Ensemble de définition d'un quotient

fricadelle

Bonjour
Je suis comme pris d'un doute quasi mystique devant la question suivante.

Pour quelle valeur du réel $x$ le quotient $\dfrac{x^3 - x}{x - 1}$ est-il défini ?

Alors de but en blanc, le bon sens nous répond : $\forall x \ne 1$.
Par contre, si je ne suis pas trop rouillé en calcul, ce quotient se simplifie en $x(x+1)$, quantité définie pour tout $x$. Un élève (de seconde) insolent aurait tôt fait de remarquer cette simplification. Aussi, que lui répondre ?

D'ailleurs, pour la question suivante : résoudre l'équation $\frac{x^3 - x}{x - 1} = 0$, la simplification nous donne le bon ensemble solution, sans devoir supposer $x \ne 1$.
Donc voilà, quelle est la bonne perspective ?
Merci pour vos lumières et j'espère que ce post ne tranche pas trop avec les questions plus avancées de ce sous-forum algébrique.

Amathoué

Ce quotient ne « se simplifie » que s’il est défini...
Et lorsque c’est le cas il est égal à $x(x+1)$.
Donc la fonction $f$ définie sur $\R \setminus \{1\}$ par $f(x)=x(x+1)$ est la même que $x \mapsto \frac{x^3-x}{x-1}$ définie sur $\R \setminus \{1\}$.

Pour l’équation, bien sûr qu’il faut supposer $x\neq 1$ sinon ton équation n’a pas de sens.

Chat-maths

Que vois-je ? Serait-ce un marronnier ?

Dans ce fil: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1789934
Ce fil: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,2003868
et ce fil: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2009746
Des questions autours de cette thématique (pas forcément les quotients, mais les "ensembles de définitions" en général) ont abimées pas mal de pauvres claviers qui n'en demandaient pas tant.

Bonne lecture.

Thierry Poma

Bonjour,

fricadelle a écrit:

Un élève (de seconde) insolent aurait tôt fait de remarquer cette simplification. Aussi, que lui répondre ?

Enseignes-tu ? Si tel est le cas, ça fait vraiment peur. Tu sais qu'il y a le savoir mathématique universitaire, celui que tu es censé(e) avoir reçu. Je ne vois pas pourquoi l'élève serait insolent. Je le trouverais curieux et attentif.

Cordialement,
Thierry

Dom

Peut-être que le terme « insolent » était ironique.

Mais si l’élève sait justifier tout ça et comprend qu’il y a égalité seulement pour $x$ distinct de $1$, c’est tant mieux.

gerard0

Bonjour

D'ailleurs, pour la question suivante : résoudre l'équation $\frac{x^3 - x}{x - 1} = 0$, la simplification nous donne le bon ensemble solution, sans devoir supposer $x\neq 1$.

Attention au fait que pour l'équation $\frac{x^3 - x}{x - 1} = 1$ la forme simplifiée ne donne le bon résultat que si on impose bien $x\neq 1$. On peut d'ailleurs remplacer 1 par n'importe quel autre réel non nul (il n'y a que 0 qui "marche bien" :-) )

Cordialement.

fricadelle

merci pour vos réponses

@gerard0: ne voulais-tu pas dire $\frac{x^3 - x}{x-1} = 2$ auquel cas en simplifiant et en cherchant les racines du polynômes de degré 2 on trouve pour racine -2 (qui marche en injectant dans le quotient initial) et 1. Donc il fallait faire attention à bien supposer $x \ne 1$. En tout cas oui c'est ce genre de "contre-exemple" qui pourrait peut-être convaincre qu'on ne peut pas simplifier "à travers tout".

@Thierry: je ne suis pas enseignant. Et oui je me suis risqué à un petit trait d'ironie pour exprimer ceci: le collège/lycée des années 2000 m'a laissé un goût très amer qu'une prépa n'a fait qu'accentuer: si je grossissais le trait, je dirais qu'à l'époque j'ai plus appris à lire un graphique qu'à démontrer quoi que ce soit. Comme si on voulait calmer chez les élèves toute velléité scientifique. Ceci dit, si j'ai bien compris, je crois qu'on revient dans les nouveaux programmes à davantage de démonstrations.

gerard0

Pourquoi remplacer 1 par 2 ? Ah oui, j'ai vu ! Voilà ce que c'est de ne pas faire vraiment les calculs jusqu'au bout.

Cordialement.