Un modèle pour Syracuse

PMF

lourran a écrit:

ça vaut autant que plusieurs siècles de travail de PMF,

je suis promu "highlander" cool !

Plus sérieusement :
Je n'ai jamais dit que les groupes s'arrêtaient à 18, mais que j'avais des listes complètes jusqu'à 18... nuance

D'autre part et comme dit ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,2058452,2144198#msg-2144198
le nombre de montées successives n'a aucun lien avec le fait qu'après ces montées on ne trouve pas une descente.
le concept de montées infinies est une illusion.
Donc que les groupes fassent 18 ou des milliards de milliards, cela ne change rien.

lourrran

Je lisais par ailleurs qu'il faut être bienveillant.
Donc, on va dire que tu as raison.
On va dire que le nombre de montées successives n'a pas d'incidence, on va dire que concept de montées infinies est une illusion.
Et on va dire que tu es sur une bonne piste.

PMF

@lourran
sans chercher absolument la polémique, admets au moins que les groupes de longueur identique contiennent toutes sortes de successions de montées. De 2 à 11 pour le groupe des segments de l=18 par exemple.

C'est le seul à point que je cherche à montrer. Puisque cela existe expérimentalement, on devrait pouvoir l'expliquer simplement.

Fly7

Salut comme j'y bite pas grand chose peut être que ça va intéresser des shtameurs.

raoul.S

Une vidéo qui explique bien le problème. Avec une petite pique à... je ne me rappelle plus comment il s'appelle.

L'auteur prévoit même ce qui se passera : "L'apparente simplicité du problème a attiré également nombre d'amateurs plus ou moins éclairés, amenant des résultats parfois très intéressants et parfois... moins. Si vous cherchez dans l'espace commentaire de cette vidéo vous en verrez peut-être fleurir."

C'est encore tôt car il vient de mettre sa vidéo en ligne mais je crois que ça ne va pas tarder... BERKOUK où es-tu ?

nodgim

@ PMF: il n'existe aucun nombre avec une infinité de montées successives, mais rien ne prouve qu'il n'existe pas un nombre avec une infinité globale de montées. On peut s'amuser à construire un segment infini qui monte globalement, mais on ignore si ça peut correspondre à un entier naturel initial. Si d'ailleurs il existait, on ne saurait pas le certifier, car il faudrait faire la vérification à l'infini.

lourrran

nodgim, il faut éviter d'utiliser le mot 'infini' dans la rubrique shtam. Le mot 'infini' est un mot qui est systématiquement incompris.

Il n'existe aucun nombre avec une infinité de montées successives. Oui.
Mais si je choisis un nombre arbitrairement grand (100 Milliards, 100 Mille Milliards de Milliards .... ) , même pour ce nombre K excessivement grand, je peux trouver des nombres i qui ont dans leur chemin une succession de K montées sans interruption.

PMF : Tu cherches à démontrer que les groupes de longueur identique contiennent toutes sortes de successions de montées.

Mais sur cette question, relis la discussion, ou plutôt lis là, parce que tu écris beaucoup, mais tu ne lis rien. Ce résultat, c'est acquis, c'est démontré. C'est un non-sujet. C'est éventuellement un sujet, parce que 'toutes sortes de successions', ça n'est pas une formulation vraiment claire, mais c'est tout.

lourrran

Merci Fly7, cette vidéo est très bien faite. En 5 ou 6 minutes, elle dit plus que les 1000 messages de cette discussion.

Fly7

Je n'ai aucun mérite, mais je note car la flatterie n'est pas coutume par ici.

PMF

merci Fly. les animations de cette video sont très bien faites et le résumé de la conjecture clair et intéressant (plus complet que la video qui avait été précédemment citée)

on pourra remarquer cher @lourran que les clusters et les segments $i,i'$ ne sont pas évoqués ! comme quoi ce fil contient des choses originales

PMF

Prenons le segment de longueur 5
Si on le choisit au hasard dans un chemin on a 32 possibilités de eeeee à ooooo
Si on veut commencer par un o et finir par un o, on a 8 possiblités :
oeeeo, oeeoo, oeoeo, ooeeo, oeooo, ooeoo, oooeo, ooooo
et parmi celles-ci seuls 2 segments sont tels que le dernier impair soit le plus petit du segment : oeeeo, ooeeo

Que se passe-t-il exactement dans ces segments de longueur 5 ? On peut coder chaque impair en fonction de son rang (1= plus petit) dans le segment en supprimant les pairs (noté "x"), ce qui donne :

segment______rang___________i_________i'
oeeeo________R2xxx1________2021______379
ooeeo________R23xx1________19________11
oeeoo________R3xx12________3869______2177
oeoeo________R3x2x1________65________37
oeooo________R2x134________1641______2771
ooeoo________R13x24________667_______1127
oooeo________R124x3________7751______13081
ooooo________R12345________6079______30779

Dans les deux segments oeeeo et ooeeo où i'<i, on a 2 ou 3 o au total
S'il y en a 3, le deuxième est plus grand que le premier puis une suite de e aboutit au dernier, forcément plus petit
S'il y en a 2, le dernier est forcément plus petit que le premier après la suite de e

Dans les 6 autres cas, ça ne marche pas : l'impair le plus petit du segment n'est pas en dernière position

PRINCIPE : ce qui se passe dans ce très modeste segment de longueur 5 est déclinable pour n'importe quelle longueur (je ne dis pas à l'infini mais c'est un peu ça quand même). C'est une pure logique combinatoire des rangs possibles des impairs dans le segment.

Tout segment de longueur L, commençant et finissant par un impair, parmi x possibilités de rang pour le premier et le dernier impair, a un groupe de n éléments où le dernier impair est le plus petit

nodgim

@PMF : J'ignore où tu veux en venir avec ton dernier tableau, et ne comprends pas trop ta conclusion. Perso, ce que je peux juste deviner pour une suite de "o" et de "e", c'est si le final est plus grand ou plus petit que le nombre de départ, et de donner une estimation sur le rapport entre le final et le départ. En aucun cas, on ne peut conclure sur la taille des nombres départ et final. On peut dire aussi que le nombre de départ est plus petit que le nombre 2^(o+e) et le final plus petit que 3^e, c'est à dire donner une limite supérieure.

Maintenant, il y a peut être quelque chose que je n'ai pas compris dans ta formulation.

@Lourran : tu as raison avec le mot "infini", surtout dans cette rubrique, mais bon il est tout de même question ici de savoir si oui ou non un nombre peut monter à l'infini. C'est l'une des 2 questions de Syracuse. Et c'était surtout pour corriger la phrase de PMF qui parlait de " concept de montées infinies" qu'il voit comme une illusion, ce qui mérite tout de même un questionnement.

PMF

@nodgim
il ne s'agit pas d'estimer du rapport entre i et i' (ou le premier et le dernier "o") mais de transformer la suite de "o" et de "e" en une suite de rangs des impairs

Par exemple :
le segment oeeeo
2021_____3032_____1516_____758______379 devient 2________x________x________x________1 ou R2xxx1
le segment ooeeo
19_______29_______44_______22_______11 devient 2________3________x________x________1 ou R23xx1

Tous les autres combinaisons :
oeeoo, oeoeo, oeooo, ooeoo, oooeo, ooooo
R3xx12, R3x2x1, R2x134, R13x24, R124x3, R12345
ne peuvent pas donner un segment $i,i'$ de longueur 5 ou i' est l'impair le plus petit en partant depuis le début du segment (i).

Il est facile de comprendre que :
1) c'est un mécanisme combinatoire qui fonctionne évidemment quelque soit la longueur d'un segment
2) que l'on peut déduire la règle de rang directement depuis la suite de "o" et de "e"
3) qu'il y a donc un lien logique entre une combinaison de "o" et de "e" et le fait que le dernier impair soit le plus petit en partant depuis le premier.

lourrran

PMF a écrit:

Dans les 6 autres cas, ça ne marche pas : l'impair le plus petit du segment n'est pas en dernière position

Si j'alterne des descentes et des montées, et si sur le début du parcours, j'ai une proportion importante de descentes, alors je vais avoir, après cette portion de parcours, un point plus bas que le point de départ.

Est-ce que tu avais réellement besoin d'Excel pour vérifier ça ? Est-ce que ces Lapalissades présentent un intérêt ?
On n'est plus au niveau lycée, on est au niveau collège.

PMF

@lourran
ne rien comprendre à ce point ça devient un art !

PMF

le segment $i,i'$ 27_23 dont la suite de 22 "e" et 38 "o" est :
ooeoooooeoeooeoooeooooeoeeoooeooeooooooeeooooeeeoeoeoeeeoeeo
se code en fonction du rang des impairs :
[size=x-small]R.2.4.x.3.5.7.10.14.x.11.x.8.12.x.9.13.17.x.16.19.24.30.x.27.x.x.15.18.23.x.20.25.x.21.28.31.33.35.37.x.x.32.34.36.38.x.x.x.29.x.26.x.22.x.x.x.6.x.x.1[/size]

on observe des groupes de montées ou suites de "o" qui vont mener au rang le plus haut (38) au 3/4 du segment avant de revenir à i' qui a le rang 1 (le plus petit depuis le début)

ce qui peut être difficile à expliquer, c'est la position des rangs dans la suite : cad quelle est la raison de l'ordre dans le segment à partir d'une certaine valeur. par exemple à partir de 30 et de gauche à droite 30,31,33,35,37,32,34,36,38
ou pour tous les rangs <10 : 2,4,3,5,7,8,9,6,1

lourrran

Tu t'auto-proclames artiste, et ton art, c'est l'art de ne rien comprendre ?
C'est ça, ce que tu dis ?

nodgim

@ PMF : OK, j'ai compris.

Le rang est défini par la suite (complétement). Il n'y a même pas besoin de trouver les nombres pour définir leurs rangs dans la suite. Il suffit de regarder la suite entre 2 nombres impairs pour savoir lequel des 2 est le plus petit. Bien sûr, pour trouver l'ordre complet, il faudra faire autant de comparaisons que nécessaire.

Pour connaitre le plus grand des 2: compter le nombre de descentes "o+e", compter le nombre de montées "e". Si 2^(o+e) > 3^e, alors le nombre le plus grand est celui à gauche.

Exemple de suite : oeeoooeooeo
o+e = 11
e = 4
comme 2^11 > 3^4, alors le nombre gauche est le plus grand.

nodgim

Une petite question en rapport avec Syracuse ( la conjecture est inaccessible, mais on y trouve tout de même de belles questions d'arithmétique)

Prouver qu'il existe une infinité de nombres premiers qui ont la propriété de diviser un nombre initial impair et un nombre de la suite au bout d'un certain nombre d'itérations "3n+1", aussi grand que l'on veut.

PMF

@nodgim
je laisse la question des premiers aux "grosses têtes" de ce forum

je reviens sur les segments
Cette fois essayons avec la longueur 10. Il existe 256 formes commençant et finissant par "o" avec cette longueur
Dont 81 ont l'impair final i' ayant la valeur minimale de la suite, et donc inférieur à l'impair i de départ

La règle que tu suggérais 2^(o+e) > 3^e ne permet pas dans tous les cas d'être sûr du résultat.

Une règle qui permet d'être absolument sûr implique d'utiliser la suite constituée des rangs des impairs
par exemple si je cherche un ordre de rang 3,2,1 je peux trouver :
3xxxxxx2x1______3xxxxx2xx1_____3xxxx2xxx1_____3xxx2xxxx1______3xx2xxxxx1_____3x2xxxxxx1
oeeeeeeoeo_____oeeeeeoeeo____oeeeeoeeeo_____oeeeoeeeeo_____oeeoeeeeeo____oeoeeeeeeo
Les rangs "3", "2", "1" ne sont pas au même endroit dans la suite mais ils sont dans le même ordre

Voici les rangs pour les 81 segments strictement décroissants :
oeeeeeeeeo________R2xxxxxxxx1________21
ooeeeeeeeo________R23xxxxxxx1________231
oeeeeeeoeo________R3xxxxxx2x1________321
oeeeeeoeeo________R3xxxxx2xx1________321
oeeeeoeeeo________R3xxxx2xxx1________321
oeeeoeeeeo________R3xxx2xxxx1________321
oeeoeeeeeo________R3xx2xxxxx1________321
oeoeeeeeeo________R3x2xxxxxx1________321
oooeeeeeeo________R234xxxxxx1________2341
ooeoeeeeeo________R24x3xxxxx1________2431
oeooeeeeeo________R3x24xxxxx1________3241
ooeeeeeoeo________R34xxxxx2x1________3421
ooeeeeoeeo________R34xxxx2xx1________3421
ooeeeoeeeo________R34xxx2xxx1________3421
ooeeoeeeeo________R34xx2xxxx1________3421
oeeeeooeeo________R4xxxx23xx1________4231
oeeeooeeeo________R4xxx23xxx1________4231
oeeooeeeeo________R4xx23xxxx1________4231
oeeeeoeoeo________R4xxxx3x2x1________4321
oeeeoeeoeo________R4xxx3xx2x1________4321
oeeeoeoeeo________R4xxx3x2xx1________4321
oeeoeeeoeo________R4xx3xxx2x1________4321
oeeoeeoeeo________R4xx3xx2xx1________4321
oeeoeoeeeo________R4xx3x2xxx1________4321
oeoeeeeoeo________R4x3xxxx2x1________4321
oeoeeeoeeo________R4x3xxx2xx1________4321
oeoeeoeeeo________R4x3xx2xxx1________4321
oeoeoeeeeo________R4x3x2xxxx1________4321
ooooeeeeeo________R2345xxxxx1________23451
oooeoeeeeo________R235x4xxxx1________23541
ooeooeeeeo________R24x35xxxx1________24351
oeoooeeeeo________R3x245xxxx1________32451
oooeeeeoeo________R345xxxx2x1________34521
oooeeeoeeo________R345xxx2xx1________34521
oooeeoeeeo________R345xx2xxx1________34521
ooeoeeeoeo________R35x4xxx2x1________35421
ooeoeeoeeo________R35x4xx2xx1________35421
ooeoeoeeeo________R35x4x2xxx1________35421
oeooeoeeeo________R4x25x3xxx1________42531
oeooeeeoeo________R4x35xxx2x1________43521
oeooeeoeeo________R4x35xx2xx1________43521
ooeeeooeeo________R45xxx23xx1________45231
ooeeooeeeo________R45xx23xxx1________45231
ooeeeoeoeo________R45xxx3x2x1________45321
ooeeoeeoeo________R45xx3xx2x1________45321
ooeeoeoeeo________R45xx3x2xx1________45321
oeeeoooeeo________R5xxx234xx1________52341
oeeoooeeeo________R5xx234xxx1________52341
oeeeooeoeo________R5xxx24x3x1________52431
oeeooeoeeo________R5xx24x3xx1________52431
oeeoeooeeo________R5xx3x24xx1________53241
oeoeooeeeo________R5x3x24xxx1________53241
oeeooeeoeo________R5xx34xx2x1________53421
oeoeeooeeo________R5x4xx23xx1________54231
oeeoeoeoeo________R5xx4x3x2x1________54321
oeoeeoeoeo________R5x4xx3x2x1________54321
oeoeoeeoeo________R5x4x3xx2x1________54321
oeoeoeoeeo________R5x4x3x2xx1________54321
oooooeeeeo________R23456xxxx1________234561
ooooeoeeeo________R2346x5xxx1________234651
oooeooeeeo________R235x46xxx1________235461
ooeoooeeeo________R24x356xxx1________243561
ooooeeoeeo________R2456xx3xx1________245631
oooeoeoeeo________R246x5x3xx1________246531
ooeooeoeeo________R25x36x4xx1________253641
oeooooeeeo________R3x2456xxx1________324561
oeoooeoeeo________R3x246x5xx1________324651
ooooeeeoeo________R3456xxx2x1________345621
oooeoeeoeo________R346x5xx2x1________346521
ooeooeeoeo________R35x46xx2x1________354621
oooeeooeeo________R356xx24xx1________356241
ooeoeooeeo________R36x4x25xx1________364251
oeooeooeeo________R4x25x36xx1________425361
oeoooeeoeo________R4x356xx2x1________435621
oooeeoeoeo________R456xx3x2x1________456321
ooeeoooeeo________R46xx235xx1________462351
ooeoeoeoeo________R46x5x3x2x1________465321
oeoeoooeeo________R5x3x246xx1________532461
oeooeoeoeo________R5x36x4x2x1________536421
ooeeooeoeo________R56xx24x3x1________562431
oeoeooeoeo________R6x4x25x3x1________642531

Tous ces autres ordres de rang ne correspondent pas à un segment décroissant :
312, 3412, 4123, 4132, 4213, 4312, 34512, 35412, 43512, 45123, 45132, 45213, 45312, 51234, 51243, 51324, 52134, 53142, 53412, 54123, 54132, 54213, 54312, 345612, 346512, 354612, 435612, 456123, 456132, 456213, 456312, 465123, 465132, 465213, 465312, 513462, 536412, 546123, 546132, 546213, 561234, 561243, 561324, 562134, 563142, 563412, 564123, 564213, 612345, 612354, 612435, 613245, 613542, 614253, 621345, 621354, 624513, 625314, 631425, 635124, 641235, 642135, 643512, 651234, 651243, 651324, 652134, 653142, 654123, 654213, 1345672, 1345762, 1346572, 1354672, 1356742, 1357642, 1364752, 1425673, 1425763, 1467253, 1475263, 1526374, 2135674, 2135764, 2136475, 2456713, 2457613, 2465713, 2536714, 2567314, 2571364, 2576314, 2631475, 2637415, 3142576, 3146725, 3147526, 3567124, 3576124, 3612475, 3647125, 3671425, 3741526, 4123576, 4152637, 4213576, 4257136, 4671235, 4672135, 4712536, 4751236, 4752136, 5123647, 5213647, 5263147, 5361247, 5712346, 5713246, 5721346, 6123457, 6124357, 6132457, 6213457, 6314257, 6412357, 6421357, 12346785, 12346875, 12347586, 12354687, 12357846, 12358647, 12364758, 12435687, 12435768, 12468357, 12475368, 12536478, 13245687, 13245768, 13246578, 13572468, 13642578, 14253678, 21345687, 21345768, 21346578, 21354678, 24613578, 25314678, 31425678, 35124678, 41235678, 42135678, 123456798, 123456879, 123457689, 123465789, 123546789, 124356789, 132456789, 213456789, 12345678910

lourrran

Peut-être qu'à un moment ou un autre, tu vas comprendre ce que tu fais. Je ne désèspère pas.

Tu as dit :
Parmi les segments de longueurs 5, il y en a 32, dont 8 qui commencent et finissent par un o et dont 4 pour lesquels l'impair final est inférieur à l'impair initial.
Ces 4 segments sont :
oeeeo________R2xxx1________2021______379
ooeeo________R23xx1________19________11
oeeoo________R3xx12________3869______2177
oeoeo________R3x2x1________65________37
Et dans le lot, il n'y a en fait que ooeeo qui nous intéresse, parce que pour les autres, l'impair au rang 5 n'est pas le premier impair.

Bien. Ca, c'est fait.
Passons aux segments de longueur 6.
Déjà, tous les segments qui commencent par oeeeo, ooeeo, oeeoo ou oeoeo, on peut les exclure. On est certain que les segments qui commencent par l'une de ces séquences ne conviendront pas. Idem, les segments qui étaient solution au rang 4, tu les élimines quand tu traites le rang 6.
De fil en aiguille, tu vas pouvoir éliminer aussi un certain nombre de débuts quand tu traiteras les segments de longueur 7 puis 8 ...

Une fois que tu appliques cette règle, la règle 2^(o+e) > 3^e suffit pour compléter

PMF

@lourran
je comprends ce que je fais, je pense...

La règle des 2^(o+e) > 3^e ne fonctionne pas dans tous les cas
Voici la situation avec les segments de longueur 10

1) 81 segments où le dernier impair est inférieur au premier (tout en étant le plus petit du segment)
Avec 2^(o+e) > 3^e 
ooeoooeeeo, oeoooeoeeo, ooooeeoeeo, oooeeooeeo, oeooeooeeo, ooeeooeoeo, oooeooeeeo, ooeooeoeeo, ooeoeoeoeo, oeooeoeoeo, oooooeeeeo, oooeeoeoeo, oooeoeoeeo, ooooeeeoeo, oeoooeeoeo, oeoeoooeeo, ooeeoooeeo, oeooooeeeo, ooooeoeeeo, ooeoeooeeo, oooeoeeoeo, ooeooeeoeo, oeoeooeoeo, oeoeoeoeeo, oeeooeoeeo, ooeooeeeeo, oeeoeooeeo, oeooeeeoeo, oeeoeoeoeo, oooeoeeeeo, ooeeooeeeo, oeoeeooeeo, ooeeeooeeo, ooeeoeeoeo, oeeoooeeeo, oeoooeeeeo, ooeoeoeeeo, oooeeeoeeo, oooeeeeoeo, ooeeoeoeeo, oeoeoeeoeo, oeeeoooeeo, oeooeoeeeo, oeeeooeoeo, ooooeeeeeo, oooeeoeeeo, oeoeeoeoeo, ooeeeoeoeo, ooeoeeoeeo, oeooeeoeeo, oeeooeeoeo, oeoeooeeeo, ooeoeeeoeo, oeeoeeoeeo, oeeeeoeoeo, oeeooeeeeo, oooeeeeeeo, ooeeoeeeeo, oeeeoeoeeo, oeeeoeeoeo, oeeoeeeoeo, oeooeeeeeo, oeoeeoeeeo, oeeeeooeeo, oeeeooeeeo, ooeeeeeoeo, oeoeoeeeeo, ooeeeoeeeo, oeoeeeeoeo, oeoeeeoeeo, ooeeeeoeeo, ooeoeeeeeo, oeeoeoeeeo
Avec 3^e>2^(o+e)
oeeoeeeeeo, oeeeeeoeeo, oeeeeeeoeo, oeeeeoeeeo, oeeeoeeeeo, oeoeeeeeeo, ooeeeeeeeo, oeeeeeeeeo
cette série comprend 7 ou 8 "e" et donc 3^7>2^10 ou 3^8>2^10

2) pour les 175 segments où le dernier impair n'est pas inférieur au premier (tout en étant le plus petit du segment)
ils sont tous en 2^(o+e) > 3^e  SAUF oeeeeeeeoo
pour i = 885333 et i'= 15563 : i' est bien inf à i mais il n'est pas le plus petit du segment (c'est 10375)
885333, 1328000, 664000, 332000, 166000, 83000, 41500, 20750, 10375, 15563

PMF

@lourran
concernant les segments de longueur 5
i'<i________segment_______suite Rg________o_________e_________2^(o+e)>3^e___________i____________i'
1_________oeeeo_________R2xxx1_________2_________3_________2^(o+e) > 3^e _________9253_________1735
1_________ooeeo_________R23xx1_________3_________2_________2^(o+e) > 3^e _________9843_________5537
1_________oeoeo_________R3x2x1_________3_________2_________2^(o+e) > 3^e _________8001_________4501
0_________oeooo_________R2x134_________4_________1_________2^(o+e) > 3^e _________9____________17
0_________oooeo_________R124x3_________4_________1_________2^(o+e) > 3^e _________5031_________8491
0_________ooooo_________R12345_________5_________0_________2^(o+e) > 3^e _________3327_________16847
0_________oeeoo_________R3xx12_________3_________2_________2^(o+e) > 3^e _________8829_________4967
0_________ooeoo_________R13x24_________4_________1_________2^(o+e) > 3^e _________4571_________7715

Seul les 3 premiers ont le dernier impair inférieur au premier tout en étant le plus petit du segment
Comme on peut le voir la règle 2^(o+e) > 3^e n'est pas discriminante

nodgim

@ PMF : qu'entends-tu par une suite " strictement décroissante " ?

Pour moi, c'est une suite dont chaque terme (impair ici) est strictement plus petit que le précédent. Dans ta liste, le R23.....1 par exemple n'est pas une suite strictement décroissante. Il faudrait que tu donnes une autre appellation, pour ne pas être embrouiller ceux qui ont un minimum de culture mathématique. Tu pourrais appeler ces suites " à terme final min " ou un truc de ce genre. Enfin, c'est mon avis.

Par ailleurs l'exemple que tu donnes avec 885333 ne contredit pas la règle 2^(o+e) / 3^e. Ou alors on s'est mal compris.

885333---> 10375 : 2^8 > 3^1 donc 885333 > 10375
10375--->15663 : 2^1 < 3^1 donc 10375 < 15663.

Cela dit, il y a peut être des cas où la règle n'est pas respectée, j'ai surtout travaillé les suites croissantes, où c'est toujours bon ( mais pas prouvé ! ). Il faudrait que tu me donnes un autre exemple, ça m'intéresse.

lourrran

ils sont tous en 2^(o+e) > 3^e SAUF oeeeeeeeoo

Tu vas bien finir par comprendre, un jour, que si tu as un o en avant-dernière position, tu as un impair en avant dernière position, qui est plus petit que l'impair de la dernière position.
Et donc que tu ne peux pas avoir de chaine se finissant par oo.

Et maintenant, relis mon précédent message.
Tu traites les chaines de longueur 2, puis 3, puis 4 puis 5 ...etc
A chaque fois , quand tu trouves des segments valides, tu gardes l'information que tel segment est valide.
ooeeo est un segment valide de longueur 5 ? Oui. Donc quand je chercherai les segments valide de longueur supérieure à 5, je dois commencer par éliminer tous les segments qui commencent par ooeeo. C'est certain qu'ils ne seront pas valides selon tes critères.
Et ce n'est pas spécifique à la longueur 5, c'est vrai pour toute valeur.
Si tu appliques ça correctement, tu vas traiter les longueurs 2 à 9 avant de traiter la longueur 10.
Tu vas voir que pour la longueur 9, le segment oeeeeeeeo est valide.
Et donc, au moment de traiter la longueur 10, tu vas exclure les segments qui commencent par oeeeeeeeo (et tu vas aussi exclure tous les autres segments qui commencent par n'importe quel autre segment valide déjà trouvé).
Donc le segment oeeeeeeeoo, tu n'aurais même pas dû le regarder.
Pour ce segment , on se moque de savoir si i'<i, puis qu'on sait que de toutes façons, i' ne sera pas le premier impair inférieur à i.

PMF

nodgim a écrit:

qu'entends-tu par une suite " strictement décroissante " ?

Ce n'est pas en effet la bonne description : je veux définir un segment dont le dernier impair $i'$ est plus petit que le premier $i$ et qu'il est en même temps le plus petit de la suite. De ce fait la "droite" i.--->.i' montre une décroissance... elle "descend"

nodgim a écrit:

Par ailleurs l'exemple que tu donnes avec 885333 ne contredit pas la règle 2^(o+e) / 3^e. Ou alors on s'est mal compris.
885333---> 10375 : 2^8 > 3^1 donc 885333 > 10375
10375--->15663 : 2^1 < 3^1 donc 10375 < 15663.

Ok j'avais pas compris que c'était "step by step" ou plutôt "odd to odd"
Dans le fichier joint la dernière colonne calcule 2^e+1-3^1 entre le dernier impair et celui qui le précède (en prenant le nbr de "e" entre ces 2 impairs).
Si le résultat est positif, of course 2^e+1>3^1
C'est bien sûr le cas pour les 81 segments où le dernier impair $i'$ est plus petit que le premier $i$ et qu'il est en même temps le plus petit de la suite. Pour les autres, cela alterne

PMF

lourran a écrit:

Tu vas bien finir par comprendre, un jour, que si tu as un o en avant-dernière position, tu as un impair en avant dernière position, qui est plus petit que l'impair de la dernière position.
Et donc que tu ne peux pas avoir de chaine se finissant par oo.

je t'assure que j'avais compris cela tout seul ô grand lourran !

Pour la deuxième partie de ton message, je ne suis pas d'accord.
On peut trouver des segments de longueur L où en veut, sans se soucier de ce qui se passe en amont et en aval de ce segment.
1) prendre un impair $i$ au hasard : début du segment
2) suivre la suite de Syracuse et passer tous les impairs qui sont plus grands que celui du début
3) s'arrêter quand on a trouvé $i'$ un impair plus petit : fin du segment

Ce segment $i,i'$ peut exister tout seul... on se moque qu'il y ait des segments de longueur plus petite ou plus grande.
Ce qui est intéressant c'est que :
Dans un groupe de longueur L comprenant un nombre fini de combinaisons de "o" et de "e" (2^L/4), il y a un groupe où on a le i' tel que défini et d'autres non. C'est aussi simple que cela
Le but du jeu est de comprendre s'il y a un mécanisme combinatoire et je pense que cela a à voir avec la combinaisons des rangs (R5xxx24x3x1...)

lourrran

Je ne parle pas de ce qui se passe en amont, ou en aval, je ne vois pas ce qui te fait penser ça.

J'essayais de commenter ça :

PMF a écrit:

2) pour les 175 segments où le dernier impair n'est pas inférieur au premier (tout en étant le plus petit du segment)
ils sont tous en 2^(o+e) > 3^e SAUF oeeeeeeeoo
pour i = 885333 et i'= 15563 : i' est bien inf à i mais il n'est pas le plus petit du segment (c'est 10375)
885333, 1328000, 664000, 332000, 166000, 83000, 41500, 20750, 10375, 15563

Mais en fait, je n'aurais pas dû essayer de le commenter. J'aurais dû te demander de le corriger, parce que c'est visiblement faux, puis ensuite faire des commentaires.
J'ai considéré que les fautes étaient des lapsus... mais ce n'est peut-être pas que des lapsus.

PMF

Exemple d'une suite de rangs :
cette suite d'impairs : 297377, 223033 , 167275, 250913, 188185, 141139 ayant respectivement les rang 6, 4, 2, 5, 3, 1 s'écrit 642531

Ces suites de rangs correspondent à un segment dont le dernier impair est plus petit que le premier et qu'il est en même temps le plus petit de la suite
21, 231, 321, 2341, 2431, 3241, 3421, 4231, 4321, 23451, 23541, 24351, 32451, 34521, 35421, 42531, 43521, 45231, 45321, 52341, 52431, 53241, 53421, 54231, 54321, 234561, 234651, 235461, 243561, 245631, 246531, 253641, 324561, 324651, 345621, 346521, 354621, 356241, 364251, 425361, 435621, 456321, 462351, 465321, 532461, 536421, 562431, 642531

Et celles-là non :
312, 3412, 4123, 4132, 4213, 4312, 34512, 35412, 43512, 45123, 45132, 45213, 45312, 51234, 51243, 51324, 52134, 53142, 53412, 54123, 54132, 54213, 54312, 345612, 346512, 354612, 435612, 456123, 456132, 456213, 456312, 465123, 465132, 465213, 465312, 513462, 536412, 546123, 546132, 546213, 561234, 561243, 561324, 562134, 563142, 563412, 564123, 564213, 612345, 612354, 612435, 613245, 613542, 614253, 621345, 621354, 624513, 625314, 631425, 635124, 641235, 642135, 643512, 651234, 651243, 651324, 652134, 653142, 654123, 654213, 1345672, 1345762, 1346572, 1354672, 1356742, 1357642, 1364752, 1425673, 1425763, 1467253, 1475263, 1526374, 2135674, 2135764, 2136475, 2456713, 2457613, 2465713, 2536714, 2567314, 2571364, 2576314, 2631475, 2637415, 3142576, 3146725, 3147526, 3567124, 3576124, 3612475, 3647125, 3671425, 3741526, 4123576, 4152637, 4213576, 4257136, 4671235, 4672135, 4712536, 4751236, 4752136, 5123647, 5213647, 5263147, 5361247, 5712346, 5713246, 5721346, 6123457, 6124357, 6132457, 6213457, 6314257, 6412357, 6421357, 12346785, 12346875, 12347586, 12354687, 12357846, 12358647, 12364758, 12435687, 12435768, 12468357, 12475368, 12536478, 13245687, 13245768, 13246578, 13572468, 13642578, 14253678, 21345687, 21345768, 21346578, 21354678, 24613578, 25314678, 31425678, 35124678, 41235678, 42135678, 123456798, 123456879, 123457689, 123465789, 123546789, 124356789, 132456789, 213456789, 123456789_10

On notera que plusieurs segments peuvent avoir la même suite de rangs
ces 6 segments sont en 321 et ont tous i'<i
oeeeeeeoeo
oeeeeeoeeo
oeeeeoeeeo
oeeeoeeeeo
oeeoeeeeeo
oeoeeeeeeo

Donc évidemment la sélection des i'<i se fait si le "1" est en final. Mais on voit qu'avant le 1 on a bien tous les arrangements des rangs dispos
Exemple pour 4 "o"
2,3,4.....2341....oooeeeeeeo
2,4,3.....2431....ooeoeeeeeo
3,2,4.....3241....oeooeeeeeo
3,4,2.....3421....ooeeeeeoeo,ooeeeeoeeo
4,2,3.....4231....oeeeeooeeo,oeeeooeeeo,oeeooeeeeo
4,3,2.....4321....oeeeeoeoeo,oeeeoeeoeo,oeeeoeoeeo,oeeoeeeoeo,oeeoeeoeeo,oeeoeoeeeo,oeoeeeeoeo,oeoeeeoeeo,oeoeeoeeeo,oeoeoeeeeo

arriver à "coder" des suites de "o" et "e" directement en "suite de rangs" serait un gros avantage !

PMF

@lourran
regarde le pdf des données dans ce message : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,2058452,2145654#msg-2145654
je suis sûr de la manip qui permet d'extraire ces segments
Il y avait aussi un souci (corrigé) sur la gestion du 2^(o+e)>3^e.

PMF

@lourran et nodgim

ERRATUM
J'ai fait une c... grosse comme moi avec les segments de longueur 10. Malgré mes précautions, certains n'étaient pas valides car la méthode pour trouver le i' avait une faille.
Il faut impérativement que le premier impair ait le rang 2 et le dernier le rang 1. Sinon il y a un i intermédiaire qui n'est pas le plus petit de la suite mais qui est plus petit que le i de départ (dans ce cas le segment est plus court)
Cela restreint la liste des segments $i,i'$ valides qui se réduit à 14 sur 256 possibles :
oeeeeeeeeo,ooeeeeeeeo,oooeeeeeeo,ooeoeeeeeo,ooooeeeeeo,oooeoeeeeo,ooeooeeeeo,oooooeeeeo,ooooeoeeeo,oooeooeeeo,ooeoooeeeo,ooooeeoeeo,oooeoeoeeo,ooeooeoeeo
Dont les suites de rangs sont respectivement
21,231,2341,2431,23451,23541,24351,234561,234651,235461,243561,245631,246531,253641

La bonne liste est jointe.

lourrran

Bien.
Quand j'ai vu que des segments commençaient par autre chose que 2, je me suis dit que tu avais laissé tomber les segments, et que tu travaillais sur autre chose... j'ai attendu avant de réagir.
Et tu as finalement vu tout seul que ça ne collait pas.

nodgim

@ PMF : Tu cherches une écriture plus courte que "oeeeeoeoeo" ? Avec les rangs, c'est bien, mais tu perds de l'info. Avec ça :1522 tu as les mêmes infos que la suite de "o" et "e" ( 1 chiffre = nombre de descentes après une montée).

PMF

@nodgim
oui c'est intéressant de "coder" ces segments comme tu le suggères

j'avais aussi essayé ça :
[size=x-small]951402_____951403_____1427105_____2140658_____1070329_____1605494_____802747_____1204121_____1806182_____903091_______1354637
___________o__________oo__________ooe_________ooeo________ooeoe_______ooeoeo_____ooeoeoo_____ooeoeooe____ooeoeooeo____ooeoeooeoo
______________________2_______________________1__________________________________2____________________________________2[/size]
donc la suite s'écrit o_2122 ce qui décrit les suites de "o" ou montées consécutives

L'intérêt est donc d'associer ces codes avec les segments qui sont bien des $i,i'$ tel qu'on l'a défini. Je constate que ces codages de montées peuvent être parfois "ambivalents" car ils correspondent à la fois à des segments $i,i$ et des segments quelconques
segment________montées_____i,i'____all_____type
oeeeeeeeeo_____o_11________1_____1_____unique
ooeeeeeeeo_____o_21________1_____1_____unique
_______________o_211_______1_____5_____ambivalent
_______________o_221_______1_____4_____ambivalent
_______________o_2211______1_____3_____ambivalent
_______________o_231_______1_____3_____ambivalent
oooeeeeeeo_____o_31________1_____1_____unique
_______________o_311_______1_____4_____ambivalent
_______________o_3111______1_____3_____ambivalent
_______________o_321_______1_____3_____ambivalent
ooooeeeeeo_____o_41________1_____1_____unique
_______________o_411_______2_____3_____ambivalent
_______________o_411_______2_____3_____ambivalent
oooooeeeeo_____o_51________1_____1_____unique

PMF

Voici les segments $i,i'$ de longueur 10, 9 et 8, par groupes de longueur

segment i i'_________suite Rg____________Rg short_______o________e________i______________i'
oeeeeeeeeo________R2xxxxxxxx1________21____________2________8________310101________1817
ooeeeeeeeo________R23xxxxxxx1________231___________3________7________909027________15979
oooeeeeeeo________R234xxxxxx1________2341__________4________6________637591________33623
ooeoeeeeeo________R24x3xxxxx1________2431__________4________6________859723________45337
ooooeeeeeo________R2345xxxxx1________23451_________5________5________87311_________13813
ooeooeeeeo________R24x35xxxx1________24351_________5________5________394043________62339
oooeoeeeeo________R235x4xxxx1________23541_________5________5________151431________23957
oooooeeeeo________R23456xxxx1________234561________6________4________909663________431735
oooeooeeeo________R235x46xxx1________235461________6________4________29735_________14113
ooooeoeeeo________R2346x5xxx1________234651________6________4________695727________330199
ooeoooeeeo________R24x356xxx1________243561________6________4________411611________195355
ooooeeoeeo________R2456xx3xx1________245631________6________4________403023________191279
oooeoeoeeo________R246x5x3xx1________246531________6________4________117959________55985
ooeooeoeeo________R25x36x4xx1________253641________6________4________426107________202235

oeeeeeeeo_________R2xxxxxxx1_________21____________2________7________345173________4045
ooeeeeeeo_________R23xxxxxx1_________231___________3________6________654307________23003
oooeeeeeo_________R234xxxxx1_________2341__________4________5________211863________22345
ooeoeeeeo_________R24x3xxxx1_________2431__________4________5________939339________99071
ooooeeeeo_________R2345xxxx1_________23451_________5________4________827919________261959
oooeoeeeo_________R235x4xxx1_________23541_________5________4________185479________58687
ooeooeeeo_________R24x35xxx1_________24351_________5________4________126011________39871
oooooeeeo_________R23456xxx1_________234561________6________3________549471________521569
ooeoooeeo_________R24x356xx1_________243561________6________3________610523________579521
oooeooeeo_________R235x46xx1_________235461________6________3________416551________395399
ooooeoeeo_________R2346x5xx1_________234651________6________3________987311________937175
ooooeeoeo_________R2456xx3x1_________245631________6________3________446799________424111
oooeoeoeo_________R246x5x3x1_________246531________6________3________364999________346465
ooeooeoeo_________R25x36x4x1_________253641________6________3________822651________780877

oeeeeeeo__________R2xxxxxx1__________21____________2________6________233429________5471
ooeeeeeo__________R23xxxxx1__________231___________3________5________297315________20905
oooeeeeo__________R234xxxx1__________2341__________4________4________968727________204341
ooeoeeeo__________R24x3xxx1__________2431__________4________4________373963________78883
ooooeeeo__________R2345xxx1__________23451_________5________3________948879________600463
ooeooeeo__________R24x35xx1__________24351_________5________3________792763________501671
oooeoeeo__________R235x4xx1__________23541_________5________3________991751________627593

On voit en les triant par analogie de forme que des progressions sont évidentes
segment i i'_______suite Rg
oeeeeeeo________R2xxxxxx1
oeeeeeeeo_______R2xxxxxxx1
oeeeeeeeeo______R2xxxxxxxx1
________
ooeeeeeo________R23xxxxx1
ooeeeeeeo_______R23xxxxxx1
ooeeeeeeeo______R23xxxxxxx1
________
oooeeeeo________R234xxxx1
oooeeeeeo_______R234xxxxx1
oooeeeeeeo______R234xxxxxx1
________
ooeoeeeo________R24x3xxx1
ooeoeeeeo_______R24x3xxxx1
ooeoeeeeeo______R24x3xxxxx1
________
ooeooeeo________R24x35xx1
ooeooeeeo_______R24x35xxx1
ooeooeeeeo______R24x35xxxx1
________
ooooeeeo________R2345xxx1
ooooeeeeo_______R2345xxxx1
ooooeeeeeo______R2345xxxxx1
________
oooeoeeo________R235x4xx1
oooeoeeeo_______R235x4xxx1
oooeoeeeeo______R235x4xxxx1
________
oooeeeeo________R234xxxx1
ooooeeeeo_______R2345xxxx1
oooooeeeeo______R23456xxxx1

PMF

si ces segments sont des $i,i'$
oooeeeeo________R234xxxx1
ooooeeeeo_______R2345xxxx1
oooooeeeeo______R23456xxxx1
alors ce segment doit l'être aussi pour
ooooooeeeeeo
on le vérifie avec i = 581855613503 ou i = 8421329470015 (R234567xxxxx1)

mais c'est moins facile à trouver pour :
oooooooeeeeeeo i = ????
ooooooooeeeeeeeo i = ????
oooooooooeeeeeeeeo i = ????
ooooooooooeeeeeeeeeo i = ????

lourrran

Pour la dernière , je te propose 943103 ou encore 1991679, ou même 35546111 pour taper sur des nombres un peu plus grands. Les autres séquences sont plus courtes, donc plus simples.

PMF

@lourran
bien joué pour 943103 pour ooooooooooeeeeeeeeeo et R23456789.10.11xxxxxxxxx1

il existe donc des impairs tels que :
leur chemin de Syracuse partant d'un impair i soit constitué de $n$ montées consécutives puis de $n-1$ descentes consécutives pour arriver à un impair i' plus petit que i.
Dans ce cas le rang de i est 2 et celui de i' = 1 et l'altitude maximale est un nombre pair

Question cruciale : est-ce à dire qu'il existe toujours un tel impair si ce $n$ est immensément grand ????

nodgim

@PMF :

Il y a un truc, j'ai l'impression, que tu n'as pas encore assimilé :

TOUTE suite finie de "o" et de "e" a une solution ! Et même une infinité.

PMF

oui mais on cherche le chemin des montées """"infinies""""" qui redescendrait quand même.

PMF

tous les nombres de la forme
$943103+k\times 1048576$ ont un segment $i,i'$ = ooooooooooeeeeeeeeeo et R23456789.10.11xxxxxxxxx1

75391999
71197695
194929663
8067638271
....

lourrran

Dès que le mot infini apparaît dans un message, tu te trompes.
Ce mot est à manier avec plein de précautions, il faut être très précis dans la rédaction des messages pour ne pas écrire des choses fausses, ni des choses qui veulent tout et rien dire.
Ce que Wilfrid te rappelle (il te le rappelle, parce que ça a été dit et répété une infinité de fois ces dernières semaines), c'est que :

Etant donné une suite de o et de e.
Cette suite pouvant éventuellement être arbitrairement longue (1000 , 1 milliard, 100 Milliards , plus grande même ),
Pour cette suite de longueur $n$, on a la certitude de trouver un entier $i$ dont les $n$ premières étapes de Syracuse compressée correspondent à cette suite.
Il existe un et un seul entier $i_0$qui convient si on limite la recherche aux nombres entre $1$ et $2^n$.
Et, partant de cet entier $i_0$, on peut bâtir une infinité d'autres entiers $i_k$ qui conviennent. Ce sont tous les entiers de la forme $i_0 + k*2^n$

J'ai parlé d'une suite de o et de e arbitrairement longue, pas d'une suite infiniment longue, et c'est volontaire.


Pour trouver 943103, entre le moment où je lance Excel, et le moment où je trouve ce nombre, il s'écoule à peu près 3 minutes. Sans aucune base de donnée, sans rien. Juste cette méga-calculatrice. Et là aussi, la méthode pour trouver la solution a été plus ou moins donnée dans cette discussion.

PMF

@lourran

Ok pour cette définition, dont un sous-ensemble est celui des segments $i,i'$
il serait intéressant de lister les suites de 0 et e en indiquant le $i_0$ et le $2^n$
Reste aussi à trouver la méthode pour calculer le $2^n$ pour des segments particuliers comme celui $i,i'$ = 27_23

lourrran

Lister des suites de o et de e n'a aucun intérêt.
Ce qui peut avoir un intérêt, ce serait de décrire une méthode de permettant de lister des suites.
Méthode pour calculer le 2^n pour des segments particuliers comme 27_23

Dans ta question, tu pars d'un segment particulier (27_23 dans ce cas). Tu sais donc que 23 est un successeur de 27. Tu sais donc le nombre d'étapes de la suite compressée entre 27 et 23.
Voilà. Le $n$ que tu cherches, tu le tiens.

En d'autres mots, parce que je sais que tu vas y revenir.
Tu as fait un recensement de différents segments. Tu as constaté que le premier impair inférieur à 27, c'était 23, et donc tu as stocké 27_23 dans un certain fichier.
Dans ce recensement, tu as oublié de noter une information qui s'avère maintenant essentielle, c'est le nombre d'étapes entre 27 et 23.
Et maintenant, ce que tu demandes, c'est comment réparer cet oubli.

PMF

Voici la liste des segments $i,i'$ de longueur n=3 à n=19 incluant leur valeur $i_0$, $i'$ et la description du segment (en o et e et en rang)
La valeur $i_0$ est le plus petit impair pour calculer $i_0 \times k*2^n$

Noter qu'il faut scanner les impairs de 3 à 524225 pour être sûr que le groupe de n=19 soit complet

Le scan a permis de trouver 20820 types de segment répartis en 138 longueurs de 3 à 175, en ayant trouvé au moins un exemplaire de chaque longueur de 3 à 114 (plus épars de 116 à 175).

En faisant des groupes par longueur et nombre d'impairs, on trouve 560 groupes

Lorsque l'on examine un groupe de même longueur, il apparait que les $i_0$ et les $i'$ correspondant au même nombre d'impairs sont alignés
comme on le voit sur ce graphique :

lourrran

Tu devrais rédiger autrement, ça donnerait l'image d'un type qui voit où il va.

"... comme on le voit sur ce graphique :"

Bof, ça donne l'impression que tu ne maîtrises pas.

Examinons un groupe de même longueur. Logiquement, avec une échelle logarithmique sur chacun des 2 axes, on devrait obtenir une série de plusieurs droites parallèles, avec le même espace entre toutes ces droites.
Effectivement, on le voit sur ce graphique pour n=19 ...
Et là tu donnes en plus la pente de ces droites, tu donnes en plus l'espace entre ces droites , tu donnes l'équation de ces droites. Et tu donnes en même temps les équations des droites pour n'importe quelle valeur de n.

PMF

@lourran
le truc important c'est que tous les segment ayant une longueur $l$ dont $n$ "o" ont la même équation pour $i'$
par exemple pour un segment de longueur 19 avec 12 "o"
on a la droite $i' = 0,6757621996 \times i_0 + 1,1256228513$
$i_0$___________i'
1791________1211
2459________1663
2651________1793
2811________1901
3327________2249
4143________2801
4543________3071
5167________3493
5839________3947
5999________4055
6055________4093
6079________4109
...

PMF

pour les nouveaux Legendre voici la possibilité de démontrer un théorème de la raréfaction des $i_0$

Lorsque l'on atteint $i_0 = 524223$, c'est le 262111^ème impair et on a trouvé 20820 $i_0$, donc une densité de 7,94%

Les $i_0$ se raréfient selon la courbe jointe. Arriverons nous donc à la même conclusion que pour les nombres premiers ?

En tout cas, cela y ressemble beaucoup : a l'infini leur densité est nulle. On remarquera d'ailleurs que les $i_o$ jouent dans "l'arithmétique syracusienne" le même rôle de "briques élémentaires"

nodgim

Une info :

Le Syracuse tel qu'on le connait est un algo de la forme :

- Si n est divisible par " a ", a >= 2 , alors on le divise par " a "
- Si n non divisible par " a ", alors on prend l'arrondi sup de n * (a+1) / a .

Le plus célèbre algo est celui qu'on connait tous, avec " a = 2 " dont " l'arrondi sup " est remplacé par " +1 ".

Celui avec a = 3 ou 4 comporte au moins 1 boucle (autre que la boucle évidente qui commence à 1 ) qu'on découvre pour de petites valeurs.
Pour a = 5, pas de boucle, autre que l'évidente, pour n < 2000, donc présomption de comportement identique à l'algo a = 2, c'est à dire retour à 1 pour toute valeur, selon la conjecture.

Cependant, comme 2000, c'est vraiment petit pour un tel algo, un programmeur pourrait-il le tester jusqu'à 1 million ?

raoul.S

J'ai testé jusqu'à 5 millions. Pas de cycle.