Montrer la continuité (à plusieurs variables)

Neel

Bonjour
J'ai du mal à comprendre comment prouver qu'une app à plusieurs variables est continue.
je sais que pour les points sans problème on utilise des trucs du genre (somme /composée... de fonctions continues est continue)
pourtant pour les points avec des problèmes je n'ai pas compris pourquoi on essaye de trouver une majoration pour notre fonction pour qu'on puisse dire qu'elle est continue en ces points
Je me suis vraiment perdu
veuillez s'il vous plaît m'aider avec des éclaircissements
(des exemples d'applications dans le cas où les variables sont des réels ainsi que dans le cas où ces variables sont des éléments dans des espaces vectoriels normés seront les bienvenus)

bisam

Ce serait plus pratique, pour toi comme pour ceux qui te répondront, que tu donnes des exemples que tu n'as pas compris... et que l'on te les explique.
Cela évitera de partir sur des choses que tu as comprises ou au contraire sur des cas trop compliqués !

Neel

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bisam

Dans l'exemple de la première fonction de ton image, à savoir la fonction $f$ qui à $(x,y)\in\R^2$ associe $\frac{xy^2}{x^2+y^2}$ si $(x,y)\neq (0,0)$ et $f(0,0)=0$, on cherche à étudier la continuité au point $(0,0)$.

On veut donc savoir si la quantité $|f(x,y)-f(0,0)|$ s'approche de $0$ lorsque $(x,y)$ s'approche de $(0,0)$.

On procède donc comme pour les fonctions d'une seule variable et on cherche à comparer cette quantité à une quantité connue dont on sait démontrer qu'elle tend vers $0$ pour conclure par "théorème des gendarmes".

L'auteur du corrigé a remarqué que $\forall (x,y)\neq (0,0),\frac{y^2}{x^2+y^2}\leq 1$ et donc $|f(x,y)-f(0,0)|\leq |x|$ mais ce n'est pas la seule possibilité.
On aurait pu remarquer aussi que $2|xy|\leq x^2+y^2$ donc $|f(x,y)-f(0,0)|\leq \frac{|y|}{2}$ et cela permettait de conclure également.

Est-ce un peu plus clair ?
Vois-tu comment finir les raisonnements que j'ai esquissés ?

Neel

Merci c'est plus clair maintenant
donc le truc de "majoration que j'ai dit" ce n'était que l'application de la définition de la continuité d'une fonction en un point sans utiliser "les epsilons" c'est ça, non?
et puisque: $$|f(x,y)-f(0,0)|\leq \frac{|y|}{2}$$
alors en faisant tendre y vers 0 on peut conclure que f(x,y) tend vers f(0,0); donc f(x,y) est continue en (0,0)

bisam

La conclusion n'est pas tout-à-fait correcte.
En fait, il faut faire tendre le couple $(x,y)$ vers le couple $(0,0)$.

Mais quand on fait cela, on a automatiquement $y$ qui tend vers $0$ puisque $|y|\leq ||(x,y)||$... et donc on peut conclure.

La conclusion s'écrit $f$ est continue en $(0,0)$ (et non $f(x,y)$ est continue, ce qui n'a aucun sens).