Arrangement d'objets partiellement distincts

arc999

Bonjour,
J'ai un problème d'analyse combinatoire: nous plaçons dans un seau deux balles rouges, deux balles vertes et deux balles bleus. Il n'est permis de retirer du seau que deux balles. En procédant en un tirage à l'aveugle sans remise quelles sont les combinaisons possibles? L'ordre est important.

Avec un tableau c'est facile à résoudre, mais le résultat ne correspond pas aux résultats obtenus en utilisant une des formules de l'arrangement. Quelle formule je dois utiliser svp?
Avec un tableau le résultat est de 9 combinaisons.
Merci à celui ou celle qui m'aidera.

Rescassol

Bonjour,

$\{RR,VV,BB,RV,VB,RB,VR,BV,BR \}$, donc $9$, avec ordre ?
Ou encore $A_3^1+A_3^2=3+6=9$.

Cordialement,

Rescassol

arc999

Merci! Comment écrire cette formule de manière brute?

Rescassol

Bonjour,

"Brute" ?

Une couleur parmi $3$ ou $2$ couleurs parmi $3$.

Cordialement,

Rescassol

arc999

D'accord! Et dans le cas où nous aurions plutôt: 2 balles rouges, 2 balles vertes mais seulement 1 balle blue, comment calculer?

Rescassol

Bonjour,

On enlève $BB$, donc plus que $8$.
Ou alors $A_2^1+A_3^2=2+6=8$.

Cordialement,

Rescassol

arc999

Merci!

arc999

Bonjour,
Permettez-moi de revenir sur ce sujet.
Je n'arrive pas à appliquer cette méthode à d'autres cas. Par exemple si j'ai plutôt un ensemble {R,R,R,V,V,V,B,B,B} ou {R,R,R,V,V,V,B,B}. "Manuellement"(sans formule) je trouve dans le premier cas 27 arrangements et dans le second cas 26 arrangements. Mais quelle "formule générale" utiliser?
Cordialement.

arc999

J'oublie de préciser, de me deux derniers exemples les balles sont prises par groupe de 3

Rescassol

Bonjour,

$A_3^1+A_3^2\times A_3^1+A_3^2=3+6\times 3+6=27$.
Puis:
$A_2^1+A_3^2\times A_3^1+A_3^2=2+6\times 3+6=26$.
Je te laisse voir pourquoi.

Cordialement,

Rescassol

arc999

Merci,
Malheureusement je n'arrive pas à voir le pourquoi. Une explication je vous prie.

babsgueye

Salut @Rescassol,
je ne vois pas dans tes deux dernières formules, le $A_3^2$ que tu ajoutes, c'est quoi ?
Merci.

Rescassol

Bonsoir,

C'est une faute de frappe, Babsgueye, $3$ couleurs parmi $3$ dans l'ordre, donc $A_3^3=6$.

Cordialement,

Rescassol

babsgueye

Merci.
Mais je pense, si je comprends ton raisonnement, que ce nombre est dans le deuxième terme. J'ajouterais plutôt $2\times A_3^1$, pour plus de logique et d'harmonie.

Cordialement.

Rescassol

Bonjour,

Pour le deuxième terme, $A_3^2=6$ pour $2$ couleurs parmi $3$ et $A_3^1=3$ pour $1$ position parmi $3$.

Cordialement,

Rescassol

babsgueye

C'est ce que j'ai compris. C'est pourquoi je dis que dans ce terme tu as le $A_3^3$ que tu ajoutes à la fin.

Cordialement.

Rescassol

Bonsoir,

Ben non, les tirages tricolores ne sont pas comptés dans les tirages bicolores.

Cordialement,

Rescassol

babsgueye

Et pour toi , le deuxième terme, celui que tu viens d'expliquer dans ton dernier post, c'est que des tirages bicolores ! Je ne le vois pas comme ça.

Rescassol

Bonsoir,

$A_3^2=6$ pour choisir $2$ couleurs parmi $3$ dans l'ordre, la première pour le singleton ( ex $R$) et la deuxième pour le double (ex $V$), ce qui ne laisse comme choix que ${RVV, VRV,VVR}$.
Ensuite $A_3^1=3$ pour choisir la position du singleton ($R$ dans l'exemple).
En tout, ça donne $A_3^2\times A_3^1=18$ tirages bicolores possibles.
Je ne dis pas qu'on ne peut pas faire autrement, mais cette façon de faire est correcte.
Il reste le premier terme, $A_3^1=3$, pour les tirages monocolores ($1$ couleur parmi $3$) et le dernier terme, $A_3^3=6$ pour les tirages tricolores ($3$ couleur parmi $3$) .

Cordialement,

Rescassol

PetitLutinMalicieux

Bonjour.

Le dénombrement, c'est justement compter de façon industrielle et non à la main. Ici, vous maquillez votre comptage à la main en comptage industriel. Admettez qu'il n'y a pas de formule et vous gagnerez du temps.

À un rang donné, on ne sait pas s'il y a encore des boules disponibles d'une certaine couleur.

Rescassol

Bonsoir,

Arc999, je te prierai de me poser les questions mathématiques ici et non en MP.

PLM, je ne sais pas à qui tu parles ni où tu veux en venir.

Cordialement,

Rescassol

arc999

Bonjour,
Permettez-moi de revenir sur cette vieille question que j'avais posée dans le groupe. J'ai essayé de généraliser le problème comme ceci :
Il existe un ensemble A de "n" éléments tel que A={x1+x2+...+xn}. Cet ensemble contient "mi" sous-ensembles d'éléments identiques ayant chacun une quantité "pj" quelconque d'éléments. Quelles sont les nombres d'arrangements et de combinaisons possibles de "y" éléments pris dans cet ensemble ? (Tirage sans remise)

Je me demande si PLM n'avait pas raison en disant qu'il n'y a pas de formules.

S'il y a une formule "générale" prière de me la montrer, en espérant avoir correctement formulé le problème.
Je vous remercie d'avance.

PetitLutinMalicieux

Pour commencer, une grosse banalité : si tu tires "y" boules parmi "n", tu as, quelles que soient les couleurs des boules,

• $A_n^y$ cas possibles (avec un tirage dans l'ordre)
• $C_n^y$ cas possibles (avec un tirage sans ordre)

Si tu veux dénombrer une palette particulière, il faut donner cette palette dans l'énoncé, c'est-à-dire la quantité par couleur. Le seul "y" ne suffit pas.

De plus, ces "palettes" sont nécessairement disjointes. On ne peut pas avoir 3 rouges et 2 rouges simultanément. Donc, d'un point de vue dénombrement, tu vas faire l'addition de calculs séparés.