vraie mais indémontrable ?

Sylvain

Bonjour,

D'après Gödel, si j'ai bien compris, toute théorie contient des propositions vraies mais indémontrables. Ca m'intrigue beaucoup: comment sait-on qu'une proposition est vraie si on ne peut pas la démontrer ?

Merci de m'éclairer.

Jean-charles

Ce n'est pas indémontrable, c'est indécidable il me semble.
Cela signifie, je crois, que l'on peut ajouter une proposition $A$, ou $nonA$ à une théorie sans la modifier.

Sylvain

Le doute m'habite ;-)

jérémy2

Bonsoir,

le message de Sylvain me fait penser au livre Oncle Petros et la conjecture de Goldbach, où ce brave Oncle Petros passe de longues années de sa vie à chercher la preuve de cette conjecture, et un beau jour, il apprend l'existence du théorème de Godel...

Sylvain serait-il en train de se poser la question : RH est-elle indécidable?

Jérémy

le poulpe

Ca peut etre démontrable avec une autre théorie
Par exemple il existe des propositions vraies car démontrées avec de l'analyse
qui sont indémontrables dans l'arithmétique de Peano

Sylvain

Bien vu Jérémy: je me suis effectivement demandé cet après-midi si RH était indécidable...

bisam0

En fait Godel a en quelque sorte démontré qu'on pouvait fabriquer une phrase logique qui dit :"Je ne suis pas démontrable".

Si elle était fausse, alors elle serait démontrable et donc on pourrait démontrer une phrase fausse... ce qui est incohérent.

Donc c'est qu'elle est vraie... mais indémontrable.

Le théorème de Gödel affirme donc que dès qu'un système est capable d'écrire une phrase de ce type soit il est incohérent (il permet de montrer des phrases fausses, chose à laquelle les mathématiciens se refusent, bien entendu !) soit il est incomplet (il ne permet pas de montrer toutes les phrases vraies).

Or les systèmes qui permettent ça sont TRES nombreux !!
En fait, si je ne m'abuse, on n'en connaît qu'un seul qui ne le permette pas.... et en pratique, il ne sert qu'à ce contre-exemple.

Incognito0

et quel est ce contre exemple bisam ??

ca m'a toujours intéressé tout ce qui touche à la théorie de Godel...

helas à Nantes il faut faire de la philo (module de logique en licence) pour aborder ce genre de notions (indécidabilité, completude, etc...)

donc dès que je peux en comprendre un peu d'avantage... je prend

t-mouss

Bruno

Bonjour Sylvain.
<BR>
<BR>Tout est dans le "vrai".
<BR>
<BR>De deux choses l'une : ou bien on appelle "vrai" ce qui est "démontrable" et les propositions "vraies non démontrables" n'existent pas ; ou bien on appelle vrai des énoncés qui le sont pour des raisons non formelles mais on ne peux pas les démontrer.
<BR>
<BR>J'essaye de clarifier :
<BR>
<BR>Les axiomes de Peano définissent les nombres entiers. Mais, comme cela commence à se savoir, il y a un "modèle standard" des entiers et de nombreux "modèles non standards" dont le modèle standard est un segment initial ou pas.
<BR>
<BR>Tout énoncé <B>valide</B> dans le modèle standard est un énoncé "<B>vrai</B>" car intuitivement, le modèle standard représente aussi exactement que possible ce que nous entendons tous par "les entiers..." <I>Cependant, parmi ces énoncés, il y en a qui ne sont pas valides dans au moins un modèle non standard</I>. <B>Un tel énoncé ne peut donc pas être démontrable car tout énoncé démontrable est valide dans tout modèle de l'arithmétique</B>.
<BR>
<BR>Maintenant, un exemple "concret" : Gödel a fabriqué un énoncé qui dit : <I>le système d'axiomes de Peano est non contradictoire</I>. Cet énoncé est vrai, du moins nous fonctionnons tous comme s'il l'était. Mais il n'est pas démontrable, toujours d'après les travaux de Gödel.
<BR>
<BR>Bruno<BR>

Incognito0

re-bonjour

"Un tel énoncé ne peut donc pas être démontrable car tout énoncé démontrable est valide dans tout modèle de l'arithmétique"

A-t-on une idée de la quantité de modèle de l'arithmétique ?

Suffirait-il de montrer qu'une proposition n'est pas valide dans un modèle pour montrer qu'elle n'est pas démontrable ? et si NON, comment s'y prend-on pour montrer, par exemple, que l'hypothèse du continu est indécidable ? (évidement je ne demande que les grandes lignes, l'idée principale, car le reste risque de me dépasser)

Enfin, pour l'histoire de meta-observateur, peut-on toujours se placer d'un point de vue plus large pour décider d'une proposition ?

Je m'explique : pour reprendre l'exemple de Bisam "Je ne suis pas démontrable" : 'Si elle était fausse, alors elle serait démontrable et donc on pourrait démontrer une phrase fausse... ce qui est incohérent.'

Mais alors il suffit de se placer à "l'extérieur" de la théorie, en meta-observateur. On regarde la théorie non plus de l'intérieur, mais d'un point de vue plus global (je ne sais plus trop ce que je raconte moi on peut donner un autre sens à "cette phrase est fausse" et du coup ça n'implique plus qu'on démontre une proposition fausse... ou alors je raconte n'importe quoi...

t-mouss qui se réveille

Incognito0

" s'y prend ton" ---> " s'y prend-t-on"

un bel exemple de "cliquer sur envoyer" et relecture simultanée...

mais il n'est que 9h20 (8h20 sur le forum) donc g des excuses...

t-mouss

Bruno

Salut incognito.

Entre nous, t-mouss, un de ces quatre je ne vais pas t'identifier et tu pourras hurler à la censure :-))

Il y a un vieux théorème appelé "Théorème de Löwenheim-Skolem" qui nous assure que toute théorie d'un langage de cardinalité $\kappa \geq \aleph_0$ qui admet un modèle possède des modèles de toute cardinalité supérieure à $\kappa$. Donc toute théorie non contradictoire possédant un modèle infini {\bf possède une classe propre de modèles non isomorphes}.

Passons aux relations entre sémantique et syntaxique. Ceci est réglé par le théorème de complétude du calcul des prédicats du premier ordre de Gödel :

{\it Une théorie du premier ordre $T$ est non contradictoire si, et seulement si, elle admet un modèle.}

D'autre part, la notion de modèle est définie de telle façon que tout modèle d'une théorie est modèle de tous les énoncés déductibles de la théorie.

Conséquence : on démontre qu'un énoncé $\matcal E$ n'est pas déductible (je préfère ce terme à "non décidable" qui est polysémantique) de la théorie $T$ en exhibant un modèle de $T \cup \{\neg \mathcal E\}$ et l'on démontre qu'un énoncé est compatible avec la théorie en exhibant un modèle de $T \cup\{\mathcal E\}$.

As-tu besoin d'autres précisions ?

Bruno

Bruno

Salut incognito.

Entre nous, t-mouss, un de ces quatre je ne vais pas t'identifier et tu pourras hurler à la censure :-))

Il y a un vieux théorème appelé "Théorème de Löwenheim-Skolem" qui nous assure que toute théorie d'un langage de cardinalité $\kappa \geq \aleph_0$ qui admet un modèle possède des modèles de toute cardinalité supérieure à $\kappa$.

Donc toute théorie non contradictoire possédant un modèle infini {\bf possède une classe propre de modèles non isomorphes}.

Passons aux relations entre sémantique et syntaxique. Ceci est réglé par le théorème de complétude du calcul des prédicats du premier ordre de Gödel :

{\it Une théorie du premier ordre $T$ est non contradictoire si, et seulement si, elle admet un modèle.}

D'autre part, la notion de modèle est définie de telle façon que tout modèle d'une théorie est modèle de tous les énoncés déductibles de la théorie.

Conséquence : on démontre qu'un énoncé $\mathcal E$ n'est pas déductible (je préfère ce terme à "non décidable" qui est polysémantique) de la théorie $T$ en exhibant un modèle de $T \cup \{\neg \mathcal E\}$ et l'on démontre que cet énoncé est compatible avec la théorie en exhibant un modèle de $T \cup\{\mathcal E\}$.

As-tu besoin d'autres précisions ?

Bruno

J2L21

Bonjour à tous

pour Bruno : je ne suis pas spécialiste, mais j'essaye de comprendre -->

"Maintenant, un exemple "concret" : Gödel a fabriqué un énoncé qui dit : le système d'axiomes de Peano est non contradictoire. Cet énoncé est vrai, du moins nous fonctionnons tous comme s'il l'était. Mais il n'est pas démontrable, toujours d'après les travaux de Gödel. "

Donc "vrai" signifie parfois :

"on fait comme si c'était vrai dans la pratique" ?

Bruno

Bonjour J2L2.

Je crois que c'est un peu plus profond que ça. Personellement, j'aurais rangé mes livres et mes cahiers depuis longtemps si j'avais vraiment cru que l'arithmétique (ou la théorie des ensembles) étaient contradictoires. Pas toi ?

Ce que je disais c'est que nous sommes persuadés au fond de nous-même que l'arithmétique est une théorie mathématique non contradictoire ou du moins que si elle se révèle un jour contradictoire, on pourra dépasser cette contradiction comme on l'a fait par le passé pour la théorie des ensembles. Si elle était irrémédiablement contradictoire, nous y intéresserions-nous ?

Bruno

Gari

Bruno, t-mouss ne peut pas ne pas être reconnu : il a une signature automatique (enfin, il me semble, mathématiquement je ne peux le prouver puisque je n'ai pas accès à son compte, mais d'un point de vue physique, puisque tous ses messages terminent par 't-mouss', je suppose que c'est le cas ).
Bref, quel que soit son 'pseudo', au moment d'envoyer il y a le "t-mouss" qui apparait tout seul.

Corrige moi si j'ai tord, t-mouss !

Cordialement,

Gari.

Bruno

J'insiste :

On ne peux pas jouer à faire comme si c'était vrai, quelque part on y croit profondément, sinon on fait autre chose.

Bruno

J2L21

Merci Bruno pour ta réponse, le sujet est intéressant, du moins je commence à m'y intéresser ! Godement, dans son premier tome d'analyse, écrit après plusieurs pages sur le sujet : "maintenant, faisons de vraies mathématiques" ! ... c'est dire que les sujets sont différents. Ce qui rebute dans une première approche de la logique, c'est le vocabulaire (ex : classe propre de modèles non isomorphes), mais il n'y a qu'à s'y mettre, me diras-tu !

manuel

Pour être clair : dans la phrase (1)"D'apès le théorème de Gödel, dans l'arithmétique de Peano, si on la suppose non contradictoire, il existe un énoncé $E$ {\it vrai} mais non déductible", peut-on donner un sens purement mathématique au mot {\it vrai}?

Doit-on au contraire faire appel à l'idée méta-mathématique (pour ne pas dire méta-physique) que (2)"parmi tous les modèles qu'admet Peano, il existe un modèle privilégié $MP$ qui représente les entiers", et convenir que dans la phrase précédente, "$E$ est {\it vrai}" veut dire "$MP$ est également un modèle de $Peano \cup \{E\}$"?


Merci de me répondre en distinguant bien les arguments techniques purement mathématiques et les idées plus personnelles, ce sujet est souvent si embrouillé...

Sylvain

Mais alors y a-t-il un moyen de déterminer a priori si un énoncé donné d'une théorie donnée est déductible de ses axiomes ou pas ?

J2L21

le moyen, c'est la démonstration ! exemple : l'hypothèse du continu a été traitée par Cohen en particulier ...

manuel

En fait, si tu parles d'un moyen général, qui marche pour une proposition arbitraire, il n'y en a pas, et c'est bien là le sel de la chose.
A rapprocher du fait que, quand une proposition est démontrable dans un système, il n'y a pas de moyen d'en avoir "automatiquement" une démonstration.
Sinon tous les mathématiciens seraient au chômage :-)

Jim1

Mon petit Sylvain attention à la godélite..! si elle t'attrape elle ne te relache plus

manuel

Pour en revenir à ma question (message de 12:00) : en fait, je pense plus précisément à une interview d'Alain Connes que j'ai lue il y a quelque temps, dans laquelle, si j'ai bien compris, il s'appuye sur ce que j'ai nommé (1) pour établir un truc proche de (2), à savoir ce qu'il appelle une "réalité mathématique archaïque" (au sens, toujours d'après mes souvenirs, de "pré-existente à nos tentatives de formalisation").

Or il me semble au vu des messages précédents que justement l'hypothèse (2) serait un moyen de donner un sens à l'affirmation (1), et non une conséquence de celle-ci.

D'où ma question : y a-t'il une interprétation purement mathématique et exacte de la phrase (1), ne nécessitant aucun procédé du genre (2) pour donner un sens au mot "vrai"?

PS : désolé si je ne suis pas très clair... ce qui se conçoit mal n'est pas toujours facile à énoncer clairement, et les mots pour le dire etc.

PPS : j'espère que le fait d'avoir nommé A Connes ne découragera pas les gens de répondre ;-)

Sylvain

jim, sache que je n'accepte les termes du style "mon petit Sylvain" que de la part d'une sympathique représentante de la gent féminine, ce qui, je crois, ne reflète pas ton cas personnel.

Bruno

Décidément, je ne peu pas balader Nirvanah tranquille.
<BR>
<BR>Il y a trop de choses d'écrites et il faut que je médite certaines réponses.
<BR>
<BR>Pour Sylvain :
<BR>
<BR>"<I>Mais alors y a-t-il un moyen de déterminer a priori si un énoncé donné d'une théorie donnée est déductible de ses axiomes ou pas ?</I>"
<BR>
<BR>Un tel moyen s'appelle un <B>algorithme de décision</B>. On sait que le calcul propositionnel est décidable par le biais de l'algorithme des formes normales disjonctives et conjonctives. On sait que le calcul des prédicats du premier ordre ne l'est pas et c'est un problème de quantificateurs. D'où des recherches dans les années 1930/1950 pour "éliminer les quantificateurs" (skolémisé d'une théorie) puis déterminer des théorie possédant la propriété "d'élimination des quantificateurs".
<BR>
<BR>Bruno<BR>

Jules Renucci

Je voudrais poser ici une question qui parîtra sans doute naïve à cerains parmi vous.

Le théorème d'incomplétude de Gödel peut en gros s'énoncer ainsi :
Dans toute branche des mathématiques suffisamment complexe(par exemple l'atithmétique), il existe une infinité de faits vrais qu'il est impossible de prouver en utilisant la branche des mathématiques en question.

Il s'agit bien d'un théorème.

La question que je pose est donc la suivante :

Peut-on citer quelques-uns des ces "faits vrais" qui ne peuvent être démontrés ? Je précise : Peut-on démontrer qu'un "fait vrai" ne peut être démontré ?

Gödel affirme que ces faits existent. Un seul exemple suffirait à ma curiosité.
Existe t-il par exemple une conjecture dont on a démontré qu'elle ne pouvait être prouvée?
merci

J2L21

A ma connaissance : l'hypothèse du continu

Domi1

Jules,

il me semble que le théorème de Gödel ne dit pas tout à fait ce que tu veux bien lui faire dire . Un fait vrai est démontrable , s'il n'est pas démontrable il est indécidable c'est à dire pouvant être considéré comme vrai ou faux sans contredire l'ensemble des axiomes . Si un ensemble d'axiome est cohérent , ajouter à cet ensemble d'axiome un indécidable ( ex. hypothèse du continu ) ne rompt pas la cohérence de l'ensemble .

Domi

manuel

Pour rebondir sur les messages précédents, c'est bien ma question : la conclusion du théorème d'incomplétude est-elle qu'il existe des propositions vraies non démontrables (si oui dans quel sens précis sont-elles vraies) ou tout simplement qu'il existe des propositions qui sont non démontrables sans que leur contraire soit pour autant démontrable?

PS : pour jouer la fine bouche sur le message de Domi une proposition indémontrable n'est pas forcément indécidable, elle peut être tout simplement fausse. Nuance entre indémontrable et indécidable... (Faire aussi gaffe comme l'a dit Bruno au sens algorithmique du mot indécidable, mais il me semble que c'est une autre histoire.)
Ainsi, Cohen n'a pas seulement prouvé que l'hypothèse du continu n'est pas démontrable dans ZFC, mais qu'il en est de même pour sa négation!
Autre exemple : ni l'axiome du choix ni sa négation ne sont démontrables dans ZF.

Domi1

D'accord Manuel des 'nuances' qui ont leur importance .

Domi

Bruno

Je voudrais revenir sur les faits "vrais" et "non démontrables". Je ne sais pas qui a introduit cette notion qui me paraît plus relever de la théorie des modèles que de la logique formelle.

Comme exemple, il me semble que l'énoncé fabriqué par Gödel dans sa démonstration du théorème d'incomplétude est un bon exemple.

Il a fabriqué un énoncé codé qui, une fois décodé, signifie : "Je suis un énoncé non démontrable". Il est clair que cet énoncé est vrai et non démontrable.

1°) Si cet énoncé était démontrable, il serait vrai (tout ce qui est démontrable est vrai) donc il serait non démontrable ; contradiction.

2°) S'il était faux, alors, il serait démontrable contrairement à ce qu'il prétend (car on est assuré que c'est un énoncé) et on est ramené au 1°) ; donc il est vrai.

Bruno

Bruno

En remontant : pour J2L2, l'hypothèse du continu n'est pas un énoncé vrai. C'est un énoncé compatible avec $ZF$ (Gödel 1940 ?) dont la négation est également compatible avec $ZF$ (Cohen 1963). Autrement dit, il n'est pas déductible de $ZF$ et sa négation non plus.

C'est autre chose que l'exemple précédent.

Bruno

@l

Salut,

deja, soyons clair, la logique mathematique, c'est que des maths, donc c'est pas magique: on a eu tendance a fantasmer un peu trop sur les theoremes de Godel et la theorie des ensembles.

Une theorie $T$ est juste un ensemble de formules closes dans un langage donne. $T$ peut etre {\bf consistante}, c'est a dire qu'il existe un modele de $T$ ou {\bf coherente}, c'est a dire que $T$ ne peut pas {\bf demontrer} une formule et son contraire.

Une demonstration de $F$ par $T$ est une suite finie de formules, utilisant les enonces de la theorie $T$, des tautologies et des regles de deduction, telle qu'en bout de suite on a $F$.

Il est "clair" que si $T$ est consistante, alors elle est coherente; la reciproque n'est pas forcement vraie. Le theoreme de completude de Godel (rien n'a voir avec la completude d'une theorie) affirme qu'avec l'Axiome du Choix, "consistante" est equivalente a "coherente".

Maintenant, une theorie peut etre {\bf complete}, c'est a dire que, pour $F$ une formule, soit elle demontre $F$, soit elle demontre non-$F$.
Une theorie peut etre {\bf decidable} (rien n'a voir avec la decidabilite d'une formule...), c'est a dire qu'il existe un algorithme qui permet de savoir si, pour une formule $F$ donne, $T$ demontre $F$.

Godel a prouve que la theorie de l'arithmetique de Peano est incomplete (premier theoreme) et donc indecidable, par un theoreme de logique bien connu. Des gens comme Chaitin ont exhibite par la suite des formules sympathiques qui sont ni vraies, ni fausses dans Peano.

Le second theoreme de Godel est beaucoup plus tendancieux, et personnellement, je ne l'aime pas.... On a dit qu'il prouvait que l'arithmetique ne prouve pas sa propre coherence... c'est plus complique que ca, mais je ne veux pas rentrer dans les details.

Au niveau de la theorie des ensembles, $ZF$ n'est pas complete non plus.

Pour finir, parler de vrai en logique est tres dangereux: ca ne veut pas dire grand chose, en fait...

@l

Carlos0

Et pour encore plus d'infos, voir les presentations de Y.Ollivier <a href=" http://www.eleves.ens.fr/home/ollivier/goedel/goedel.html"&gt; http://www.eleves.ens.fr/home/ollivier/goedel/goedel.html</a&gt;
<BR>
<BR>et de J-Y Girard <a href=" http://iml.univ-mrs.fr/~girard/theodem.pdf.gz"&gt; http://iml.univ-mrs.fr/~girard/theodem.pdf.gz</a&gt; <BR><a href=" http://iml.univ-mrs.fr/~girard/wtls.pdf.gz"&gt; http://iml.univ-mrs.fr/~girard/wtls.pdf.gz</a><BR&gt;

manuel

Merci @l pour ton intervention, claire et précise comme d'habitude. Cependant, la fin (2nd théorème) me laisse un peu sur ma faim... Connais-tu une référence où on peut trouver tout ça un peu expliqué, sans trop de divagations, et avec au moins un énoncé mathématique précis des théorèmes en question?
merci d'avance

manuel

hum, je n'avais pas vu les liens avant de poster, ça a l'air pas mal, le premier promet justement des énoncés précis :-))
j'y vais faire un tour de ce pas

Aldo0

>>Bruno (Date: 09-21-05 18:14)

Ce raisonnement me semble dangereux : à la fin, on peut conclure, cet énoncé est vrai et indémontrable, ... comme nous venons de le démontrer !

Aldo

Sylvain

Je suis tout-à-fait d'accord avec Aldo...

Bruno

Aldo, tu es trop gentil ; tu penses que le raisonnement est faux.

Sauf erreur de ma part, je n'ai pas démontré l'énoncé, j'ai "démontré" (disons plutôt justifié intuitivement) que l'énoncé n'était pas démontrable.

J'y vois comme une nuance.

Bruno

Aldo0

D'accord Bruno, c'était juste pour relever les deux "niveaux" de "démontrer".

L'énoncé (disons G) fabriqué par Gôdel dit : "je ne suis pas démontrable dans le système".

Ta démonstration prouve que G est intuitivement vrai. Et il n'y a pas de contradiction puisque cette "démonstration" n'est pas faite dans le système.

Aldo.

Bruno

Nous sommes donc bien d'accord. J'en avais des frissons d'avoir le sentiment d'écrire n'importe quoi :-))

Bruno

jean Lismonde0

bonjour Sylvain

dans les années 1930 si les mathématiciens en étaient restés aux fameux théorèmes de Gödel ils seraient devenus neurasthéniques et pour tout dire stériles car ces théorèmes sont factices (heureusement au même moment sont sortis en statistique mathématique les théorèmes de Pearson et aussi le test du Khi deux qui nous ont rappelé que les mathématiciens savaient également être productifs)

Que dit Gödel:

théorème 1: si l'arithmétique formelle n'est pas contradictoire ce n'est pas une théorie complète: autrement dit pour viser la synthèse il faut être contradictoire. Les étudiants en math sont bien avancés avec un tel théorème!

théorème 2: si l'arithmétique formelle est non-contradictoire sa non-contradiction n'est pas décidable (démontrable) par les méthodes formalisables dans cette même arithmétique. Autrement dit toute démonstration logique et déductive en math est vouée à l'échec. Résultat exceptionnel qui a fait avancer la science mathématique de plusieurs siècles!

cordialement

Jim1

Mon petit sylvain...lis au moins ce que Godel a écrit avant de venir nous agacer ! tu trouveras le sujet dans les ouvrages de métamathématiques .

Normalement, il est interdit de parler de Godel sans avoir passer au préalable son oeuvre au peigne fin !

[Sylvain n'a pas parlé de Gödel, il aposé des questions au sujet de son travail. On croirait à un nouvel avatar de Gerome, tout y est : mépris hautain et pas de preuve du savoir faire du monsieur. S'y rajoutent quelques injures racistes inadmissibles. Bruno]

Bruno

Il va quand même falloir que je mette une fois les points sur les i, Jean Lismonde.

Tu as le droit de ne pas apprécier les travaux Gödel, mais pendant une trentaine d'années, toute la logique moderne tenait dans les quelques théorèmes qu'il avait démontrés.

Ce n'est pas un monsieur qui a ouvert sa fenêtre un beau jour en se disant "Tiens ! Et si l'arithmétique formelle était contradictoire que se passerait-il ?"

Il s'est attaqué au programme de Hilbert lequel voulait montrer logiquement la non contradiction de l'ensemble des mathématiques (question important après les paradoxes de la théorie des ensembles, mais cela non plus tu ne l'apprécie guère, tu l'as déjà écrit). Il a montré que ce programme était irréalisable puis il s'est attaqué à des résultats de non contradiction relative en théorie des ensembles ; il est également le co-auteur de la théorie des ensembles GNB Gödel-Bernays-Von Neumann qui a permis de fonder la théorie des catégories. Il est l'inventeur de la méthode des modèles internes de la théorie formelle des ensembles ce qui lui a permis de montrer la compatibilité entre ZF, AC, HC, HGC, V=L.

Dernier point, je te laisse l'entière responsabilité des commentaires que tu as fait sur les conséquences des deux théorèmes, bien sûr :-))

Bruno

manuel

Juste une question de jargon :
AC -> axiome du choix,
HC -> hypothèse du continu,
HGC -> la même généralisée,
V=L -> ???

A part ça, plutôt d'accord avec Bruno, il est dommage qu'on aie tendance à réduire la logique (et l'oeuvre de Gödel) à seulement deux théorèmes, souvent accompagnés d'interprétations imprudentes...

@l

Salut,

les stats sont une branche des maths maintenant?! ;-)

Bon, blague a part et sans polémiquer sur des débats stériles et inutiles, je ne me permettrais jamais de parler de telle maniere sur des sujets que je ne maitrise pas: l'arithmetique, par exemple, n'est evidemment pas contradictoire, $\N$ est un de ses modeles.

Cette facon, je le repete, inutile, d'aligner du non savoir est a l'oppose des mathematiques, a mon sens. Et d'ailleurs de toute activite intellectuelle.

Ce que je trouve insultant n'est pas le fait que Jean Lismonde n'aime pas la logique (c'est son droit le plus strict) mais qu'il gaspille de la place dans ce forum pour ne rien dire, forum qui a deja du subir ses interventions au combien deplaisantes et deplacees.

Godel, n'en deplaise a Jean Lismonde, restera un des grands mathematiciens du vingtieme siecle, car il a reussi a repondre a des questions qui empechaient les mathematiques d'avancer (demandez a Hilbert.... :-) )

Et reflechir, au moins une fois dans sa vie, aux consequences de tout cela devrait etre obligatoire, mais bon, cest subjectif...

@l

Bruno

V = L, la plus forte, qui entraîne toute les autres (en fait, chacune implique les précédentes).

On dit qu'un ensemble $x$ est définissable par une formule avec paramètres si on peut trouver une formule $\psi(x_0,x_1,...,x_n)$ et des termes de la théorie des ensembles $(t_1,...,t_n)$ tels que :
$$x = \{y \mid \psi(y,t_1,...t_n)\}$$

michael

Un message pour suivre la suite du sujet sur mon mail.

manuel

Attends, l'hyptohèse du continu implique l'axiome du choix???

Je n'avais jamais lu ou entendu ça!!

D'ailleurs V=L non plus...

Pourquoi on ne me dit jamais rien, à moi, euh?


Bon blague à part, un de ces jours quand j'aurais un peu de temps libre, il faudra vraiment que je me plonge dans tout ça parce que ça m'interpelle et je n'ai marre de ne pas savoir et de comprendre encore moins.

En attendant, je vais aller dormir.

Tee Mousse

bien vu gari, enfin presque... effectivement je signe tjrs t-mouss afin justement que l'on me reconnaisse. Mais je n'ais pas de signature automatique (c'est vrai que même moi ca me surprend de ne jamais oublier de signer, peut-être les nouveaux drivers de mon cortex cérébrales qui permettent cela donc bruno n'ait de craintes, si jamais tu supprimes un de mes posts par que je n'ai pas signer ce sera tant pis pour moi....

enfin bref j'accorde que changer sans arret de pseudo alors que j'ai un compte sur le site peut paraître suprenant (grotesque ? absurde ? irréel ?)
mais bon que voulez-vous, l'homme a ses raisons que la raison ignore...

sinon pour tout ce qui a été dit je n'ai guère eut le temps de bien suivre la discussion donc avant de relancer qqchose qui a probablement deja été abordé sur ce fil, je vais d'abord attendre de pouvoir bien suivre ce qui a été dit. Mais c promis je rajouterais mon grain de sel...

t-mouss qui rejoins manuel à propos de cette théorie

PS: Gari voila un indice qui aurait pu t'indiquer qu'il ne s'agit pas d'une signature automatique.... je te laisse deviner...