Un modèle pour Syracuse

raoul.S

Content de savoir que tout va bien pour toi PMF (tu)

Peut-être que ta façon de penser est plus proche de celle des physiciens que des matheux...

nodgim

Ce truc un peu plus matheux : Prouver que pour tout n impair, 2n+1 ou la partie impaire de n-1 a même destin que n.

Par exemple : 7 a même destin que 15, 29 a même destin que 7, 37 a même destin que 9.

depasse

Bonsoir,

@nodgim

1) Pour tout $k \in \mathbb N$, pour tout $j$ impair,
$3^kj-1$ et $3^{k+1}j-1$ sont pairs et $\frac{3^kj-1}{2} $ et $\frac{3^{k+1}j-1}{2} $ ont des parités opposées (car ils diffèrent de l'impair $3^kj$).

2)Soit $n$ impair $:=2^{k+1}j-1$. ($j$ impair)
$n$ a le même destin que $\frac{3^{k+1}j-1}{2} $. De même
$2^{k}j-1$ a le même destin que $\frac{3^{k}j-1}{2} $.De même
$2^{k+2}j-1$ a le même destin que $\frac{3^{k+2}j-1}{2} $.

3) Deux cas:

3.1)
$\frac{3^{k+1}j-1}{2} $ pair: Il a le même destin que sa moitié $\frac{3^{k+1}j-1}{4} $; en même temps :-D ,
$\frac{3^{k}j-1}{2} $ est impair: Il a le même destin que la moitié de $3\frac{3^{k}j-1}{2}+1 $, soit $\frac{3^{k+1}j-1}{4} $.
Ainsi, $n:=2^{k+1}j-1$, $2^{k}j-1$, $\frac{3^{k}j-1}{2} $ ont le même destin: celui de $\frac{3^{k+1}j-1}{4} $.

Or, quelle est la partie impaire de $n-1$?
C'est celle de $(2^{k+1}j-1)-1=2(2^kj-1)$, donc celle de $(2^kj-1)$.
Si $k>0$ la partie impaire de $n-1$ est donc $(2^kj-1)$ qui a donc le même destin que $n$.
Si $k=0$ la partie impaire de $n-1$ est celle de $(2^kj-1)$, en l'occurrence $ j-1$; or $j-1$ est pair et $\frac{3^{k}j-1}{2} $, en l'occurrence $\frac{j-1}{2} $, est impair.

Conclusion: $n$ a le même destin que la partie impaire de $n-1$.

3.2)$\frac{3^{k+1}j-1}{2} $ impair: Il a le même destin que la moitié de $3\frac{3^{k+1}j-1}{2}+1 $, soit $\frac{3^{k+2}j-1}{4} $; en même temps :-D ,
$\frac{3^{k+2}j-1}{2} $ est pair: Il a le même destin que sa moitié $\frac{3^{k+2}j-1}{4} $.
Ainsi, $n:=2^{k+1}j-1$ et $2^{k+2}j-1$ ont le même destin: celui de $\frac{3^{k+2}j-1}{4} $.

Or $2^{k+2}j-1=2(2^{k+1}j-1)+1=2n+1$.

Conclusion: $n$ et $2n+1$ ont le même destin.

Aux erreurs de copié-collé près!

Amicalement
Paul

nodgim

Oui, Depasse, bonne analyse !

Question subsidiaire, maintenant : Soient les impairs compris entre 1 et 2^k -1. Si on les nomme x, il y a exactement la moitié qui ont même destin que 2x+1, et l'autre moitié qui ont même destin que (x-1)/2 ou (x-1)/4.

depasse

Bonjour,

@nodgim

Merci.
Je pense que ta question subsidiaire est mal formulée: pour tout $k$ inférieur à je ne sais plus quel $A$, tous tes $x$ ont le même destin: $1$.

Paul.

nodgim

Certes, mais ce 1, ce n'est pas prouvé pour tous les nombres.....

depasse

Bonjour,

Je ne suis toujours pas d'accord avec ta formulation mais ne chipotons pas: je crois bien comprendre ce que tu attends ;-).
Je me permets d'appeler $n$ et $K$ ceux que tu appelles $x$ et $k$ afin de conserver les notations de ma démo.

Mon premier cas équivaut à ($k$ pair et $j=-1 [4]$) ou ($k$ impair et $j=1 [4]$);
mon second à ($k$ pair et $j=1 [4]$) ou ($k$ impair et $j=-1 [4]$).

Or parmi les $2^{K-1}$ (si $K>1$) premiers (pas au sens "nombres premiers" !) impairs, un sur deux tombe dans mon premier cas, un sur deux dans le second.

C'est ça?

Amicalement
Paul

nodgim

Oui, c'est bien ça. La réponse à la 1ère question implique presque naturellement la réponse à la seconde.

Cette propriété ne fait pas beaucoup avancer vers la réponse à la conjecture....

PMF

Un petit retour sur la conjecture pour explorer son aspect probabiliste par une petite expérience.

On peut considérer l'algorithme comme un jeu de hasard en faisant le "jeu" suivant" :
On part d'un impair i et on fait tourner l'algorithme jusqu'à trouver un autre impair i' qui doit inférieur à i.
On ne se soucie pas de la paire $i,i'$ mais on garde en mémoire le nombre total d'étapes paires et impaires qui les séparent.
Par exemple à partir de i=19, on trouve i' = 11 via les étapes 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11 donc 11 est à 6 étapes de 19
C'est simple.
On tire 100.000 impairs à partir de 3 et on stocke en comptant simplement le nombre de fois où chaque étape est trouvée.
Sur ce tirage le plus petit nombre d'étapes est 3 et le plus grand est 220.
Ce qui est "marrant" c'est que l'ordre est parfaitement homogène pour les étapes 3, 4,5 avec les fréquences 25000, 12500, 6250 qui suivent une division par 2 et puis GLOP ! ça devient devient le bazar à partir de l'étape 6 :
6________9375
7________4689
8________8594
9________4297
10_______2148
11_______3417
12_______1709
13_______3590
14_______1796
15_______898
16_______1614
17_______811
18_______402
19_______937
20_______467
21_______1271
22_______634
23_______322
...
Sur le graphique on voit que globalement la fréquence baisse quand le nombre d'étapes augmente mais sous la forme d'un nuage de points

Si l'expérience montre que dans un domaine calculable on trouvera toujours i'<i en n étapes, cela révèle à mon sens une structure des entiers comme un immense réseau de paires $i, i'$ avec les connections (étapes) qui leur sont propres. Les chemins-chaînes de Syracuse sont formés de ces paires-maillons et la dernière est toujours $i,1$.

Une démonstration de Syracuse pourrait-elle se contenter de prouver que si on a toujours une paire $i,i'$ quelque soit i alors la chaine de toutes les paires-maillons finit nécessairement à 1 ?

Wilfrid

PMF a écrit:

Ce qui est "marrant" c'est que l'ordre est parfaitement homogène pour les étapes 3, 4,5 avec les fréquences 25000, 12500, 6250 qui suivent une division par 2 et puis GLOP ! ça devient devient le bazar à partir de l'étape 6

Pourrais-tu expliquer ce que ça veut dire ?

PMF

@wilfrid
tu vois bien que l'ordre des fréquences est "anarchique" par rapport aux nombres d'étapes trouvées sur 100.000 tirages

3_______25000
4_______12500
5_______6250
6_______9375
7_______4689
8_______8594
9_______4297
10_______2148
11_______3417
12_______1709
13_______3590
14_______1796
15_______898
16_______1614
17_______811
18_______402
19_______937
20_______467
21_______1271
22_______634
23_______322
24_______687
25_______343
26_______905
27_______433
28_______238
29_______457
30_______254
etc...

Wilfrid

J'ai expliqué dans ce post pourquoi l'ordre de grandeur du premier terme d'une suite de longueur donnée est fonction du nombre de termes impairs qu'elle contient (ce qu'on pourrait appeler la densité de termes impairs). Plus cette densité est importante et plus le premier terme de la suite est petit.

Prenons le cas d'une suite de longueur donnée présentant une forte densité de termes impairs. Son premier terme étant petit il faudra a priori un grand nombre d'étapes avant de parvenir à un terme plus petit que lui, et ceci d'autant plus qu'il y a un grand nombre de termes impairs après lui. Si au contraire la densité de termes impairs est faible, il faudra peu d'étapes, d'autant plus que le premier terme sera grand.

En ce qui me concerne j'aurais procédé comme suit : 1) calculer un grand nombre de suites compressées. 2) pour chacune d'elles, mémoriser son nombre de termes impairs et sa longueur, en incluant 1. 3) compter le nombre d'étapes qu'il a fallu pour tomber sur un terme impair plus petit que le premier. 4) chercher une corrélation entre la densité de termes impairs (leur nombre divisé par la longueur totale de la suite), cette longueur, et enfin le nombre d'étapes en question.

Pourquoi des suites compressées ? Parce qu'il existe beaucoup plus de suites compressées de longueur donnée que de suites standard.

Wilfrid

[suite du précédent]

A titre d'exemple, voici la liste des premiers termes de suites compressées de longueur 24 :

39, 115, 119, 349, 355, 357, 385, 423, 1045, 1059, 1077, 1093, 1099, 1111, 1143, 1155, 1157, 1167, 1177, 1267,
1271, 1273, 3157, 3185, 3285, 3299, 3333, 3427, 3429, 3469, 3477, 3501, 3533, 3537, 3571, 3593, 3801, 3805,
3813, 3819, 3821, 9557, 10005, 10293, 10309, 10315, 10453, 10467, 10501, 10509, 10513, 10609, 10613, 10713, 10717, 10781, 10785, 11405, 11413, 11415, 11445, 11457, 11459, 11461, 11469, 30037, 30933, 30947, 31509,
31541, 31553, 31829, 31857, 32141, 32149, 32349, 32355, 32357, 34245, 34261, 34275, 34357, 34373, 34379,
34381, 34389, 34417, 34435, 34481, 34483, 34519, 94549, 94661, 95573, 96469, 96483, 97045, 97077, 97089,
102741, 102853, 103125, 103139, 103153, 103253, 103309, 103445, 103459, 103555, 103557, 283989, 291157, 291269, 308565, 309461, 309475, 310357, 310385, 310669, 310677, 873813, 931157, 932053, 932067

Suite de 39 :
39, 59, 89, 134, 67, 101, 152, 76, 38, 19, 29, 44, 22, 11, 17, 26, 13, 20, 10, 5, 8, 4, 2, 1
9 étapes

Suite de 11457 :
11457, 17186, 8593, 12890, 6445, 9668, 4834, 2417, 3626, 1813, 2720, 1360, 680, 340, 170, 85, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1
2 étapes

Suite de 932053 :
932053, 1398080, 699040, 349520, 174760, 87380, 43690, 21845, 32768, 16384, 8192, 4096, 2048, 1024, 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1
7 étapes

A première vue c'est n'importe quoi, mais encore faudrait-il disposer d'un grand nombre de données.

PMF

@wilfrid
dans ce "modèle" on ne cherche qu'à caractériser un chainon entre un impair i et un autre impair i' en direction de 1, le choix s'arrêtant sur i'<i

Ce chainon est un segment de chemin. Il comprend une suite d'étapes paires et impaires. Il ne peut y avoir que des étapes paires, des étapes paires et une étape impaire intermédiaire, ou une longue suite de paires et d'impairs. En fait seul le nombre d'étapes est important. A nombre égal on peut trouver des mélanges paires, impairs bien différents.

C'est surtout sous l'angle des probabilités qu'il faut voir cette idée. Dans un grand sac de billes (les entiers) il y a plein de combinaisons (les pairs i, i'). On ne peut pas voir dans le sac, mais on voit bien en testant plein de tirages que certaines combinaisons sont plus populaires que d'autres. De manière globale on trouve moins de longues combinaisons que de courtes mais c'est très variable dans le détail.

Il faut 96 étapes pour former la paire 27_23 mais seulement 3 pour former la paire 25_19. Le mystère est dans le sac de billes !

PMF

quelques exemples de paires $i,i$ avec leur nombre d'étapes
3_1_______7
5_1_______5
7_5_______11
9_7_______3
11_5_______9
13_5_______4
15_5_______12
17_13_______3
19_11_______6
21_1_______7
23_5_______10
25_19_______3
27_23_______96
29_11_______4
31_23_______91
33_25_______3
35_5_______8
37_7_______5
39_19_______14
41_31_______3
43_37_______8
45_17_______4
47_23_______89
49_37_______3
51_29_______6
53_5_______6
55_47_______8
57_43_______3
59_19_______12
61_23_______4
63_61_______88
65_49_______3
67_19_______7
69_13_______5
71_61_______83
73_55_______3
75_1_______14
77_29_______4
79_19_______15
81_61_______3
83_47_______6
85_1_______9
87_37_______9
89_67_______3
91_61_______73
93_35_______4
95_91_______13
97_73_______3
99_7_______9
101_19_______5
103_61_______68
105_79_______3
107_91_______8
109_41_______4
111_61_______50
113_85_______3
115_65_______6
117_11_______6
119_101_______8
121_91_______3
123_59_______14
125_47_______4
127_77_______24
129_97_______3
131_37_______7
133_25_______5
135_43_______12
137_103_______3
139_59_______9
141_53_______4
143_91_______11
145_109_______3
147_83_______6
149_7_______7
151_1_______15
153_115_______3
155_61_______66
157_59_______4
159_61_______35
161_121_______3
163_23_______8
165_31_______5
167_61_______48
169_127_______3
171_145_______8
173_65_______4
175_167_______13
177_133_______3
179_101_______6
181_17_______6
183_155_______8
185_139_______3
187_119_______11
189_71_______4
191_77_______22
193_145_______3
195_55_______7
197_37_______5
199_95_______14
201_151_______3
203_43_______10
205_77_______4
207_167_______21
209_157_______3
211_119_______6
213_5_______8
215_91_______9
217_163_______3
219_209_______13
221_83_______4
223_61_______51
225_169_______3
227_1_______13
229_43_______5
231_31_______21
233_175_______3
235_199_______8
237_89_______4
239_61_______33
241_181_______3
243_137_______6
245_23_______6
247_209_______8
249_187_______3
251_61_______46
253_95_______4
255_205_______21
257_193_______3
259_73_______7
261_49_______5
263_167_______11
265_199_______3
267_113_______9
269_101_______4
271_43_______13
273_205_______3
275_155_______6
277_13_______7
279_59_______10
281_211_______3
283_61_______41
285_107_______4
287_205_______16
289_217_______3
291_41_______8
293_55_______5
295_281_______13
297_223_______3
299_253_______8
301_113_______4
303_61_______23
305_229_______3
307_173_______6
309_29_______6
311_263_______8
313_235_______3
315_25_______14
317_119_______4
319_61_______36
321_241_______3
323_91_______7
325_61_______5
327_125_______35
329_247_______3
331_35_______11
333_125_______4
335_319_______13
337_253_______3
339_191_______6
341_1_______11
343_145_______9
345_259_______3
347_31_______19
349_131_______4
351_167_______14
353_265_______3
355_25_______9
357_67_______5
359_325_______26
361_271_______3
363_307_______8
365_137_______4
367_131_______17
369_277_______3
371_209_______6
373_35_______6
375_317_______8
377_283_______3
379_361_______13
381_143_______4
383_205_______19
385_289_______3
387_109_______7
389_73_______5
391_31_______14
393_295_______3
395_167_______9
397_149_______4
399_253_______11
401_301_______3
403_227_______6
405_19_______7
407_43_______11
409_307_______3
411_31_______27
413_155_______4
415_125_______25
417_313_______3
419_59_______8
421_79_______5
423_151_______17
425_319_______3
427_361_______8
429_161_______4
431_205_______14
433_325_______3
435_245_______6
437_41_______6
439_371_______8
441_331_______3
443_281_______11
445_167_______4
447_173_______66
449_337_______3
451_127_______7
453_85_______5
455_433_______13
457_343_______3
459_97_______10
461_173_______4
463_31_______22
465_349_______3
467_263_______6
469_11_______8
471_199_______9
473_355_______3
475_113_______15
477_179_______4
479_433_______26
481_361_______3
483_17_______10
485_91_______5
487_31_______35
489_367_______3
491_415_______8
493_185_______4
495_239_______45
497_373_______3
499_281_______6
501_47_______6
503_425_______8
505_379_______3
507_181_______17
509_191_______4
511_173_______30
513_385_______3
515_145_______7
517_97_______5
519_329_______11
521_391_______3
523_221_______9
525_197_______4
527_167_______12
529_397_______3
531_299_______6
533_25_______7
535_113_______10
537_403_______3
539_433_______21
541_203_______4
543_109_______23
545_409_______3
547_77_______8
549_103_______5
551_131_______15
553_415_______3
555_469_______8
557_209_______4
559_505_______26
561_421_______3
563_317_______6
565_53_______6
567_479_______8
569_427_______3
571_181_______12
573_215_______4
575_205_______17
577_433_______3
579_163_______7
581_109_______5
583_13_______21
585_439_______3
587_31_______12
589_221_______4
591_281_______14
593_445_______3
595_335_______6

Wilfrid

PMF a écrit:

dans ce "modèle" on ne cherche qu'à caractériser un chainon entre un impair i et un autre impair i' en direction de 1, le choix s'arrêtant sur i'<i

J'avais compris, merci. Reprenons les résultats que tu as obtenus après 100 000 tirages, au format nbr d'étapes____fréquence :

3_______25000
4_______12500
5_______6250

et appelons $f$ la fréquence. On pourrait se dire que lorsqu'on incrémente le nombre d'étapes, sa fréquence est donnée par $f=\lfloor f/2 \rfloor$. Ce serait une trouvaille intéressante puisque on aboutirait à $f=1$, ce qui signifierait que le nombre d'étapes possède une limite.

Malheureusement, à partir de 6 étapes la fréquence est imprévisible, incalculable. Il n'y a donc pas de limite envisageable au nombre d'étapes. Conclusion : tu perds ton temps.

PMF

@wilfrid
conclusion corrigée : une expérience et son résultat puis son analyse n'est jamais une perte de temps.

Premier point :
Dans un chemin-chaîne de Syracuse, que l'on peut définir comme une suite de maillons $i,i' $ où i'<i (quelque soit le nombre d'étapes paires et impaires entre i et i') , il existe une probabilité non nulle que le nombre d'étapes de i à i' soit fini (même s'il peut être très rarement très grand)

Deuxième point :
Les 3 premières étapes par ordre de fréquence ont des cycles réguliers séparant les i
3 étapes avec i+8 : 9_7, 17_13, 25_19, 33_25, 41_31, 49_37, 57_43, 65_49, 73_55, 81_61, 89_67, 97_73, 105_79, 113_85, 121_91, 129_97, 137_103,
4 étapes avec i+16 : 13_5, 29_11, 45_17, 61_23, 77_29, 93_35, 109_41, 125_47, 141_53, 157_59, 173_65, 189_71, 205_77, , , , , , , , , , , ,
5 étapes avec i+32 : 5_1, 37_7, 69_13, 101_19, 133_25, 165_31, 197_37, 229_43, , , , , , , , , , , , , , , , ,

Troisième point :
A partir de 6 étapes il existe des cycles mais qui sont plus complexes
Etape 6 cycle 32-2-30
Etape 7 cycle 18-46-64
Etape 8 cycle 8-12-52-12-44-8-12-30-22-12-44
La structure de ces cycles est directement liée aux fréquences observées

51_29_________6_________32
53_5__________6_________2
83_47_________6_________30
115_65________6_________32
117_11________6_________2
147_83________6_________30
179_101_______6_________32
181_17________6_________2
211_119_______6_________30
243_137_______6_________32
245_23________6_________2
275_155_______6_________30
307_173_______6_________32
309_29________6_________2
339_191_______6_________30
371_209_______6_________32
373_35________6_________2
403_227_______6_________30
435_245_______6_________32
437_41________6_________2
467_263_______6_________30
499_281_______6_________32
501_47________6_________2
531_299_______6_________30
563_317_______6_________32
565_53________6_________2
595_335_______6_________30
3_1___________7_________
21_1__________7_________18
67_19_________7_________46
131_37________7_________64
149_7_________7_________18
195_55________7_________46
259_73________7_________64
277_13________7_________18
323_91________7_________46
387_109_______7_________64
405_19________7_________18
451_127_______7_________46
515_145_______7_________64
533_25________7_________18
579_163_______7_________46
35_5__________8_________
43_37_________8_________8
55_47_________8_________12
107_91________8_________52
119_101_______8_________12
163_23________8_________44
171_145_______8_________8
183_155_______8_________12
213_5_________8_________30
235_199_______8_________22
247_209_______8_________12
291_41________8_________44
299_253_______8_________8
311_263_______8_________12
363_307_______8_________52
375_317_______8_________12
419_59________8_________44
427_361_______8_________8
439_371_______8_________12
469_11________8_________30
491_415_______8_________22
503_425_______8_________12
547_77________8_________44
555_469_______8_________8
567_479_______8_________12

Wilfrid

Je me suis planté en te fournissant ci-dessus un lien vers un de mes anciens posts. Je n'avais pas pris la peine de le relire et ce que j'y disais ne correspond pas à ce dont je me souvenais. Il n'est pas du tout question de suites compressées de longueur constante mais de suites standard dont le nombre de termes pairs est constant. Désolé. Mais bon, il pourrait quand même t'être utile.

Pour simplifier je vais noter $i^+$ le successeur impair de $i$ plus grand que lui, et $i^-$ son successeur impair plus petit que lui.

Dans ton calcul du nombre d'étapes nécessaires pour aller de $i$ à $i^-$ on peut déjà considérer que dans $(3\,i+1)/2^u$, si $u=1$ et que $3\,i+1$ n'est pas une puissance de 2, alors son successeur impair est $i^+$, comme dans 7, 22, 11, ... Si $3\,i+1$ est une puissance de 2 son successeur impair est $1$.

Le nombre de $i$ tels que $u=1$ est largement majoritaire dans l'ensemble des entiers naturels. Ce sont 3, 7, 11, 15, 19, etc., soit un nombre impair sur 2 à partir de 3. Ces entiers sont de la forme $4\,x-1$, $x>0$. A partir de là on peut essayer de comprendre pourquoi 3 étapes possède la fréquence la plus grande dans tes résultats. Si $i$ est de la forme $4\,x-1$ il faut 2 étapes pour atteindre $i^+$. Il est donc impossible d'atteindre $i^-$ en 3 étapes, ce qui veut dire que $i$ ne peut pas être de la forme citée mais de la forme $4\,x-3$, c'est-à-dire 1, 5, 9, 13, 17, 21, etc., qui compte les valeurs de $i$ telles que $3\,i+1$ est une puissance de 2.

Parmi ces valeurs de $i$, lesquelles conduisent à $i^-$ en 3 étapes ? Ce sont celles pour lesquelles $u=2$, c'est-à-dire 1, 9, 17, 25, 33, 41, etc, soit un nombre impair sur quatre. $1$ est néanmoins une exception puisqu'il est égal à son successeur impair (mais on peut toujours poser $x>1$). Conclusion : un $i$ sur quatre conduit à $i^-$ en 3 étapes. Alors quoi ? Si tu fais des statistiques sur les 100 000 premiers entiers impairs il est tout à fait normal que tu trouves ... 25 000 fois 3 étapes !

On peut faire un calcul similaire pour trouver la fréquence correspondant à 4 et 5 étapes. Les nombres 13, 29, 45, 61, 77, 93, 109, ... conduisent à $i^-$ en 4 étapes. C'est un nombre impair sur 8 à partir de 13, donc une fréquence de $100\,000/8=12500$. Les nombres 5, 37, 69, 101, 133, 165, 197, ... conduisent à $i^-$ en 5 étapes, soit un entier impair sur 16 à partir de 5, d'où une fréquence de $100\,000/16=6250$.

Pourquoi les étapes 3, 4 et 5 représentent-elles un cas particulier ? Tout simplement parce qu'avec $i$ tel que $u=1$ on ne peut pas atteindre $i^-$ en 3, 4 ou 5 étapes. On sait qu'avec $u=1$ on atteint $i^+$ en 2 étapes. A partir de $i^+$ Il reste respectivement 1, 2 et 3 étapes pour atteindre $i^-$. La 3ème étape est nécessairement un nombre pair, égal à $3\,i^++1$. La 4ème étape est soit un nombre pair, soit $i^{++}$, le successeur impair de $i^+$ plus grand que lui. La 5ème étape est soit un nombre pair, soit $i^{+-}$, le successeur impair de $i^+$ plus petit que lui mais pas nécessairement plus petit que $i$. Je te laisse le soin d'essayer de trouver une valeur de $i^{+-}<i$, mais à mon avis, si on obtient 6250 fois 5 étapes c'est parce qu'elle n'existe pas.

Quant aux cycles dont tu parles, et dont je n'ai pas saisi toute la substantifique moelle, je suis persuadé qu'on pourrait les retrouver en se livrant à ce type de calcul, à condition de conserver un tube d'aspirine à portée de main.

Résumé : tes statistiques ne nous apprennent rien qu'on ne puisse calculer, ce qui est le cas depuis le début (je le dis sans ironie et sans méchanceté).

PMF

Voici le tableau des paires $i,i'$ ayant 3 à 11 étapes paires ou impaires entre i et i'

Pour chacune d'elles, on remarquera qu'il existe un cycle identifié. Ce cycle mesure les écarts entre les i ayant le même nombre d'étapes

On remarquera aussi que ces étapes 3 à 11 représente 76% des paires $i,i'$ que l'on peut trouver sur 100.000 paires $i,i'$ en partant de i=3

Qui dit cycle dit construction répétable à l'infini.

Si on fait l'hypothèse que l'on trouvera toujours des cycles quelque soit le nombre d'étapes séparant i' de i, alors l'ensemble des entiers impairs est entièrement structuré par ces cycles, et on trouvera toujours un i'<i.
Ce qui entraine que si un chemin-chaîne de Syracuse est constitué de paires-maillons i,i', il décroit nécessairement vers le plus petit entier impair qui est 1....
Et j'ai résolu la conjecture ! B-)

lourrran

Tu pourrais présenter les choses proprement.
Le cycle de longueur 6
Plutôt que dire qu'il est de la forme 32/2/30, il y a en fait 2 cycles qui donnent ce résultat, un de période 32, qui commence à ... et un autre de période 64 qui commence à ...

Systématiquement, tous les cycles sont de période 4,8,16, 32 ou 64 ou 128 ou 256 ... des puissances de 2.
Comme déjà expliqué il y a plus de 6 mois. A l'époque, on avait fait un focus sur la période 1024.

Wilfrid

PMF a écrit:

Les 3 premières étapes par ordre de fréquence ont des cycles réguliers séparant les i
3 étapes avec i+8 : 9_7, 17_13, 25_19, 33_25, 41_31, 49_37, 57_43, 65_49, 73_55, 81_61, 89_67, 97_73, 105_79, 113_85, 121_91, 129_97, 137_103,
4 étapes avec i+16 : 13_5, 29_11, 45_17, 61_23, 77_29, 93_35, 109_41, 125_47, 141_53, 157_59, 173_65, 189_71, 205_77, , , , , , , , , , , ,
5 étapes avec i+32 : 5_1, 37_7, 69_13, 101_19, 133_25, 165_31, 197_37, 229_43

Expliqué dans mon précédent message.

PMF a écrit:

A partir de 6 étapes il existe des cycles mais qui sont plus complexes

Oui. Les nombres 53, 117, 181, 245, ... conduisent directement à $i^-$ (c'est-à-dire $i'<i$) en 6 étapes. Ils représentent un nombre impair sur 32, ce qui donne une fréquence de $100\,000/32=3125$. Tu en trouves pour ta part 9375. La différence de 6250 est due au premier terme de la suite, de la forme $4\,x-1$, dont le successeur impair est plus grand qu'eux (je le nomme $i^+$ pour cette raison). On n'effectue donc pas 6 étapes dans la foulée mais en passant par $i^+$, c'est à dire 2 étapes à partir de $i$ suivies de 4 étapes à partir de $i^+$. Par conséquent, $i$ est de la forme $4\,x-1$, c'est-à-dire 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, ... et $i^+$ est de la forme $4\,x-3$, c'est-à-dire 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, ...

Si tu consultes le tableau que tu as posté dans ce message (ton avant-dernier), tu verras que

1. Les nombres dont le cycle est marqué 2 sont 53, 117, 181, 245, ... (ceux que j'ai cités ci-dessus). Ils conduisent directement à $i^-$ en 6 étapes.
2. Les nombres dont le cycle est marqué 32 sont 51, 115, 179, 243, ..., de la forme $4\,x-1$ donc suivis de $i^+$ en 2 étapes, qui lui-même ne peut être que de la forme $4\,x-3$, sinon son successeur impair serait plus grand que lui alors qu'il doit conduire à $i^-$ en 4 étapes.
3. Les nombres dont le cycle est marqué 30 sont 83, 147, 211, 275, ..., de la forme $4\,x-1$. $i^+$ est également de la forme $4\,x-3$ pour la raison que je viens de citer.

Pour simplifier, on peut considérer deux types d'entiers impairs :

1. de la forme $4\,x-1$. Ils sont suivis de $i^+$ en 2 étapes.
2. de la forme $4\,x-3$. Ils sont suivis de $i^-$ en plus de 2 étapes.

Si tu veux une suite dans laquelle $i$ sera suivi de $i^-$ en 6 étapes, tu as le choix entre un premier terme de type B ou un premier terme de type A suivi d'un autre de type B, de manière à obtenir 2 + 4 étapes. On pourrait nommer cette suite AB.

Quel que soit le nombre d'étapes choisi, une partie des suites débutera par un entier de type B et une autre par un entier de type A. Ensuite, c'est par diverses combinaisons des deux types que tu parviendras à ce nombre d'étapes, ce qui donnera par exemple les suites B, BA, AB, AAB, ABA, etc. C'est ainsi qu'on peut expliquer les cycles : dans la suite AB, par exemple, qui permet d'atteindre $i^-$ en $n$ étapes, A est toujours suivi de 2 étapes et B toujours suivi de $n-2$ étapes. Ceci revient à trouver tous les entiers impairs $B$ tels que $3\,B+1$ est divisible par $2^{n-2}$, et ils sont régulièrement espacés dans la suite des entiers impairs. C'est cette régularité que tu appelles des cycles.

PMF

@lourran

pour prolonger ton analyse : chaque sous-cycle renvoie à une spécificité des étapes entre i et i'

i_i'___________étapes______i___________i'_________cycle i
51_29_________6_________51__________29_________32
53_5__________6_________53__________5__________2
83_47_________6_________83__________47_________30
115_65________6_________115_________65_________32
117_11________6_________117_________11_________2
147_83________6_________147_________83_________30


en détaillant les étapes :
51_29________51_________154__________77_________232_________116__________58_________29
53_5_________53_________160__________80__________40__________20__________10_________5
83_47________83_________250_________125_________376_________188__________94_________47
115_65______115_________346_________173_________520_________260_________130_________65
117_11______117_________352_________176__________88__________44__________22_________11
147_83______147_________442_________221_________664_________332_________166_________83

53_5 et 117_11 n'ont pas d'impair entre eux et correspondent au même sous-cycle
Par contre les 4 autres ont toutes un impair intermédiaire
Il faudrait donc "finasser" en fonction du nombre d'étapes totales et du nombre d'impairs intermédiaires.

Dans ce groupe "6" il y a donc deux familles : 4 avec 1 impair intermédiaire et 2 sans impair intermédiaire (à noter oeoeeeo et oeeeeo par exemple)

Tout cela ne change pas mon raisonnement de base : l'ensemble des entiers impairs est constitué de paires $i,i'$ avec i'<i séparés de n étapes paires et impaires. On trouve des cycles réguliers pour les i de ces paires en fonction d'un nombre identique d'étapes et certainement du nombres d'impairs intermédiaires et peut-être aussi de leur position.

lourrran

Tu regardes la longueur 6.
Donc tous les cycles ont une périodicité de 2^6=64. Point final, ou presque.

Dans ces cycles, tu en as qui ont un impair intermédiaire. Ceux là ont une périodicité de 32. C'est une règle, un théorème si tu veux.

Travailles avec la suite 'compressée' et pas la suite classique, et ça va devenir évident.
Dans la suite compressée, tu as

51 -> 77 -> 116 -> 58 -> 29
83 ->125 -> 188 -> 94 -> 47 (83, c'est 51+32 ... l'écart est 32, il ont donc le même parcours sur les 5 premières étapes ooeeo , et tu peux ajouter 32 autant de fois que tu veux, tu auras toujours ooeeo)

53 -> 80 -> 40 -> 20 -> 10 -> 5
117 -> 176 -> 88 -> 44 -> 22 -> 11 (117, c'est 53+64 ... )


La vraie longueur pour aller de 51 à 29 ou de 83 à 47, quand on regarde la suite compressée, c'est 4 ... --> périodicité 32 :
Et pour aller de 53 à 5 ou de 117 à 11, la longueur n'est pas 4 mais 5. --> périodicité 64.

Et si tu prends d'autres nombres, pour lesquels la longueur de la suite compressée sera 6, la périodicité sera 128. Etc etc.

La suite compressée se prête beaucoup mieux à ces comptages.


Tu as complètement oublié, mais je t'avais '''dicté''' pas à pas comment bâtir un fichier Excel, avec une cinquantaine de colonnes. C'était exactement cette idée là qui était la base de ce fichier.

PMF

ok lourran
mais dans ce cas puisque ces cycles existent (d'une manière ou d'une autre façon de les représenter), tu es d'accord qu'ils structurent entièrement les entiers...
ou du moins qu'il existe un ensemble , celui des paires $i,i'$, qui repose sur un jeu de construction répétable à l'infini : il suffit de trouver un type de paires avec un certain nombre d'étapes et sa disposition d'impairs intermédiaires et on peut en produire tant qu'on veut
c'est donc une propriété des entiers de se structurer avec ces paires $i,i'$,
et c'est comme ça que cette conjecture fonctionne B-)-

lourrran

Oui.
Une fois qu'on connait les 10 premières étapes du chemin de tous les entiers entre 1 et 1024 (ou peut être 2048, peu importe), ça suffit pour connaître les 10 premières étapes pour n'importe quel entier, aussi grand soit-il.
Exact.
Mais connaître les 10 premières étapes du chemin de n'importe quel entier, ça ne suffit pas.
Si c'était aussi simple que ça, Lothar Collatz n'aurait jamais soumis ce problème aux générations suivantes. Essaie de ne pas oublier que Collatz était une sommité en maths.

PMF

@lourran

je ne dénie rien du génie de Lothar Collatz (marrant son prénom qui rappelle la série Mandrake pour les fans de bd )

Mon point n'est pas le début du chemin mais un segment quelconque du chemin qui va de i à i' avec i'<i

Tu es d'accord qu'on peut structurer n'importe quel chemin avec ces segments $i,i'$

Donc si preuve il y a que pour tout i on trouve un i' qui lui est inférieur au bout de n étapes,
la concaténation des segments est forcement décroissante, non ?

c'est vraiment ça ma question.

PMF

pour qu'on soit bien d'accord sur un segment $i,i'$
....147, 442, 221, 664, 332, 166, 83, 250, 125, 376, 188, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322....
celui ci $83,47$ englobe une étape impaire dans un total de 6 étapes de forme "oeoeeeo" (o = odd/impair et e = even pair)

tout chemin commençant par un impair et finissant par un impair (1) est bien une concaténation de segments $i,i'$

on peut affirmer ça, non ?

lourrran

Si on arrivait à prouver qu'à partir de tout entier, le chemin de Syracuse passe à un moment par un autre entier qui lui est strictement inférieur, alors oui, la démonstration serait faite.

Ca a déjà été dit dans cette discussion, ou dans la discussion précédente, à une époque où je te demandais un PLAN.

Wilfrid

PMF a écrit:

Donc si preuve il y a que pour tout $i$ on trouve un $i'$ qui lui est inférieur au bout de $n$ étapes,
la concaténation des segments est forcement décroissante, non ? C'est vraiment ça ma question.

Tu oublies un facteur important : on peut créer des portions de suite croissant sur autant de termes qu'on veut, ce qui laisse entrevoir l'idée de suites infiniment croissantes. Peut-on démontrer que ce type de suite finira par redescendre vers 1 ? Non.

Il y a une certaine ambiguïté là-dedans : a priori, seule une "portion de suite" peut croître, c'est-à-dire sur ses $n$ premiers termes, aussi grand $n$ soit-il, puisque "la suite elle-même" est supposée redescendre ensuite vers 1. Une portion de suite croissant indéfiniment peut-elle être considérée comme appartenant à une suite ? Une réponse affirmative relèverait d'un conditionnement : nous sommes habitués à des suites qui finissent par redescendre alors nous partons du principe que toute suite redescend. Mais rien ne permet de l'affirmer.

PMF

@lourran
donc à mon sens ces segments $i,i'$ avec i'<i sont la bonne chose à observer

en les cataloguant par nombre d'étapes et disposition des étapes impaires
par exemple $83,47$ est un segment de 6 étapes de type "oeoeeeo" (o odd et e even)

1) on doit trouver pour tout segment son cycle spécifique (la valeur qui sépare les i qui débutent ces segments)

2) on doit aussi montrer qu'une certaine plage d'entiers se décomposent entièrement en cycles

lourrran

Mais on peut aussi remarquer, en regardant la suite compressée ( $U_{n+1} = (Un*3+1)/2$ si $U_n$ est impair et $U_{n+1}=U_n/2$ si $U_n$ est pair )

1. Si on part d'un entier impair, on commence par monter , alors que si on part d'un entier pair on commence par descendre.
Donc, pour la moitié des entiers, on commence par monter.
Regardons uniquement cette moitié là, les nombres impairs.

2. Si on part d'un entier impair, qui est en plus de la forme 4k+3, on commence par monter 2 fois, alors que si on part d'un entier impair autre (4k+1), on monte une fois, puis on descend.
Donc dans notre ensemble des entiers impairs, il y en a la moitié qui commence par monter 2 fois,
Regardonc uniquement cette moitié là, les nombres impairs de la forme 4k+3

3. Parmi ces nombres, il y en a la moitié qui commencent par monter 3 fois (les 8k+7), et l'autre moitié qui commencent par monter 2 fois, puis descendent (les 8k+3).

etc etc etc.

A chaque fois, on coupe l'univers en 2 moitiés, ceux qui continuent de monter Et ceux qui ont déjà beaucoup monté, et qui finalement redescendent un petit peu.

Donc si on veut, on peut trouver un nombre qui va commencer par 10000 montées, et aucune descente. Ou même un nmbre qui va commencer par 1 000 000 montées. Ca existe, il y a un nombre, et même une infinité de nombres, qui commencent par 1000000 montées.

Pour ces nombres qui commencent par 1000000 de montées, tu vas faire comment pour trouver la 1ère étape où ils redescendent en dessous du point de départ ?


Ceux qui commencent par quelques montées et des descentes, tu en parles volontiers, ils t'arrangent, mais ils n'intéressent personne. Ceux qui nous intéressent, ce sont les dur-à-cuire, ceux qui commencent par plein de montées, tellement de montées qu'on se demande s'ils vont finir par redescendre.

PMF

@lourran
déjà restons-en aux segments qui commencent par un impair et finissent par impair plus petit donc le segment $i,i'$

Je viens de faire un coup de sonde pour tous les impairs entre 3 et 20.001 (voir le pdf joint)

On peut constater que :
1) en identifiant bien le nombre d'étape et le type de segment (exemple oeoeeeo) il y a un cycle régulier d'une seule valeur (dans la mesure où on a trouvé plus d'un segment bien sûr)
2) les valeurs de ces cycles sont toujours des puissances de 2 (comme tu l'as dit)
3) sur cette plage on ne peut pas trouver le cycle de tous les segments parce certains cycles sont supérieurs à la limite de la plage (pas vérifié encore mais cela semble certain)

Il est donc possible de construire une "table de segments" qui couvrirait une plage continue d'impairs si on cherche suffisamment loin pour les cycles les plus longs. Ce sera le prochaine envoi en prenant tous les impairs de 3 à 2001

PMF

En prenant une plage d'impairs continus, on peut établir le tableau de leurs segments $i,i'$ (joint en pdf pour i de 3 à 99)
(Un deuxième tableau est aussi joint pour la liste des types de chaque segment)

Chaque colonne correspond à un type qui décrit le nombre d'étapes et la disposition des étapes paires et impaires

Une fois qu'un cycle correspondant à un type est trouvé, ce cycle se répète à l'infini et on peut donc prédire la position et la valeur de tous les $i,i'$ de cette colonne

Si on veut faire un tableau (théorique) correspondant à tous les i possibles, celui-ci sera un simple agrandissement en lignes et en colonnes de celui qui est joint. A chaque type nouveau trouvé, il suffit d'ajouter une colonne.

Ma réflexion est simple : en imaginant qu'un programme puisse étendre ce tableau à des milliards de milliards de lignes et de colonnes, et qu'aucune contrainte de mémoire ne puisse l'arrêter, je pense que chaque nouvel impair i n'ayant pas trouvé son type dans les colonnes existantes rajouterait le sien. Et ce tableau s'étend donc à l'infini. Ce qui veut dire qu'il existe tous les segments possibles $i,i'$ avec i'<i et donc que leur concaténation est forcément décroissante.

En bref si un tel tableau existe, la conjecture est résolue.

lourrran

Donc, si on fait un tableau avec tous les entiers (tous), et pour tous les entiers, on calcule un certain nombre d'étapes (jusqu'à arriver à 1, ou jusqu'à arriver à un nombre plus petit que l'entier de départ), alors la conjecture est résolue.

Le problème, le petit problème, c'est que un tableau avec tous les entiers... aucun ordinateur ne saura jamais faire.
Dans un tableau, il y a un premier élément, et un dernier élément. Et donc, dans ce tableau, il manque au moins un entier, l'entier immédiatement supérieur au dernier élément.

Stator

Il y a bien mieuxx pour montrer Syracuse qu'un tableau difficile à remplir. On peut raisonner ligne par ligne.

Conjecture 1: La conjecture de Syracuse dit que toute trajectoire atteint 1.
Conjecture 2: La conjecture 1 est vraie.
Conjecture 3: La conjecture 2 est vraie.
Conjecture 4: La conjecture 3 est vraie.
....

Conjecture n+1: La conjecture n est vraie.

Je m'attaque à la conjecture 1789142567 pour laquelle j'ai une idée qui présente l'avantage d'être inédite et je vous tiens au courant (merci de bien mentionner mon nom si vous publiez quelque chose sur cette conjecture 1789142567). Ensuite par la méthode de la descente infinie de Fermat on arrivera à montrer Syracuse.

PMF

très marrant lourran et stator, mais je pense que vous ne m'avez pas compris du tout, du tout...

Donc je reformule :
Dans l'ensemble des entiers impairs, il existe toujours un segment $i,i'$ avec i'<i séparé par n étapes paires et impaires ayant une certaine disposition (par exemple "oeeeeeeeeeeeeeeeeeeo")
Un fois que l'on trouve un premier segment $i,i'$, on cherche celui qui le suit ayant le même nombre d'étapes et la même disposition.
Par exemple pour le segment "oeeo" :
1er i,i'_________2ème i,i'_________cycle i_________cycle i'_________nbr étapes
9_7__________17_13___________8______________6_____________3
On va voir que pour chaque type de segment, il y a un cycle pour i et pour i'
Donc à partir de ces deux premiers segments, on peut répéter ces cycles à l'infini :
9_7
17_13
25_19
33_25
41_31
49_37
57_43
65_49
73_55
81_61
89_67
97_73
.....

Ceci est valable pour tout impair i. Il y a juste des segments très longs et des cycles qui peuvent aussi être très grands

Mais tout l'ensemble des entiers impairs se structure ainsi... et c'est juste pour cela que la concaténation des segments $i,i'$ est toujours décroissante.

lourrran

PMF a écrit:

Dans l'ensembte des entiers impairs, il existe toujours un segment i, i' avec i'<i séparé par n étapes paires et impaires

P1 : Sur les nombres que tu as testés, il existe toujours un nombre i', avec i'<i. Oui
P2 : Sur les nombres que tu as testés, tu peux mmeme aller plus loin il existe toujours un chemin qui va jusqu'à 1. Oui

Et donc, comme la propriété est vraie pour tous les entiers que tu as testés , tu conclues que la propriété est vraie pour tous les entiers.

Tu avais déjà tenté le coup pour la propriété P2. On t'avait dit que ça ne suffisait pas pour faire une démonstration, il faut des vrais arguments.
Tu essaies la même arnaque avec la propriété P1.

Bien entendu, si tu sais PROUVER que pour tout entier i, le chemin de Syracuse passe par un autre entier i', strictement inférieur à i, alors la démonstration sera finie. Toi tu sais l'affirmer. Mais ça ne suffit pas.

Et si tu sais PROUVER que pour tout entier i, le chemin de Syracuse passe par un autre entier i' strictement inférieur à i, il y a effectivement un raisonnement simple qui permet de démontrer la conjecture de Syracuse. Mais ce raisonnement n'a vraiment rien à voir avec les baratinages que tu écris.

PMF

@lourran
je peux fournir les données qui correspondent à mes "baratinages"

Il est très facile d'extraire des segments $i,i'$ et de trouver leurs cycles. Voici une liste de 1170 segments basé sur le modèle :
1er i,i'_________2ème i,i'_________cycle i_________cycle i'_________nbr étapes
9_7__________17_13___________8______________6_____________3

Cette liste n'a couté que quelques minutes de calcul sur un laptop bien ordinaire. Je ne trouve pas toujours le deuxième segment car la plage de calcul se limite à 200.001. Mais c'est un détail car évidemment on en trouverait plus en allongeant la plage.

Je ne dis simplement que par calcul on peut trouver autant de segments que l'on veut avec leurs cycles i et i'. Donc mécaniquement ces segments ne sont pas indépendants mais tous reliés à des cycles. Les 1170 segments de cette liste n'ont pas de limite, ils sont répétables à l'infini.
Il y a un segment composé d'entiers impairs incommensurablement grands qui est à la suite de 9_7....17_13.... après une infinité de répétition des cycles : 9+8k_7+6k

Certains segments apparaissent peut-être pour la première fois avec de très grands i. Et il y a peut-être un écart immense qui le sépare de son suivant. Qu'importe, le principe est toujours le même.

lourrran

Le problème, c'est que tu ne lis aucun argument.,, Quand on te dit : oui , il y a des cycles, mais si on veut, on peut construire des entiers qui commencent par 1 Million de montées, ou même 100 Milliards de montées, il y a une infinité d'entiers qui sont comme ça, tu réponds que tu es d'accord, mais que sur les tests que tu as faits, ça ne s'est pas produit. Donc tu es d'accord, mais tu continues comme si ces cas là n'existaient pas.

Tu es toujours au bout de 6 mois, beaucoup moins avancé que ce qu'un bon lycéen des années 1980 aurait pu écrire en 10 jours.

raoul.S

Après une inquiétude de lourrran au sujet de PMF :

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,2058452,2122824#msg-2122824
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,2058452,2124558#msg-2124558

On retrouve enfin la routine habituelle :

- "Tu pourrais présenter les choses proprement."
- "Tu essaies la même arnaque avec la propriété P1."
- "Mais ce raisonnement n'a vraiment rien à voir avec les baratinages que tu écris."
- "Tu es toujours au bout de 6 mois, beaucoup moins avancé que ce qu'un bon lycéen des années 1980 aurait pu écrire en 10 jours."

Tout est bien qui finit bien... B-)-

PMF

hahahahhahaha

Wilfrid

@PMF,

Dans ton tableau figurent de nombreux entiers impairs $i$ de la forme $4\,x-3$, $x>0$. De 3 à 99 ce sont 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 65, 69, 73, 77, 81, 85, 89, 93, 97, dont tu as omis une bonne partie. Ils ont la particularité d'avoir un successeur impair plus petit qu'eux. Si $n$ est le nombre d'étapes pour atteindre celui-ci, ce que tu appelles "cycle" est égal à $2^n$.

Pour ce qui concerne les autres $i$, qui sont de la forme $4\,x-1$, les choses se compliquent puisqu'ils possèdent un successeur impair plus grand qu'eux, atteint en 2 étapes. Je prends l'exemple de 7, qui est de cette forme. Son type est $oeoeoeeoeee$. Son cycle de 256 signifie que les autres valeurs de $i$ de même type forment une suite arithmétique de raison 256 et de premier terme 7, c'est-à-dire 7, 263, 519, 775, 1031, etc. Leur suite respective montre qu'ils sont bien du même type :

7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, ...
263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, ...
519, 1558, 779, 2338, 1169, 3508, 1754, 877, 2632, 1316, 658, 329, ...
Etc.

Eh bien tu sais quoi ? C'est exactement ce dont j'avais parlé dans mon sujet "Isomorphisme de deux suites de Collatz" : je disais que deux suites sont isomorphes sur $t$ termes si elles possèdent la même structure, ce que tu appelles le type. Pour continuer avec l'exemple de $i=7$, il s'agit de calculer le premier terme d'autant de suites qu'on veut de 12 termes dont le nombre successif de termes pairs est $1,1,2,3$ (voir la suite de 7 ci-dessus, dite suite de référence) :

$\sigma =1+1+2+3=7$
$\Delta =2^{\sigma +1}=256$
$M=i+k\,\Delta=263,519,775,1031,...$ avec $k>0$.

Les $M$ sont donc le premier terme des suites isomorphes à celle de 7 sur leurs 12 premiers termes. Il en existe une infinité. Si on avait pris 263 comme suite de référence, la valeur de $\Delta$ lui étant inférieure on aurait su qu'il existait un premier terme plus petit, en l'occurrence $263-256=7$.

Ceci explique pourquoi ce que tu appelles un cycle, c'est-à-dire $\Delta$, est toujours une puissance de 2. Tes résultats expérimentaux ne permettaient pas de l'expliquer. Je ne nie cependant pas leur utilité, mais seulement comme matière première, pas pour démontrer quoi que ce soit.

PMF

Plus sérieusement :

1) Pour tout impair i, il existe un i'<i et le segment (de chemin de Syracuse) $i,i'$ est séparé de n étapes disposées dans un certain ordre o.........o

2) Les segments de propriété identique sont organisés en cycles :
i+8, i' + 6 : 9_7, 17_13, 25_19, 33_25, 41_31, 49_37, 57_43, 65_49, 73_55, 81_61..........
i+16, i' +6 : 13_5, 29_11, 45_17, 61_23, 77_29, 93_35, 109_41, 125_47, 141_53, 157_59..........
i+32, i'+6 : 5_1, 37_7, 69_13, 101_19, 133_25, 165_31, 197_37, 229_43, 261_49, 293_55........
i+64, i'+ 6 : 53_5, 117_11, 181_17, 245_23, 309_29, 373_35, 437_41, 501_47, 565_53, 629_59..........
ect...

3) les cycles de i sont des puissances de 2 et ceux de i' des multiples de 6

4) pour n'importe quel segment $i,i'$ pris au hasard dans un chemin de Syracuse quelconque, on peut trouver un nouveau segment $i,i'$ de propriété identique en cherchant ce segment avec un i plus grand que le premier.
exemple : si on trouve le segment 67071_60433, on trouvera par calcul le segment 198143_178531 de propriété identique. Une astuce de calcul consiste d'ailleurs à incrémenter i par puissance de 2 jusqu'à trouver le nouveau segment de propriété identique

6) on peut comparer cette structure au crible d'Ératosthène. En effet il suffit d'ôter les cycles connus d'une liste d'impairs pour dégager ceux que l'on n'a pas encore. On les incorpore à la liste et on recommence. C'est strictement le principe du crible d'Ératosthène. Par analogie on peut alors nommer "segment premier" celui qui est au début d'un cycle.

7) l'ensemble des segments premiers est certes infini mais il est infiniment plus petit que l'ensemble de tous les segments. L'analogie avec les nombres premiers est de nouveau tentante puisque l'ensemble des premiers est infiniment plus petit que celui de tous les nombres composés.

PMF

wilfrid a écrit:

Je ne nie cependant pas leur utilité, mais seulement comme matière première, pas pour démontrer quoi que ce soit.

Et bien oui tout à fait mon cher Wilfrid. Moi mon truc c'est de faire des expériences avec cette conjecture et de produire des données. Voire de les commenter un petit peu et de livrer mes intuitions.

C'est intéressant parce que l'on peut mettre en valeur simplement des choses complexes comme cet isomorphisme que tu as défini.

raoul.S

PMF a écrit:

puisque l'ensemble des premiers est infiniment plus petit que celui de tous les nombres composés.

Ça veut dire quoi "infiniment plus petit" ?

PMF

ce qui d'ailleurs serait sympa d'expliquer c'est pourquoi le cycle de i est une puissance de 2 (Wilfrid a une explication) et en même temps celui du i' est un multiple de 6.

PMF

raoul s. a écrit:

Ça veut dire quoi "infiniment plus petit" ?

beaucoup, beaucoup, beaucoup, beaucoup, beaucoup, beaucoup, beaucoup, beaucoup, beaucoup, beaucoup, beaucoup, beaucoup, beaucoup, beaucoup, beaucoup, beaucoup, beaucoup, beaucoup, beaucoup, beaucoup, beaucoup, beaucoup, beaucoup, beaucoup, beaucoup, beaucoup, beaucoup, beaucoup, beaucoup, plus petit

J.L. Delahaye parle d'ailleurs dans son livre "Merveilleux nombres premiers'" de "petits" infinis et de "gros" infinis...

raoul.S

@PMF et pourtant je peux compter les nombres premiers, regarde :

- le premier nombre premier est 2
- le deuxième nombre premier est 3
- le troisième nombre premier est 5
... etc.

Donc il y a une correspondance biunivoque entre chaque nombre premier et sa position (qui est un nombre entier) dans la liste ci-dessus. Donc il y a autant de nombres premiers que de nombres entiers... c'est magique ! B-)-

Wilfrid

PMF a écrit:

si on trouve le segment 67071_60433, on trouvera par calcul le segment 198143_178531 de propriété identique. Une astuce de calcul consiste d'ailleurs à incrémenter i par puissance de 2 jusqu'à trouver le nouveau segment de propriété identique.

Je suppose que tu as écris ça avant d'avoir lu mon précédent post, parce que ce calcul ne requiert pas de procéder par essais successifs. La portion de suite allant de 67071 à 60433 comprend un nombre successif de termes pairs égal à $1,1,1,1,1,1,1,1,4,4$, dont la somme est 16. Comme $\Delta=2^{17}=131072$, les autres $i$ sont $67071+k \cdot131072=198143,329215,460287,...$

Mais la chose la plus importante est de savoir si tu vas enfin admettre que les résultats empiriques ne permettent pas d'aboutir à une quelconque conclusion. Tu pourrais encore en trouver d'autres, mais il est probable qu'on pourra les expliquer les uns après les autres sans pour autant parvenir au début du commencement d'une démonstration de la conjecture.

raoul.S

Wilfrid a écrit:

Mais la chose la plus importante est de savoir si tu vas enfin admettre que les résultats empiriques ne permettent pas d'aboutir à une quelconque conclusion.

L'idée originelle de PMF était de permettre aux matheux d'explorer de nouvelle voies qu'il aurait indiquées via ses résultats empiriques. Pour le moment il a fait choux blanc dans cette direction. Mais je pense qu'il a quand même pris du bon temps avec cette conjecture.

Ceci dit avec un peu de bol il pourrait tomber sur un cycle, ce qui démontrerait que la conjecture est fausse... mais bon il ne faut pas trop compter sur Excel pour ça.