le nombre de Kynea d’indice $n$, $K_{n}=\left(2^{2n}+2^{n+1}-1\right)$ avec $\beta_{n}=\frac{(K_{n}-1)}{2}=\left(2^{2n-1}+2^{n}-1\right)$ et $N_{\beta_{n}}=\left(2^{\beta_{n}}+1\right)$.
Réponses
-
Bonsoir,
Pour le 1).Il va être difficile de trouver un entier non divisible par $C_1 =-1$
Soit donc $n>1.\:\:$ Alors $\:\:\:C_n>1,\quad C_n= x^2-2,\:\:$ avec $\:\: x= 2^n -1. \:\:$ Ainsi: $\:\: x^2 \equiv 2 \mod C_n.$
D'autre part $C_n \equiv -1 \mod 4$, donc $C_n$ possède un diviseur premier $p$ tel que $p\equiv -1 \mod 4.\:\:\:\:$Il s'ensuit:
$$\: \forall y \in \Z, \:\: y^2 \not\equiv -1 \mod p.\:\:\:(\bigstar)\qquad \text{puis}\quad2^{\alpha_n}+1 \equiv \left (x^{\alpha_n }\right) ^2+1 \overset{(\bigstar)}{\not\equiv } 0 \mod p.$$
$$\boxed{2^{\alpha_n}+1 \not\equiv 0 \mod C_n.}$$ -
@LOU16
Merci pour les indications.
Et de cela, on en déduit que si $C_{n}$ est un nombre premier de Carol, alors c’est un facteur premier de $M_{\alpha_{n}}=\left(2^{\alpha_{n}}-1\right)$
En effet, si on pose $M_{C_{n}-1}=M_{2\alpha_{n}}=\left(2^{2\alpha_{n}}-1\right)=(2^{\alpha_{n}}-1)\cdot (2^{\alpha_{n}}+1)$, comme $C_{n}$ est premier impair tel que $2\land C_{n}=1$, alors le petit théorème de Fermat nous permet de dire que $C_{n}$ est un facteur premier de $M_{C_{n}-1}=M_{2\alpha_{n}}=\left(2^{2\alpha_{n}}-1\right)= \left(2^{\alpha_{n}}-1\right)\cdot \left(2^{\alpha_{n}}+1\right)$. Et comme on vient de prouver que $C_{n}$ ne divise pas $\left(2^{\alpha_{n}}+1\right)$, alors $C_{n}$ est donc un facteur premier de $\left(2^{\alpha_{n}}-1\right)$.
Exemple Pour $n=4$, $C_{4}=223$, $\alpha_{4}=111$. Et donc $223$ est un facteur premier de $M_{111}=(2^{111}-1)$.
Il en est de même pour les nombres premiers de Kynea.
Cordialement.
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