Calcul de dimension (2)

Youss20

Salut, je vous expose comme commentaire ma proposition concernant cet exercice.
J'aimerais bien en avoir d'autres si possible.
Merci.

Youss20

La voilà

paf

Tu ne définis pas qui est $V$ et tu ne prouves pas que $\varphi$ est linéaire ni que c'est un isomorphisme...

Tant que tu ne prouves pas ce que tu dis, ta réponse ne peut pas être valable mathématiquement.

Youss20

Si j'ai tout prouvé, juste pour ne pas chargé la page. En fait le plus dur pour moi c'était de trouver l'application. V est l'ensemble des polynômes définis par l'énoncé. La linéarité est immédiate. Pour l'isomorphisme: tout polynôme P vérifiant la contrainte vérifie l'existence d'un unique polynôme Q tel que P=produit(X-ai)*Q, le quotient (et par suite l'image par l'app.linéaire) est relatif à un P unique. Ça me parait logique. Si c'est le cas, je vous demande d'autres pistes. En fait avant j'ai essayé d'exprimer V comme intersection de plusieurs hyperplans( je prenais une app.linéaire fi d'image P(ai), il ya le ker qui entre en jeu là) mais je me suis bloqué à ce stade là.

paf

Ok (tout n'est pas parfaitement rédigé mais les idées y sont).

Pour d'autres pistes, effectivement $V$ est l'intersection des hyperplans que tu as cités et il faudrait montrer que les formes linéaires $f_i : P \mapsto P(a_i)$ sont linéairement indépendantes. En faisant les calculs, tu verras que ça revient au même que de dire que le système d'équations $P(a_1) = 0, \dots, P(a_p) = 0$ (dont les inconnues sont les coefficients de $P$) est de rang $p$, ce qui fait apparaître un déterminant très classique...

Ou alors tu peux appliquer le théorème du rang à $f : V\to \mathbb R^p$ telle que $\forall P\in V,\; f(P) = (P(a_1),\dots, P(a_p))$.

PetitLutinMalicieux

Bonjour

Un polynôme qui s'annule pour a₁, ..., a_p, .... a_n s'annule pour a₁, ..., a_p. N'est-ce pas ? Il est de degré n. N'est-ce pas ? Je sors. N'est-ce pas ?

Thierry Poma

Bonsoir,

Tu peux aussi considérer $\varphi:\R_n[x]\to\R^p$ telle que, pour tout $P\in\R_n[x]$, $\varphi(P)=(P(a_1),\,\cdots,\,P(a_p))$, puis remarquer que $V=\ker\,\varphi$. Le passage au quotient $\dfrac{\R_n[x]}{V}$ permettra de conclure.

Cordialement,

Thierry

_Julien_

Même endomorphisme que Thierry, puis démonstration de la surjectivité avec les polynômes interpolations de Lagrange, et enfin théorème du rang.

Youss20

Merci beaucoup à vous tous. Je reviens pourtant à l'intervention de Paf quant à la première piste: j'ai encore du mal à passer au système d'équations que vous proposez. Encore je ne vois pas pourquoi le fait d'avoir des formes linéairement indépendantes permet de résoudre le problème de l'intersection des noyaux.
Cordialement.