topologie

Bonjour,

Est qu' un compact d'un espace de Banach de dimension infinie est toujours inclus dans un hyperplan?

Réponses

  • Bonjour



    Si l'hyperplan est fermé lareponse est non

    Considérer un espace de hilbert séparable soit En ,n entier une base
    hilbertienne

    La suite En/n converge vers 0 donc l'ensemble formé par les En/n et 0 est
    compact soit K cet ensemble


    Si K est inclus dans un hyperplan affine fermé par translation de a
    a+K est inclus dans un hyperplan vectoriel fermé

    il existe donc un y non nul tel que
    (y,a)=0 (y,En/n+a )=0 donc y=0 contradiction.




    Cordialement
  • Non. Supposons $E$ séparable. Il existe donc un sev de E dont une base est dénombrable et qui est dense. Pour construire un exemple simple, il suffit alors de multiplier par un bon scalaire les éléments de la base pour obtenir une suite qui converge vers $0$. Les éléments de cette suite forme un compact et ne sont pas contenu dans un hyperplan.
  • Oui , oui merci

    J' avais compris le truc quand E est de dimension dénombrable ou est séparable. Mais si E n' est pas séparable?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.