Intégrales généralisées

Salut, je n'arrive pas déterminer le domaine de définition de la fonction suivante : $\quad\displaystyle f(x) = \int_{0}^{1}{\frac{t-1}{\ln t}t^{x}dt}$.
Merci d'avance.

Réponses

  • Ça fait penser aux critères de Bertrand.
  • On se restreint aux $x$ positifs pour des raisons évidentes de définition de la fonction puissance (en notant que les valeurs entières strictement négatives de $x$ font toutes diverger l'intégrale en $0$).

    Pour $x \geq 0$, l'intégrande est continue sur $[0, 1[$, il n'y a donc qu'un éventuel problème en $1$, mais on voit déjà que la valeur de $x$ ne change rien au voisinage de $1$. Puisque $\ln t \underset{t \to 1}{\sim} t-1$ on voit que l'intégrande est également continue en $1$. Conclusion : le domaine de définition est $\mathbb R^+$.
  • Un certain TJF a posé exactement la même question ici : INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
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