Applications linéaires

Bonjour,

je sollicite votre aide pour un petit exercice que j'ai du mal à résoudre.

On se place dans un espace vectoriel E, et on se donne f,g,h des endomorphismes de E vérifiant : fg = h, gh = f, hf = g.
Il s'agit de montrer que f,g, et h ont même noyau et image (c'est fait).

Ensuite, on demande de montrer que f^5 = f puis que E s'écrit comme la somme directe du noyau de f et de l'image de f.

Ce sont ces deux dernières questions qui me posent problème.

Pour l'égalité f^5 = f, j'arrive au mieux à montrer une égalité du genre f^4 = hgf.

Pour la dernière question, j'ai du mal à voir comment procéder. Je me dis qu'il faut peut-être montrer que f^2=f pour que la supplémentarité découle des propriétés des projecteurs mais je ne vois pas comment faire...

Merci d'avance.

Réponses

  • On a $f^2=fgh=h^2$ donc $f^3=hhf=hg$.
    D'où $f^5=f^3f^2=hghh=hfh=gh=f$.
  • Pour conclure concernant la somme directe tu peux alors considérer, pour chaque $x\in E$, $x_n=x-f^n(x)$ pour un certain entier $n$ que je te laisse choisir convenablement de sorte que $x_n$ soit dans le noyau de $f$.
  • Est-ce que $E$ est de dimension finie ?
  • gai requin, a priori non. Pourquoi ?
  • Ah oui, le coup de la somme directe marche aussi en dimension infinie, because $f^5=f$.(tu)
  • Oui.

    Il n'est pas difficile de voir que si $x$ est à la fois dans le noyau et l'image de $f$ alors il est nul (car si $x=f(u)$ et si $f(x)$ est nul alors $f^5(u)=0$ donc $f(u)$ nul donc $x$ est nul). (cette explication s'adresse à Ramufasa)
  • Effectivement, c'est très clair, merci à tous les intervenants !
  • On peut retenir que pour tout ev $E$, si $f$ est un endomorphisme de $E$ tel qu'il existe $n\geq 2$ vérifiant $f^n=f$, alors $E=\text{Ker} f\oplus\text{Im}f$.
  • Exercice classique.
    Si $f$ est un endomorphisme de $E$ tel qu'il existe $n\geqslant 2$ vérifiant $f^n=f$, alors $G=\{f^k\mid 1\leqslant k\leqslant n-1\}$ est un groupe pour la composition (si si !) et tous ses éléments ont le même noyau et la même image. De plus $f^{n-1}$ est un projecteur, il en découle en particulier que $E=\ker(f)\oplus \mathrm{Im}(f)$.

    Remarque : je crois me souvenir qu'il y a eu, il y a bien des années, une épreuve de l'X sur l'étude des parties de $L(E)$ formant un groupe pour la composition...
  • De nos jours il n'y a pas matière à un grand problème, mais ceci peut fournir un bon sujet de colle en MP, ni trivial ni infaisable.Soit $E$ un espace vectoriel et $\mathcal L(E)$ l'ensemble de ses endomorphismes. Une partie $\mathcal H$ de $\mathcal L(E)$ est un groupe pour la composition des applications si et seulement si il existe deux sous-espaces supplémentaires $F$ et $G$ de $E$ telles que $\mathcal H$ est exactement l'ensemble des $ f \in \mathcal L(E)$ tels que $ F= \mathrm{Im} f$ et $G = \ker f$.On peut en déduire les parties de $\mathcal L(E)$ qui sont des anneaux pour l’addition et la composition, sans être des sous-anneaux de $\mathcal L(E)$.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.

    Edit. Énoncé erroné, erreur relevée par JLT plus bas.
  • Pour en revenir au problème posé, on peut se demander quels sont les endomorphismes $f,g,h$ qui vérifient ces propriétés. Ils admettent comme polynôme annulateur $X^5-X$. Si ce sont des endomorphismes d'un $\mathbb C$- espace vectoriel $E$ de dimension finie, ils sont donc diagonalisables avec valeurs propres $0, \pm1,\pm i$. S'ils commutent, ils se diagonalisent dans une même base, avec les valeurs propres $0$ et $ \pm1$, la valeur propre $0$ ayant le même ordre, et l'on trouve facilement des exemples. Mais s'ils ne commutent pas ?
    Pour simplifier, on peut considérer les endomorphismes $\widetilde{f}, \widetilde{g},\widetilde{h}$ induits sur l'image commune $F$, qui sont des automorphismes de polynôme annulateur $X^4-1$.
    Qu'en pensez-vous ?
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • Chaurien écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2068958,2070080#msg-2070080

    $F$ est l'image de l'élément neutre de $(\mathcal H,\circ)$, qui la projection sur $F$ parallèlement à $G$.
    Et on peut vérifier alors que $\mathcal H$ est isomorphe à un sous-groupe de $(\mathrm{GL}(F),\circ)$.
  • Une proposition pour $f$, $g$ et $h$ qui ne commutent pas, sous forme matricielle (respectivement $A$, $B$ et $C$) dans $\mathrm{M}_4(\mathbb C)$ :
    $$A = \begin{pmatrix}
    1 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & -1 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & -1 \\
    0 & 0 & 1 & 0
    \end{pmatrix},
    B=\begin{pmatrix}
    -1 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & -1 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & \frac{i}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}} \\
    0 & 0 & \frac{i}{\sqrt{2}} & \frac{-i}{\sqrt{2}}
    \end{pmatrix},
    C = A\times B =\begin{pmatrix}
    -1 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & -\frac{i}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}} \\
    0 & 0 & \frac{i}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}}
    \end{pmatrix}$$

    En espérant ne pas avoir fait d'erreur de recopiage.
  • Chaurien a écrit:
    Une partie $\mathcal H$ de $\mathcal L(E)$ est un groupe pour la composition des applications si et seulement si il existe deux sous-espaces supplémentaires $F$ et $G$ de $E$ telles que $\mathcal H$ est exactement l'ensemble des $f\in\mathcal L(E)$ tels que $F=\text{Im}\, f$ et $G=\ker f$.

    Que sont $F$ et $G$ pour $\mathcal{H}=\{\text{Id}\}$ ?

    P.S. Pour l'exercice initial, en décomposant $E$ suivant les espaces propres de $f^2=g^2=h^2$, on trouve que $E=E_0\oplus E_1\oplus E_{-1}$ où $f,g,h$ sont nuls sur $E_0$, laissent stables $E_1$ et $E_{-1}$ de sorte que $f,g,h$ sont des symétries co-diagonalisables sur $E_1$, et $E_{-1}$ est une représentation du groupe quaternionique pour laquelle $f^2=g^2=h^2=-\text{Id}$.
  • Si $\mathcal H=\{\mathrm{Id}\}$ alors $F=E$ et $G=\{0\}$ !

    Edit : oups ! Dans l'énoncé de Chaurien ce n'est pas une équivalence en effet mais seulement un implication ! Si $F=E$ et $G=\{0\}$ alors on a $\{f\in\mathrm L(E)~/~\ker(f)=G,\ \mathrm{Im}(f)=F\}= \mathrm{GL}(E)\neq \mathcal H$. Par contre, si $\mathcal H$, une partie de $\mathrm L(E)$, est un groupe pour la composition, alors il est isomorphe à un sous-groupe de $(\mathrm{GL}(F),\circ)$.
  • Pour revenir au fil initial, et compte tenu des relations, lorsque $f$ et $g$ ne commutent pas, on peut vérifier que l'ensemble $\mathcal H=\{f,f^2,f^3,f^4,g,g^3,h,h^3\}$ est un groupe pour la composition. On a aussi $\mathcal H=\{f,f^2,f^3,f^4,g,g^3,fg,fg^3\}=\mathrm{Gr}(x,y~|~x^2=y^2,x^4=1,xyx^3=y^3)$, ce qui correspond à la structure du groupe quaternionique comme l'a justement fait remarquer JLT dans son message.
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