Trinôme du second degré et nombres premiers

donnet

Bonjour à tous
j'ai une petite démonstration formelle montrant que le trinôme des nombres chanceux d'Euler ne génère n'engendre pas uniquement que des nombres premiers.

Soit T(X)=X² + X + 41
soit Y=T(X)+X une nouvelle variable, en exprimant T(Y)=T(T(X)+X) et en développant
T(Y)=Y² +Y+ 41
T(Y)s'exprimera sous forme d'un produit de deux facteurs
T(Y)=T(X) (T(X+2X+1)
et ne sera donc pas premier.

Quelqu'un a-t-il des infos sur une démonstration plus générale pour des polynômes de degré quelconque.
Merci.

bisam

Il y a plusieurs approximations dans ce que tu racontes...
Tout d'abord, on ne sait pas vraiment quel est le statut des variables X et Y.
Leur attribues-tu une valeur entière ou bien travailles-tu avec des indéterminées et des polynômes ?

Ensuite, il y a une faute de calcul ou de frappe. Si $T(X)=X^2+X+41$ alors $T(T(X)+X)=T(X)T(X+1)$.

Enfin, même si l'on obtient une forme factorisée, on ne peut pas conclure que "ce n'est pas premier". Il faudrait justifier que les deux facteurs sont des entiers naturels et qu'au moins l'un deux n'est pas égal à $1$.

Quant à ta dernière question, elle est tout bonnement incompréhensible...

donnet

Bonsoir Bisam
J'ai fait hélas une double faute de frappe, il faut lire T(Y)=T(X) (T(X)+2 X+2) et donc comme tu le remarques
T(Y)=T(X)T(X+1)
Dans le cas des nombres chanceux d'Euler X est un entier relatif par conséquent T(X), T(Y), T(X+1), le sont aussi.
D'autre part la valeur minimale de T(X)=41 pour X=0 donc T(X)>1 quel que soit X ce qui entraîne T(Y) non premier.

La dernière question est formulée autrement : "Y a-t-il une démonstration formelle permettant d'affirmer qu'il n'existe pas de formule polynomiale de degré quelconque ne donnant que des nombres premiers (autrement qu'en trouvant des contre-exemples).
Désolé pour le manque de rigueur.

Franz Lemmermeyer

Bon soir,

j'ai utilisé cette idée en https://www.mathi.uni-heidelberg.de/~flemmermeyer/publ/composite.pdf .

i.zitoussi

Je pensais que cette observation ($f\in \mathbb{Z}[x]$ irréductible $\Rightarrow$ $f$ divise $f(x+f(x))$ était due à Euler lui-même. En tout cas c'est comme ça que je l'ai vue créditée.