Triplet orthologique

Bonjour

J’aimerais voir une figure de trois triangles
orthologiques deux à deux !

Merci
Yann

On pourra noter que le carré d’un automorphisme autoadjoint U est encore auto adjoint et commute avec U.
«1

Réponses

  • Les six centres d’orthodoxie seraient-ils alors coconiques ?

    Cordialement
    Yann
  • Bonjour Yann

    Tu veux dire les six centres d'orthologie.

    Cordialement
  • Oui cher Bouzar
    C’est ça !

    Si on itère un automorphisme autoajouit, on peut en avoir une infinité

    Que dire dans ce cas de tous ces centres d’orthodogie ?
  • Mon cher Yann
    Il me semble avoir parlé de cette configuration dans un passé très très lointain dans des fils difficiles à retrouver.
    Pour que la configuration soit possible, il faut et il suffit que les parties linéaires (symétriques) commutent.
    Si on appelle $O_{ij}$ les six centres d'orthologie, on a:
    $$O_{12}O_{13}\parallel O_{21}O_{23}\parallel O_{31}O_{32}.\qquad$$
    Il faut que je retrouve mes figures ou bien que je les refasse!!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
    PS
    J'ai retrouvé une de mes figures
    Chacun des quintuplets $(A_1,B_1,C_1,O_{12},O_{13})$, $(A_2,B_2,C_2,O_{21},O_{23})$, $(A_3,B_3,C_3,O_{31},O_{32})$ est inscriptible dans une hyperbole équilatère, (que je n'ai pas tracée pour des raisons de clarté) ayant les mêmes points à l'infini.108248
  • Bonne Nuit à tous et faites de beaux rêves.
    Je ne veux pas rentrer dans les détails car je suis très paresseux.
    Du fait que les parties linéaires commutent, on obtient une figure totalement analogue à celle des trois similitudes où là aussi les parties linaires commutent car ce sont des similitudes vectorielles directes.
    On a donc aussi un point directeur $D$ qui est un équicentre des triplets de points homologues, des points fixes $\Omega_1$ de $f_1:A_2B_2C_2\mapsto A_3B_3C_3$, $\Omega_2$ de $f_2:A_3B_3C_3\mapsto A_1B_1C_1$, $\Omega_3$ de $f_3:A_1B_1C_1\mapsto A_2B_2C_2$ qui remplacent les centres de similitudes.
    Les applications affines $f_1$, $f_2$, $f_3$ sont orthologiques, leurs parties linéaires sont des opérateurs symétriques qui, commutant, sont diagonalisables dans une même base orthonormée du plan vectoriel.
    Cette base orthonormée définit deux points à l'infini du prolongement projectif du plan euclidien.
    La conique $\Gamma$ passant par les points fixes $\Omega_1$, $\Omega_2$, $\Omega_3$ et ces deux points à l'infini est donc une hyperbole équilatère qui joue un rôle analogue à celui du cercle de similitude.
    On obtient alors des théorèmes analogues à ceux de la configuration des trois similitudes.
    Par exemple les triangles à côtés homologues sont en perspective avec le triangle des points fixes $\Omega_1\Omega_2\Omega_3$, le centre de perpective étant situé sur l'hyperbole équilatère $\Gamma$.
    On définit $U_1$ comme le second point d'intersection de la droite $\Omega_1D$ avec $\Gamma$ et les points $U_2$ et $U_3$ de façon analogue. On obtient ainsi un triangle qui va jouer le rôle du triangle invariable.
    Par exemple, les triangles à sommets homologues (comme $A_1A_2A_3$) sont en perspective avec le triangle $U_1U_2U_3$ le centre de perspective étant situé sur $\Gamma$, etc,etc...
    Vous pouvez vérifier mes allégations en faisant vous même les figures à condition de bien maîtriser votre logiciel et d'avoir à votre disposition suffisamment de macros, une autre difficulté étant de garder tous vos points dans les limites de l'épure!
    Mais que les inconditionnels des axiomes de Thalès et de Pythagore se rassurent, ce n'est pas demain la veille qu'on leur demandera de réaliser de telles figures.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Que c’est beau tout cela !

    Cher pappus,

    Il y a là toute une science
    Sans parler de la beauté et la richesse des résultats.
    Je crains de ne jamais saisir toute la complexité des mathématiques qui y figurent.
    Il est sans doute nécessaire de commencer par aller en premier au cas des trois similitudes.

    Je regrette que du temps où tu étais à P7, je n’ai pas su profiter assez de ton savoir, même si j’en ai profité sûrement beaucoup, et en premier savoir et devoir distinguer finement l’affine de l’euclidien, et c’était l’affine qui t’intéressait plus que tout à l’époque.
    Tu me parlais entre autres à l’époque de gâteaux à découper, alors que tu aurais dû plutôt me parler d’orthologie. Notion que j’ai découverte plus tard auprès de john__john.

    Je vais néanmoins chercher dans le peu de temps libre dont je dispose à pénétrer cet aspect des choses, qui te tiennent aussi visiblement, à cœur à côté de tant d’autres bijoux géométriques

    Merci cher Maître !

    Yann
  • Bonjour pappus

    Peut-on avoir le dessin d’une au moins de ces hyperboles équilatères et les centres des trois.

    Quel rôle jouent les centres de ces hyperboles dans la situation ?

    Autre question : est-ce que La figure ci-dessus a été faite avec une application affine à partir linéaire autoadjointe et son carré ?

    Cordialement
    Yann
  • Mon cher Yann
    J'ai les figures que tu demandes mais il faut que je les manipule un peu pour que tous les points intéressants soient dans les limites de l'épure et que je puisse les montrer sur le forum
    Le principe de la construction est simple a priori
    Tu te donnes deux applications orthologiques ayant un point fixe, (car il y aussi à examiner les cas particuliers de celles qui n'en ont pas) et dont les gudules des droites invariantes (comme dirait Pierre) sont formés de droites parallèles et orthogonales deux à deux.
    En principe, je dis bien en principe, tout étudiant normalement constitué, est capable de composer ces deux applications et de récupérer le gudule de ses objets (point + droites) invariants.
    La vérification de mes allégations est juste une question de patience.
    En ce qui concerne la configuration des trois similitudes, elle se généralise sous certaines conditions d'existence des points fixes à la composition de tout couple d'applications affines dont les parties linéaires commutent.
    Mais qui sait encore aujourd'hui ce qu'est une partie linéaire?
    Bof!
    Nos têtes (pensantes (?)) sont satisfaites tant qu'on peut faire mumuse avec les axiomes de Thalès et de Pythagore et à s'extasier devant tout triplet de points alignés ou de droites concourantes!
    Surtout, surtout, ne pas se compliquer la vie, l'Égalité de tous dans l'Ignorance et l'Analphabétisme!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
    PS
    Si je ne dis pas de bêtises, cette configuration de trois triangles orthologiques deux à deux, c'est plus ou moins la configuration des trois similitudes dans un plan artinien!
  • Mon cher Yann
    J'ai réduit ma figure précédente et effacé les six centres d'orthologie pour plus de lisibilité.
    Tu as sous les yeux tes trois triangles orthologiques deux à deux: $A_1B_1C_1$, $A_2B_2C_2$, $A_3B_3C_3$
    $\Omega_1$ est le point fixe de l'application affine $f_1:A_2B_2C_2\mapsto A_3B_3C_3$.
    $\Omega_2$ est le point fixe de l'application affine $f_2:A_3B_3C_3\mapsto A_1B_1C_1$.
    $\Omega_3$ est le point fixe de l'application affine $f_3:A_1B_1C_1\mapsto A_2B_2C_2$.
    J'ai effacé les six droites invariantes pour plus de lisibilité mais auparavant j'ai tracé en pointillé noir l'hyperbole équilatère (dite d'orthologie (?)) passant par les trois points fixes et par les deux points à l'infini de ces trois gudules.
    Ensuite je trace l'équicentre $D$, comment?
    Tu as sous les yeux deux triangles à sommets homologues, par exemple $A_1A_2A_3$ et $B_1B_2B_3$.
    $D$ est le point fixe de l'application affine $A_1A_2A_3\mapsto B_1B_2B_3$.
    Je dispose d'une macro qui fait ce sale boulot.
    J'ai déjà dit que je possédais des centaines et des centaines de macros dans toutes les géométries possibles et imaginables!!
    Je trace ensuite les points invariants $U_1$, $U_2$, $U_3$ de la façon indiquée dans mon précédent message.
    Puis je constate que le triangle à sommets homologues $B_1B_2B_3$ est en perspective avec le triangle invariable $U_1U_2U_3$, le centre de perspective $\omega$ étant situé sur l'hyperbole d'orthologie.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
    PS
    Je charge Jean-Louis de donner une preuve synthétique!!108270
  • Bonjour à tous
    Faut s'y faire!
    Il est clair que les triplets orthologiques de Yann n'enthousiasmeront jamais autant les foules que les triplets de points alignés ou de droites concourantes qui sont notre pain quotidien et notre résidu de géométrie que personne n'aura l'idée de venir nous voler!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Bonjour à tous
    Je connais mal l'histoire de l'orthologie mais il est certain qu'elle a commencé au ras des pâquerettes par des constatations d'incidences et l'utilisation prosaïque des axiomes de Thalès et de Pythagore.
    Elle n'a commencé à prendre de l'importance seulement quand le concept de transformations orthologiques s'est dégagé et a remplacé peu à peu celui de triangles orthologiques.
    Et c'est là où je voulais en venir!
    Les groupes de transformations structurent la géométrie et on ne peut véritablement faire de la géométrie sans eux sauf à patauger éternellement dans les rudiments des géométries affine et euclidienne
    Comme Yann nous incite à nous intéresser à l'orthologie, je voudrais examiner les constructions simples que cette théorie exige:
    1° Étant donné un triangle $A_1B_1C_1$ et deux points $A_2$, $B_2$, construire tous les triangles $A_2B_2C_2$ tels que les triangles $A_1B_1C_1$ et $A_2B_2C_2$ soient orthologiques.
    2° Étant donnés deux triangles orthologiques $A_1B_1C_1$ et $A_2B_2C_2$ et deux points $A_3$, $B_3$, construire le point $C_3$ tel que le triangle $A_3B_3C_3$ soit orthologique avec les triangles $A_1B_1C_1$ et $A_2B_2C_2$.
    Le point $A_3$ étant fixé, étudier la transformation $B_3\mapsto C_3$.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Bonjour à tous,

    1) On construit le point $O'$ intersection des perpendiculaires issues de $A_2$ et $B_2$ aux droites $(B_1C_1)$ et $(A_1C_1)$. Lorsque $O$ décrit la perpendiculaire issue de $C_1$ à $(A_2B_2)$, le lieu de $C_2$ est la perpendiculaire issue de $O'$ à $(A_1B_1)$.
    Si $f$ est l'application affine $(A_1B_1C_1)\mapsto (A_2B_2C_2)$, $f(O)=O'$.108382
  • Merci Lake
    Ce que tu fais n'est pas très clair car tu ne cites pas d'abord les théorèmes que tu utilises.
    Tu ne donnes pas la définition du point $O$ et ta dernière phrase:
    Lake a écrit:
    Si $f$ est l'application affine $(A_1B_1C_1)\mapsto (A_2B_2C_2)$, $f(O)=O'$ (le point fice de $f$).
    est un peu ésotérique!
    Quel est le rapport entre $O$ (non défini), $O'$ et le point fixe de $f$?
    D'autre part où as-tu appris l'orthologie et as-tu des sources à nous donner?
    Je préférerais pour la suite que tu appelles les centres d'orthologie $O_{12}$ et $O_{21}$.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Mon cher pappus,

    Je n'y connaissais encore rien en orthologie il y a deux heures.
    Mes sources, ici même! Orthologie.
    J'ai fait ce que j'ai pu...
    J'ai supprimé mon "point fixe" avant que tu ne postes: c'était une ânerie.

    Je poste tout de même un nouveau dessin pour 2) avec l'intersection de deux lieux:108392
  • Merci Lake
    Tu as fait un petit effort de notations mais encore insuffisant.
    Je résume très rapidement sans démonstration la théorie de l'orthologie en quelques lignes
    On se donne deux triangles $A_1B_1C_1$ et $A_2B_2C_2$ du plan euclidien.
    Si les perpendiculaires issues de $A_1$ à $B_2C_2$, de $B_1$ à $C_2A_2$, de $C_1$ à $A_2B_2$ sont concourantes en un point $O_{12}$, alors les perpendiculaires issues de $A_2$ à $B_1C_1$, de $B_2$ à $C_1A_1$, de $C_2$ à $A_1B_1$ sont concourantes en un point $O_{21}$
    La réciproque est triviale.
    On dit alors que les triangles $A_1B_1C_1$ et $A_2B_2C_2$ sont orthologiques et que les points $O_{12}$ et $O_{21}$ sont les centres d'orthologie des deux triangles!
    Je suis à peu près sûr que pendant des décennies, la théorie de l'orthologie a dû se limiter à cet unique théorème.
    Mais ce dit théorème est plus que suffisant pour exécuter les constructions préconisées par Lake.
    Petite colle insidieuse.
    Quand les triangles $A_1B_1C_1$ et $A_2B_2C_2$ ne sont pas orthologiques, les deux triplets de perpendiculaires précédents ne sont pas formés de droites concourantes et on obtient deux nouveaux triangles.
    Qu'est-ce qu'on va pouvoir en faire?
    C'est le moment de jouer avec votre logiciel pour faire des hypothèses!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • $\renewcommand{\vec}[1]{\overrightarrow{#1}}$
    Bonjour à tous,

    Voici un résultat qui peut servir :

    $A_1B_1C_1$ et $A_2B_2C_2$ sont orthologiques si, et seulement si pour tout point $M$ on a :

    \[\vec{MA_1}\bullet \vec{B_2C_2} + \vec{MB_1}\bullet \vec{C_2A_2} + \vec{MC_1}\bullet \vec{A_2B_2} =0\;.\]

    Amicalement
  • Bonjour à tous
    Je me suis arrangé pour que les triangles $A_1B_1C_1$ et $A_2B_2C_2$ ne soient pas orthologiques.
    J'ai tracé tranqillou mes deux triplets de perpendiculaires et comme je m'y attendais j'ai obtenu deux nouveaux triangles.
    Et maintenant à quoi me suis-je amusé?
    Car la géométrie se doit d'être ludique!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus108400
  • Mon cher Bouzar
    Je vois que tu as de saines lectures mais le plus intéressant est la traduction géométrique de cette égalité!
    Quelle est-elle?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Mon cher Yann
    J'ai fait ma figure en suivant la construction de Lake!
    Je me suis donné deux triangles orthologiques $A_1B_1C_1$ et $A_2B_2C_2$ puis deux points $A_3$ et $B_3$ et j'ai suivi la méthode de Lake pour construire le point $C_3$.
    Il n'y a donc pas besoin de savoir ce qu'est un opérateur symétrique pour faire la figure.
    Par contre il n'est pas interdit d'y penser!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Bonjour à tous
    J'ai comparé les polynômes caractéristiques des parties linéaires des applications affines $A_1B_1C_1\mapsto A_2B_2C_2$ et $a_1b_1c_1\mapsto a_2b_2c_2$.
    Tout géomètre affin sérieux se doit de posséder les macros qui lui permettent de calculer ces polynômes!!!
    Qu'est-ce que j'ai trouvé?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Bonsoir à tous
    Je crois avoir deviné la figure désirée par Yann
    Il part de deux triangles orthologiques $A_1B_1C_1$ et $A_2B_2C_2$ et soit $f$, l'application affine $A_1B_1C_1\mapsto A_2B_2C_2$.
    $f$ est orthologique, sa partie linéaire est symétrique.
    Il définit $A_3B_3C_3$ par $A_3B_3C_3=f(A_2B_2C_2)$.
    Le triangle $A_3B_3C_3$ est automatiquement orthologique avec $A_1B_1C_1$ et $A_2B_2C_2$ car $f^2$ est orthologique
    Les trois centres de similitude et les droites invariantes sont confondus.
    J'essayerai de faire une figure lisible quand j'aurais le temps!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Merci cher pappus
    Et merci à Lake d’avoir ressuscité ce fil d’avec Myrtille.
    Cela m‘a rappelé avec Myrtille toujours de lointains souvenirs. :)

    Comme je ne dispose pas en ce moment d’un outillage adéquat en terme de logiciels de géométrie dynamique,
    j‘ai essayé de vérifier du regard si les deux triangles $a_1b_1c_1$ et $a_2b_2c_2$ sont orthologiques. Il semble que oui, et les centres d’orthologie respectifs semblent être respectivement à l’intérieur de ces triangles. Est-ce bien le cas ?

    Bonne matinée
    Yann
  • Mon cher Yann
    Je ne comprends pas très bien ce que tu veux dire.
    J'attends que tu aies à disposition un bon logiciel et que tu puisses nous faire une figure!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Bonjour Maître,

    Il semble que, partant de deux triangles non orthologiques, on puisse oassecparcle procédé indiqué à deux nouveaux qui le sont.
    Comme lorsque partant d’un endomorphisme $f$, on lui associe un endomorphisme $\sqrt{ff^*}$ autoadjoint (positif) !??

    Yann

    Mais, je puis bien être en train de fonder ces spéculations sur du vide.

    Yann
  • Bonjour,

    Que voilà un joli mot: "oassecparcle" !! Ce doit être "passer par ce", je suppose ?

    Cordialement,

    Rescassol
  • Oui ! « par le procédé »
    Évidemment

    On a beau se relire...

    On a là, avec « oassecparcle », un nouveau mot à ajouter à la liste suivante : die

    https://www.dicodesrimes.com/rime/oracle
  • Mon cher Yann
    Tu as raison!
    C'est la décomposition polaire!
    Tu pars de deux triangles $ABC$ et $A'B'C'$ en position générale.
    Soit $f:ABC\mapsto A'B'C'$ l'application affine qu'ils définissent.
    La partie linéaire $\overrightarrow f$ admet une décomposition polaire: symétrique + orthogonal ou orthogonal +symétrique.
    On peut donc faire ''tourner'' l'un des deux triangles pour le rendre orthologique avec l'autre.
    J'ai une idée précise en tête pour ce faire!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Mon cher Yann
    Voici la construction que je propose!
    Je considère deux triangles $ABC$ et $A'B'C'$ qui ne sont pas indirectement semblables ( sinon ils sont déjà orthologiques et il n'y a rien à faire).
    Soit $P$ le pôle de la transformation circulaire indirecte $ABC\mapsto A'B'C'$.
    Alors le triangle podaire de $P$, noté $abc$, par rapport au triangle $ABC$ est directement semblable au triangle $A'B'C'$.
    L'application affine $ABC\mapsto A'B'C'$ se décompose alors en une application affine orthologique $ABC\mapsto abc$ suivie d'une similitude directe $abc\mapsto A'B'C'$.
    Et la construction du point $P$ me diras-tu?
    On construit le point $A''$ tel que le triangle $A''BC$ soit indirectement semblable au triangle $A'B'C'$
    Le point $P$ est alors l'image du point $C$ dans la similitude directe de centre $A$ envoyant $A''$ sur $B$..
    On peut aussi dire que $P$ est l'image de $A''$ dans la transposition circulaire de pôle $A$ échangeant les points $B$ et $C$.
    Mais bof puisque tout a disparu, pourquoi se mettre martel en tête et contentons nous de construire les hauteurs d'un triangle et sans pouvoir le démontrer, c'est trop fatigant, restons stupéfaits de l'existence de l'orthocentre!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus108448
  • Bonjour à tous
    Il reste quand même deux énigmes
    1° Pourquoi a-t-on les parallélismes $O_{12}O_{13}\parallel O_{21}O_{23}\parallel O_{31}O_{32}$ dans la triple orthologie?
    2° Le point $A_3$ étant fixé, étudier la transformation $B_3\mapsto C_3$ donnée par la construction de Lake.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Bonjour à tous
    J'ai bien l'impression que mes deux énigmes ne sont pas près d'être résolues.
    Sans doute un manque d'intérêt pour ceux qui pensent que la géométrie se limite à s'extasier devant trois points alignés ou trois droites concourantes.
    Je vais commencer par la deuxième énigme liée à la construction de Lake.
    L'application $B_3\mapsto C_3$ est tout simplement une transformation orthologique. Je ne dis pas qu'il fallait s'y attendre mais en tout cas cela me semble justice dans cette configuration consacrée à l'orthologie.
    J'ai dit l'importance cruciale des transformations dans la géométrie moderne.
    Reconnaître une transformation est donc capital.
    Il nous faut donc identifier la transformation de Lake.
    On est au vingt et unième siècle que diable et nous ne sommes plus il y a deux mille ans, à patauger entre les axiomes de Thalès et de Pythagore.
    La première difficulté est déjà de montrer que la transformation de Lake est affine!
    Vous vous rendez compte, c'est aujourd'hui le B.A BA du B.A BA!
    Mais va-t-on y arriver?
    J'ai de sérieux doutes, de très sérieux doutes!!
    J'en profite pour préciser ce qu'il faut savoir sur la théorie de l'orthologie.
    J'ai déjà donné dans ce message, le théorème fondamental sur la configuration de deux triangles orthologiques $A_1B_1C_1$ et $A_2B_2C_2$.
    Soit $f$ l'application affine $A_1B_1C_1\mapsto A_2B_2C_2$.
    Alors $f$ transforme tout triangle $PQR$ en un triangle $f(P)f(Q)f(R)$ qui lui est orthologique.
    De plus $f(O_{12})=O_{21}$.
    On dit que la transformation affine $f$ est une transformation orthologique.
    On montre enfin qu'une transformation affine $f$ est orthologique si et seulement si sa partie linéaire est symétrique ou autoadjointe comme le dit Yann.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Bonjour à tous
    Evidemment, je pourrais dire: trace un repère dans un petit coin de la figure et démerde toi.
    Pourquoi pas, d'ailleurs!
    On dispose maintenant de logiciels de calcul formel parfaitement aptes à exécuter ces calculs qu'on hésite à faire.
    De temps en temps on voit débarquer sur notre forum des étudiants un peu désespérés nous demandant de prouver que telle ou telle application entre variétés est différentiable.
    On est exactement dans ce cas! Ici les variétés sont des espaces vectoriels, le calcul en question s'appelle le calcul différentiel, (est-il encore enseigné? Je ne sais pas mais rien que le fait de se poser cette question montre l'évolution des mœurs!), et en l'occurrence l'algèbre linéaire est largement suffisante.
    Je répète donc ce que j'avais dit à ces étudiants: pour montrer qu'une application est (différentiable) affine, on la décompose en produit d'applications dont il est évident d'après le cours qu'elles sont (différentiables) affines.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Bonjour à tous
    Il ne faut pas croire que ce serait faire preuve de mauvais gout que d'utiliser l'algèbre linéaire en géométrie du triangle.
    Elle est là pour nous faciliter la vie et pour simplifier nos démonstrations qui, sans elle, seraient si tarabiscotées que c'est un peu perdre son temps que de les chercher!
    La figure ci-dessous montre deux triangles $A_1B_1C_1$ et $A_2B_2C_2$.
    On se donne les points $A_3$ et $B_3$, ce dernier point servant de paramètre.
    Puis j'ai effectué la construction de Lake pour obtenir l'unique triangle $A_3B_3C_3$ orthologique à la fois au triangle $A_1B_1C_1$ et au triangle $A_2B_2C_2$.
    Notez qu'on a pas besoin de savoir si les triangles $A_1B_1C_1$ et $A_2B_2C_2$ sont orthologiques ou non.
    La construction de Lake marche dans tous les cas de figure.
    J'explique mes notations.
    $\delta_1$ est la direction orthogonale à $A_1C_1$.
    $\delta_2$ est la direction orthogonale à $A_2C_2$.
    $\delta'_1$ est la direction orthogonale à $A_1B_1$
    $\delta'_2$ est la direction orthogonale à $A_2B_2$
    $L_1$ est la droite passant par $A_3$ orthogonale à $B_1C_1$
    $L_2$ est la droite passant par $A_3$ orthogonale à $B_2C_2$.
    En quoi consiste la construction de Lake?
    Il construit le centre d'orthologie $O_{31}$ comme intersection de $L_1$ avec la droite issue de $B_3$ et de direction $\delta_1$ et le centre d'orthologie $O_{32}$ comme intersection de $L_2$ avec la droite issue de $B_3$ et de direction $\delta_2$.
    Le point $C_3$ est alors l'unique point obtenu comme intersection de la droite issue de $O_{31}$ et de direction $\delta'_1$ avec la droite issue de $O_{32}$ et de direction $\delta'_2$.
    Comment décomposer l'application $B_3\mapsto C_3$ pour prouver qu'elle est affine?
    Vous avez la réponse sous les yeux!!!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus108638
  • Bonsoir Pappus, bonsoir à tous.

    Il n'y a que les vieux pour s'intéresser à ton problème ci-dessus.
    La décomposition $B_3\mapsto (O_{31},O_{32}) \mapsto C_3$ te satisfait-elle ?
    chacune des $\mapsto$ est affine, donc ...

    Amicalement
    zephir.
  • Mon cher Zephyr
    Ben oui!
    Tu as trouvé!
    Cela faisait longtemps, très longtemps que nous n'avions pas dialogué.
    Merci d'être intervenu!
    Encore faudrait-il expliquer pourquoi!
    Maintenant il faut prouver que cette transformation affine est orthologique et c'est là que l'orthologie des triangles $A_1B_1C_1$ et $A_2B_2C_2$ intervient!!
    Encore des cauchemars en perspective?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Il est facile de voir que la première $\mapsto$ est affine car les deux applications $B_3\mapsto O_{31}$ et $B_3\mapsto O_{32}$ le sont.
    Pour la seconde, la solution que je trouve la plus rapide, mais bas belle, est de remarquer que pour $a\ne b$, $u,v$ variable, l'application qui à $(u,v)$ associe la solution $(x,y)$ du système $y=ax+u,\ y=bx+v$ est affine

    Quant à l'orthologie de l'application, je ne retrouve pas la définition (pas plus que celle d'une application parallélogique).
  • Bonsoir à tous
    Je précise la preuve de notre ami Zephyr
    Soit $p_1:\mathcal P\mapsto L_1$, la projection du plan $\mathcal P$ sur la droite $L_1$ parallèlement à $\delta_1$.
    Soit $p_2:\mathcal P\mapsto L_2$, la projection du plan $\mathcal P$ sur la droite $L_2$ parallèlement à $\delta_2$.
    Soit $p'_1:\mathcal P\mapsto L_1$, la projection du plan $\mathcal P$ sur la droite $L_1$ parallèlement à $\delta'_1$.
    Soit $p'_2:\mathcal P\mapsto L_2$, la projection du plan $\mathcal P$ sur la droite $L_2$ parallèlement à $\delta'_2$.
    Alors $(O_{31},O_{32})=(p_1\times p_2)(B_3)$
    et $C_3=(p'_1\times p'_2)^{-1}(O_{31},O_{32})$
    Ainsi notre application $B_3\mapsto C_3$ n'est pas autre chose que:
    $$(p'_1\times p'_2)^{-1}\circ (p_1\times p_2)$$
    prouvant son caractère affine.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
    PS
    Voici une indication pour prouver que l'application affine: $g:B_3\mapsto C_3$ est orthologique.
    Evaluer les vecteurs $\overrightarrow g(\overrightarrow{A_1B_1})$ et $\overrightarrow g(\overrightarrow{A_2B_2})$
    Ne les cherchez pas très loin!
    Vous les avez sous les yeux!
  • Mon cher Zephyr
    J'ai donné dans le courant de ce fil la définition et les principales propriétés des applications orthologiques.
    Mais spécialement pour toi, voici un article que j'ai écrit, il y a des décennies, quand j'étais encore en activité et que j'ai déjà proposé maintes fois sur ce forum.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Merci Pappus,
    J'ai idée que l'orthologie est invariante par des translations sur les triangles.
    Aussi, je peux supposer, sans perte de généralité que $A_1=A_2=A_3$, point fixe de l'application en question.
    Il ne reste plus qu'à identifier l'application linéaire qui lui est associée. oups ! je ne vois plus.
    Ai-je erré ?
  • Mon cher Zephyr
    Pourquoi ne suis-tu pas mes indications?
    C'est pourtant simple!
    Voici la figure!
    A toi de me sortir le baratin qui doit l'accompagner!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus108658
  • Mon cher Pappus,
    Je dois être bien rouillé. Je ne vois pas l'évidence.
    J'ai un peu de mal à visualiser une transformation orthologique.
    Sa partie affine doit avoir une propriété algébrique qui m'échappe.
    En plus je suis réveillé depuis pas très longtemps.
  • Mon cher Zephyr
    Tu trouveras tout dans mon document.
    Lis le à tête reposée.
    La caractérisation algébrique des transformations orthologiques est suffisamment simple pour qu'on ait aucun mal à les identifier.
    Ce sont les transformations affines dont la partie linéaire est symétrique ou autoadjointe.
    Exemples: les translations ou les affinités orthogonales.
    Application:
    Regarde attentivement ma dernière figure.
    La translation de vecteur $\overrightarrow{A_1A_3}$ transforme le triangle $A_1B_1C_1$ en le triangle $A_3B'_3C'_3$ en orthologie avec les triangles $A_1B_1C_1$ et $A_2B_2C_2$.
    Résultat des courses: $g(B'_3)=C'_3$
    Comme il est clair que $A_3$ est un point fixe de $g$, on a:
    $$\overrightarrow{g}(\overrightarrow{A_1B_1})=\overrightarrow{g}(\overrightarrow{A_3B'_3})=\overrightarrow{A_3C'_3}=\overrightarrow{A_1C_1} \\
    \overrightarrow{g}(\overrightarrow{A_1B_1})=\overrightarrow{A_1C_1}.
    $$ Un raisonnement analogue avec la translation de vecteur $\overrightarrow{A_2A_3}$ opérant sur le triangle $A_2B_2C_2$ montre que:
    $$\overrightarrow{g}(\overrightarrow{A_2B_2})=\overrightarrow{A_2C_2}.
    $$ On connait donc l'action de $\overrightarrow g$ sur la base $(\overrightarrow{A_1B_1},\overrightarrow{A_2B_2})$ du plan des vecteurs.
    Normalement, il ne devrait pas être trop difficile d'en déduire que $\overrightarrow g$ est un opérateur symétrique mais sait-on jamais dans ces temps d'Analphabétisme?
    Amicalement
    [small][/small]pappus
  • Mon cher Papus,
    tu m'a devancé de 3 minutes.
    $g$ est orthoptique si et seulement si $\overrightarrow g$ est symétrique.
    Il reste donc à démontrer que :$\overrightarrow {A_1C_1}.\overrightarrow {A_2B_2} =\overrightarrow {A_1B_1}.\overrightarrow {A_2C_2}$.
  • Mon cher Zephyr
    J'aime bien tes triangles orthoptiques qui prouvent que tu as de la culture.
    Peux-tu nous rappeler pourquoi ton égalité équivaut à dire qu'un certain opérateur est symétrique?
    Et quel est l'opérateur auquel tu penses (donc tu es!)?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Mon cher Pappus,
    Mon égalité n'est rien d'autre que :
    $$ \overrightarrow g (\overrightarrow {A_1B_1}).\overrightarrow {A_2B_2} =\overrightarrow {A_1B_1}.\overrightarrow g (\overrightarrow {A_2B_2})
    $$ et cette formule est, par linéarité, l'expression de la symétrie de $\overrightarrow g $.

    Pour démontrer cette égalité, il faudrait revenir à la caractérisation algébrique de l'orthologie qui est dans ton texte, mais je n'ai pas le texte sous les yeux et je ne l'ai pas en mémoire. Je vais revisiter le texte.
  • C'est plus simple que je ne pensais. l'égalité en question est :
    $$\overrightarrow {A_1C_1}.\overrightarrow {A_2B_2} =\overrightarrow {A_2C_2}.\overrightarrow {A_1B_1},
    $$ et l'application affine $f : (A_1,B_1,C_1)\to(A_2,B_2,C_2)$ est orthologique, donc sa partie linéaire est symétrique.
    ?CQFD.
  • Mon cher Zephyr
    Oui, c'est cela, c'est l'orthologie de $(A_1B_1C_1\mapsto A_2B_2C_2)$ qui entraîne celle de $g$.
    Cela peut paraître abscons et mériterait donc qu'on entre dans les détails.
    C'est ce qu'on va faire
    Oublions momentanément l'orthologie et concentrons nous sur l'aspect algébrique.
    On est dans un plan vectoriel euclidien muni d'une base $\bf(u,v)$.
    On dispose aussi d'un endomorphisme $g$ de ce plan vectoriel.
    Quelle égalité simple doit être vérifiée pour que $g$ soit un endomorphisme symétrique?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Mon cher Pappus,
    Je détaille, en notant $P$ le plan euclidien:
    La définition de $g$ symétrique :$\forall (x,y)\in P^2, g(x).y=x.g(y)$
    Par linéarité, il suffit que la relation ci-dessus soit vrai pour $(x,y)\in \{(u,u),(v,v),(u,v),(v,u)\}$
    couples de vecteurs de la base $(u,v)$
    La symétrie du produit scalaire implique que les relations fournies par les couples $(u,v)$ et $(v,u)$ sont les mêmes tandis que celles des couples $(u,u)$ et $(v,v)$ sont triviales.
    Reste donc la seule relation à vérifier :$g(u).v=u.g(v)$.
    Est-ce que le maître est satisfait ?
  • Mon cher Zephyr
    Oui, je le suis pleinement.
    Maintenant connaissant les sous-espaces propres de la partie linéaire symétrique de l'application affine orthologique $(A_1B_1C_1\mapsto A_2B_2C_2)$, quels sont ceux de la partie linéaire de l'application affine orthologique de Lake $g:B_3\mapsto C_3$?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Bonsoir à tous
    Avant que les sous-espaces propres de $\overrightarrow g$ ne soient exhibés, faisons un peu le point.
    La figure ci-dessous montre deux triangles orthologiques $A_1B_1C_1$ et $A_2B_2C_2$.
    Suivant la méthode de Lake, j'ai construit les triangles $A_3B_3C_3$ et $A_4B_4C_4$ orthologiques aux triangles $A_1B_1C_1$ et $A_2B_2C_2$.
    Eh bien croyez le ou non, les triangles $A_3B_3C_3$ et $A_4B_4C_4$ sont eux mêmes orthologiques.
    Vous avez donc sous les yeux quatre triangles orthologiques deux à deux.
    Yann a de quoi être satisfait?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
    PS
    On obtient ainsi une famille linéaire à deux paramètres de triangles orthologiques deux à deux, une $FLTO$ en quelque sorte!108690
  • Sans passer par les éléments propres, la formule donnée par Bouzar (que je salue) :
    $$\vec{MA_1}\bullet \vec{B_2C_2} + \vec{MB_1}\bullet \vec{C_2A_2} + \vec{MC_1}\bullet \vec{A_2B_2} =0\;.$$
    permet, en particularisant $M=A_1$ d'avoir :
    $$0 + \vec{A_1B_1}\bullet \vec{C_2A_2} + \vec{A_1C_1}\bullet \vec{A_2B_2} =0\;.$$
    c'est-à-dire la formule $ \vec{A_1C_1}\bullet \vec{A_2B_2} = \vec{A_1B_1}\bullet \vec{A_2C_2} $
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