Aut(G)=G et suite des Aut(Aut(...(G)))

Bonjour

Je cherche à caractériser les groupes tels que AUT(G)=G, AUT(G) étant bien sur le groupe des automorphismes de G

Réponses

  • Tu veux certainement dire $G$ et $Aut(G)$ isomorphes en tant que groupe. Ca me parait plutôt vague.

    Par contre, il y a une question qui me paraît plus abordable et dont il doit y avoir une réponse connue. Considérons le morphisme qui à un élément $g$ associe la conjugaison associée. Quand est-ce que ce morphisme est surjectif? injectif?

    @ bientôt.
  • Je viens de me rendre compte que l'injectivité est facile. Elle est équivalente à la trivialité du centre du groupe.
  • Un exemple d'un tel groupe est donné pare le groupe diédral à 8 éléments.
  • Bonsoir,

    Je signale à Pilz qu'il existe G~G/C (G groupe et C son centre)
    avec C non réduit au neutre
    ( j'ai donné un exemple il y a quelques lunes...)

    Oump
  • Re

    lire

    G~G/C bien sur

    Oump
  • Bonsoir,

    Comme exemples de tels groupes il y a aussi les groupes symétriques $S_5$ et $S_7$.
  • Bonjour

    Pour les groupes d'ordre petit, il y a
    $\{1\}$
    $\frak{S}_3 = D_3$ d'ordre 6
    $D_4$ le dihédral à 8 éléments (déjà cité)
    $D_4 \times \Z/2\Z$ d'ordre 16
    $\frak{S}_4$ d'ordre 24
    $\ldots$

    Alain
  • Si je me rappelle bien on a $Aut (S_n) =S_n$, sauf si n=6.....

    Michiel
  • Bonsoir

    Effectivement $Aut(\frak{S}_n) = \frak{S}_n$ pour tout $n$ différent de 2 et 6.

    Alain
  • Attention!

    On serait tenté par deux affirmations concernant de tels groupes
    1) Dans un tel groupe, le centre est facteur direct.
    2) Ces groupes sont exactement les groupes d'automorphismes de groupes.

    Pourquoi cse risques d'erreur?
    1) Le groupe $G/C$, où $C$ est le centre, est isomorphe aux groupe
    $Int(G)$ des automorphismes intérieurs, lequel est un sous-groupe
    distingué de $Aut(G)\simeq G$. L'erreur serait de croire que parmi les
    sous-groupes distingués de $G$ qui sont isomorphes à $G/C$, il y en a qui
    sont facteurs directs de $C$!


    En fait, il n'en est rien. L'exemple de $D_4$ fournit un contrexemple.

    2)
    Comme
    $G$ est ismorphe à un groupe d'automorphismes. On serait tenté que tout
    groupe d'automorphismes est isomorphe à son groupe d'automorphismes.
    C'est faux pour $Z/9Z$ par exemple.
  • Attention!

    On serait tenté par deux affirmations concernant de tels groupes
    1) Dans un tel groupe, le centre est facteur direct.
    2) Ces groupes sont exactement les groupes d'automorphismes de groupes.

    Pourquoi cse risques d'erreur?
    1) Le groupe $G/C$, où $C$ est le centre, est isomorphe aux groupe
    $Int(G)$ des automorphismes intérieurs, lequel est un sous-groupe
    distingué de $Aut(G)\simeq G$. L'erreur serait de croire que parmi les
    sous-groupes distingués de $G$ qui sont isomorphes à $G/C$, il y en a qui
    sont facteurs directs de $C$!


    En fait, il n'en est rien. L'exemple de $D_4$ fournit un contrexemple.

    2)
    Comme
    $G$ est ismorphe à un groupe d'automorphismes. On serait tenté que tout
    groupe d'automorphismes est isomorphe à son groupe d'automorphismes.
    C'est faux pour $Z/9Z$ par exemple.
  • Question: est-ce que pour $G$ quelconque:
    $$Aut(Aut(Aut(G))) \simeq Aut(Aut(G)) ??$$

    Et si on remplaçait par la question suivante:
    est-ce pour tout groupe $G$ la suite $(Aut^{(n)}$$(G))_n$ devient stationnaire?

  • Qu'est $Aut(S_6)$ ?

    Michiel
  • Pour Ruskiyazzik, bonsoir

    Examinez le cas du groupe $G=Z/2\times Z/2\times Z/2$ dont le groupe d'automorphisme est $GL(3,F_2)$ qui de centre trivial et qui admet $M\mapsto ^t\!M^{-1}$ comme automorphisme extérieur...
  • Un post portant le même titre est arrivé dans la liste. Plus facile et moins intéressant que le celui où vous êtes à l'instant.

    Ce poste-ci ne mérite pas d'^tre si vite enterré. Aussi, je le fais remonter au début et je suggère s'i c'est possible de renommer l'autre.

    Merci
  • Pour Michiel:

    Récapitulatif des automorphismes de $\frak{S}_n$:

    1°) Si $n\geq 3$, alors $Int(\frak{S}_n)\simeq \frak{S}_n$.

    2°) Si $n\neq 6$, alors $Aut (\frak{S}_n)=Int (\frak{S}_n)$.

    3°) On a $Aut(\frak{S}_6)/Int(\frak{S}_6)\simeq \Z/2\Z$.

    Ces choses sont démontrées par exemples dans le Cours d'algèbre de Perrin.

    A+
    Olus
  • Bonsoir
    <BR>
    <BR>Pour répondre à la question de Ruskiyazzik, une recherche google group avec "automorphism tower" donne, entre autre,
    <a href="http://groups.google.fr/group/sci.math.research/browse_frm/thread/1cf865c9a2e6f003/e009a45390444f4b?lnk=st&amp;q="automorphism+tower"+group:*math*&amp;rnum=2&amp;hl=fr#e009a45390444f4b&quot;&gt; <B> ce message </B> </a>
    <BR>Cela semble répondre à Ruskiyazzik :
    <BR><B>Théorème de Wielandt </B>: Pour tout groupe fini G , la suite Aut(G), Aut(Aut(G)), ... est stationnaire après un nombre fini d'étapes !
    <BR>
    <BR>Alain
  • Olus,

    Merci. Est-ce que je peux conclure que $Aut(S_6)$=$Int(S_6)$ X Z/2 ?

    Michiel
  • Michiel,

    Non, c'est un produit semi-direct (enfin je crois).

    Quelqu'un pourra peut-être préciser ?

    A+
    Olus
  • Alors, $Aut(S_6)$ c 'est quoi?

    Merci, Michiel
  • Merci pour le résultat que nous rapporte Alain Debreil!

    Auriez-vous Cher Alain une idée de la méthode utilisée dans le cas fini?
  • Bonsoir Blair

    Je n'ai pas d'idée pour cette démonstration, je n'ai fait que citer le message référencé :
    It is a classical theorem of Wielandt that the Aut orbit of any finite G reaches a fixed point after a finite number of steps.

    En allant fouiller dans ArXiv vers Août 1998 il y a 2 papiers :
    <http://front.math.ucdavis.edu/math.GR/9808&gt;
    Chaque papier contient une liste bibliographique où fouiller.

    Alain
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