Espaces préhilbertiens

Ramufasa

Bonjour ! Je sollicite votre aide sur l'exercice suivant, sur lequel je bloque complètement, dès la question 1.

On se place dans un espace préhilbertien réel E, on se donne x dans E, et e1, .., en non nuls dans E.
On pose : sigma_k = somme des |<e_k, e_i>|.

Il s'agit de montrer que pour tous a1, ..., an dans R, on a :

||somme des a_k e_k||^2 <= somme des (ak^2 sigma_k).

On doit ensuite en déduire que :

somme des (a_k * <x, e_k>) <= ||x|| * sqrt(somme des ak^2 * sigma_k).

On doit enfin en déduire que :

somme des ( <x,e_k>^2/sigma_k) <= ||x||^2.



Pour la question 1, j'ai tout développé, et je pense qu'il faut appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz mais je ne vois pas comment choisir astucieusement les vecteurs auxquels l'appliquer.

Merci d'avance !

Poirot

Inutile d'invoquer Cauchy-Schwarz pour la première inégalité : $$\left|\left|\sum_{k=1}^n a_k e_k \right|\right|^2 = \sum_{1 \leq i, j \leq n} a_i a_j \langle e_i, e_j \rangle \overset{\text{(inégalité triangulaire)}}{\leq} \sum_{1 \leq i, j \leq n} |a_i a_j| |\langle e_i, e_j \rangle| \overset{ab \leq \frac{a^2+b^2}{2}}{\leq} \sum_{1 \leq i,j \leq n} \frac{a_i^2 + a_j^2}{2} |\langle e_i, e_j \rangle| = \sum_{k=1}^n a_k^2 \sigma_k.$$

Ramufasa

Merci de ta réponse Poirot !

C'est certainement évident mais j'ai du mal à voir pourquoi la dernière égalité est vraie.
Je dois commencer à être rouillé...

Ramufasa

De plus, j'ai trouvé exactement le même exercice sur internet (sans corrigé évidemment), avec une indication pour la question 1) : appliquer Cauchy-Schwarz dans R^(n^2).

Poirot

$$\sum_{1 \leq i,j \leq n} \frac{a_i^2 + a_j^2}{2} |\langle e_i, e_j \rangle| = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n a_i^2 \sum_{j=1}^n |\langle e_i, e_j\rangle| + \frac{1}{2} \sum_{j=1}^n a_j^2 \sum_{i=1}^n |\langle e_i, e_j\rangle|$$ et les deux quantités sont égales (au résultat final).