Est-ce que la répétition est nécessaire ?

PolVano

Bonjour,

J'aimerais vous poser la question de la nécessité de la répétition d'une expérience pour parler de la probabilité d'un de ses résultats. C'est certain que les énoncés des exercices de probabilités ne mettent pas en évidence la répétition de manière claire. Si une personne nous demande quelle est la probabilité d'avoir pile lors d'un lancer d'une pièce de monnaie équilibrée, on répondra instantanément par 1/2 alors que c'est une expérience unique, mais implicitement on suppose que si on lançait cette pièce indéfiniment et qu'on notait le nombre de fois qu'on a eu pile et qu'on divisait par le nombre de lancers alors on aurait "à la fin" 1/2.

Mais dans certains autres exercices je me demande si cette notion de répétition est implicite à l'expérience. Supposons que nous voulons calculer la probabilité que deux personnes se rencontre. Mettons en place quelques hypothèses pour que ce soit plus facile. Disons que les deux personnes ont l'intention de se rencontrer entre 17h et 18h. Avant 17h nous sommes sûr qu'aucune des deux personnes ne serait présente et que 18h passée, si une personne n'est pas encore venu alors elle ne viendrait pas. La première personne peut attendre $t_{1}$ minutes avant de partir si la deuxième ne se présente pas et la deuxième peut attendre $t_{2}$ minutes. Alors on peut calculer la probabilité que les deux personnes se rencontrent. En prenant le choix de la probabilité uniforme dans $\mathbb{R}^{2}$, on aurait des aires de triangles à calculer dans un carré unité. La diagonale du carré représentant le cas où les deux personnes se rejoignent au même instant alors en s'écartant à chaque point d'une part de $t_{1}$ et d'autre part de $t_{2}$ alors on aurait deux triangles qui représentent les instants où les deux personnes vont effectivement avoir leur rendez-vous. La probabilité est alors $P=1-\frac{(1-t_{1})^{2}}{2}\frac{(1-t_{2})^{2}}{2}$
Mais est-ce que la notion de répétition est aussi présente dans ce cas là ? Est-ce que implicitement on se dit qu'en refaisant cette expérience indéfiniment (les deux personnes vont se rencontrer chaque jour au même endroit, entre les mêmes heures, en attendant les mêmes temps, pour une infinité de jours) et qu'on notant les instants où la rencontre a réellement eu lieu par des points sur un carré unité, alors "à la fin" on remplirait les mêmes aires que théoriquement ?

Dans le cas de pile ou face, ça paraît clair et intuitif, dans ce cas c'est un peu "brouillé" pour moi. En fin de compte ma question peut se résumer, est-ce qu'il y a nécessité de la "possibilité" de répétition d'une expérience pour qu'on puisse parler de probabilité ? Dans certains exercices théoriques où les probabilités ne sont qu'un outils cela me paraît encore plus compliqué (par exemple utiliser l'espérance pour calculer une intégrale ...). Dans ces cas je n'arrive vraiment pas à voir où peut se trouver la répétition de l'expérience.

J'espère que vous pourrez m'aider à comprendre cette notion clé des probabilités.

Merci d'avance.

gerard0

Bonjour.

Dans la théorie mathématique des probabilités, ta question n'a pas de sens. Elle ne traite d'ailleurs pas de pièces ni de lieu de rencontre, mais de tribus d'événements, de fonctions de probabilité, de variables aléatoires, etc.

Ensuite, il y a plusieurs options philosophiques sur l'applicabilité de ce modèle mathématique à des situations réelles (dés, rencontres, ...). L'une est basée sur la répétabilité, d'autres sur l'équivalence des cas (= équiprobabilité) et l'indifférence du hasard, d'autres encore laissent aux utilisateurs le soin de justifier cette applicabilité. J'aurais tendance à faire partie de la dernière catégorie.

Cordialement.

PolVano

Bonjour

Merci pour votre réponse ! Vous avez bien raison. Appliquer la théorie des probabilités à la réalité relève de la modélisation et c'est à celui qui établit le modèle de choisir les outils qu'il juge bon. Quant à la théorie des probabilités, elle "s'en fout" du modèle ; qu'il y ait répétabilité ou non (comme pour le point de vue bayésien), il faut juste respecter les axiomes, définitions, théorèmes ... de la théorie. Je pense que la faute que j'ai commise, c'était relier la théorie à ses débuts - qui remontent aux jeux de hasard où la répétabilité est au rendez-vous. Comme si on ne devait utiliser les intégrales que pour des problèmes de surface.

Merci encore !