Question sur probabilité 1 et 0
Bonjour,
J'ai vu cet extrait d'un livre où l'auteur disait que si un événement a une probabilité 0 cela ne veut pas dire qu'il ne se passera jamais. Par exemple si on considère l'expérience où prend un couplet (un point) aléatoirement dans un carré, vu qu'il n'y a pas de raison pour qu'on privilégie des points sur d'autres, alors il est raisonnable de considérer la probabilité uniforme (qui dans ce cas P(A) est la mesure de A sur la mesure du carré). Dans cette expérience la probabilité d'avoir un certain point M est nulle (puisque la mesure d'un singleton est nulle) mais pourtant le résultat de l'expérience sera toujours un singleton. Et de la même façon un événement de probabilité 1 ne veut pas dire qu'il se passera toujours.
Je voulais vous demander est-ce que dans ce cas ce n'est pas juste un problème de choix de loi de probabilité ? Je veux dire, n'est-il pas possible de trouver une loi de probabilité qui assignera une probabilité non nulle à ces éléments ?
Merci d'avance.
J'ai vu cet extrait d'un livre où l'auteur disait que si un événement a une probabilité 0 cela ne veut pas dire qu'il ne se passera jamais. Par exemple si on considère l'expérience où prend un couplet (un point) aléatoirement dans un carré, vu qu'il n'y a pas de raison pour qu'on privilégie des points sur d'autres, alors il est raisonnable de considérer la probabilité uniforme (qui dans ce cas P(A) est la mesure de A sur la mesure du carré). Dans cette expérience la probabilité d'avoir un certain point M est nulle (puisque la mesure d'un singleton est nulle) mais pourtant le résultat de l'expérience sera toujours un singleton. Et de la même façon un événement de probabilité 1 ne veut pas dire qu'il se passera toujours.
Je voulais vous demander est-ce que dans ce cas ce n'est pas juste un problème de choix de loi de probabilité ? Je veux dire, n'est-il pas possible de trouver une loi de probabilité qui assignera une probabilité non nulle à ces éléments ?
Merci d'avance.
Réponses
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Bonjour.
Supposons qu'on puisse attribuer une probabilité non nulle à tous les points du carré. Si on est dans le cas d'équiprobabilité ("il n'y a pas de raison pour qu'on privilégie des points sur d'autres"), ils ont tous la même probabilité $p$. Prenons une suite de points $M_i$ et regardons la probabilité de choisir au hasard un point $M$ qui est justement un des $n$ premiers points de la suite : $P(M \in E_n)$ où $E_n=\{M_1,M_2,...M_n\}$. Cette probabilité est $n\times p \le 1$ puisqu'une probabilité d'événement ne dépasse pas 1. On en déduit que $p\le \frac 1 n$.
Et comme c'est vrai pour tout n, on voit que $p=0$.
Cordialement. -
Il faut noter que ça répond bien à la question "si un événement a une probabilité 0 cela ne veut pas dire qu'il ne se passera jamais", mais on peut très bien avoir des événements de probabilité 0 qui ne peuvent se réaliser. Tout dépend des circonstances. On connaît évidemment l'événement "obtenir 0 en lançant un dé classique"; mais même en probabilités continues, lorsqu'il y a par exemple une densité nulle en une valeur, cette valeur n'est pas une issue possible.
En reprenant l'exemple du carré, si chaque sommet a une probabilité $\frac 1 4$ d'être choisi, le reste du carré a une probabilité nulle et on n'obtiendra jamais un autre point qu'un sommet.
Cordialement. -
Bonjour,
Merci beaucoup pour votre réponse. Vous avez raison, tout dépend des circonstances. C'est comme la probabilité de l'univers qui est toujours égale à 1 et l'événement "Etre un résultat de l'univers de l'expérience" se réalisera toujours.
Est-ce qu'il y a une démonstration mathématique du fait que si une densité de probabilité s'annule en un point, alors ce point n'est pas une issue possible s'il vous plaît ? Enfin, je le vois bien avec la densité de la loi uniforme. Mais j'ai toujours pensé que l'évaluation en un point de la fonction de densité "était une sorte de probabilité". En fait maintenant que j'y pense, pourquoi on ne pose pas la probabilité des singletons comme étant l'évaluation de la fonction en ce point ? Ça vérifierait toujours les axiomes d'une probabilité non ?
Je vois grâce à votre dernier exemple que la "possibilité" de réalisation ou non d'un événement va dépendre du choix de la loi de probabilité et de l'univers aussi (comme avec le 0 dans le lancer de dé).
Merci d'avance. -
Soit $(\Omega,P)$ un univers de probabilité. On suppose que les singletons sont mesurables / ont une probabilité. L'ensemble $\Omega'$ des points $x$ tels que $P\bigl(\{x\}\bigr)>0$ est au plus dénombrable. Si $\Omega$ n'est pas dénombrable, il contient des points de probabilité nulle.
En fait, il arrive même qu'il soit vide – par exemple, c'est le cas si $\Omega=[0,1]$ avec la probabilité uniforme (telle que $P\bigl([a,b]\bigr)=b-a$ pour tous $a\le b$). Pourtant, quand on tire un élément au hasard, on tombe bien sur lui...
Justification rapide de l'assertion : il y a :- un nombre fini $u_1$ de points $x$ de $\Omega$ tels que $P\bigl(\{x\}\bigr)\ge1$ (car $u_1\le P(\Omega)\le1$),
- un nombre fini $u_2$ de points $x$ de $\Omega$ tels que $P\bigl(\{x\}\bigr)\ge\frac12$ (car $\frac{u_2}{2}\le P(\Omega)\le1$),
- un nombre fini $u_3$ de points $x$ de $\Omega$ tels que $P\bigl(\{x\}\bigr)\ge\frac13$ (car $\frac{u_3}{3}\le P(\Omega)\le1$),
- etc.
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"Mais j'ai toujours pensé que l'évaluation en un point de la fonction de densité "était une sorte de probabilité"."
Ben non ! C'est comme si tu disais que la vitesse est une sorte de position (d'abscisse). La densité de probabilité mesure la probabilité d'être sur un petit voisinage du point (*), ce qui fait que si elle est nulle, on est sûr de ne pas être sur ce point, puisqu'on ne peut même pas être "proche du point".
En fait, il n'y a pas vraiment de preuve élémentaire du fait que cette valeur n'est pas une issue, il a fallu la théorie de la mesure pour que tout ça prenne du sens. Les probas continues s'intéressent en fait à la probabilité d'intervalles, ou de rectangles, ou ... pas aux probabilités d'arriver exactement à un point. D'ailleurs, que veut dire, si on prend un nombre au hasard entre 0 et 10, la phrase "ce nombre vaut $\pi$" ? Comment peut-on concrètement le vérifier ? En fait, pour arriver exactement à $\pi$, il va falloir choisir finement !
"En fait maintenant que j'y pense, pourquoi on ne pose pas la probabilité des singletons comme étant l'évaluation de la fonction en ce point ? Ça vérifierait toujours les axiomes d'une probabilité non ? " Non ! Vérifie, tu verras. Dans des situations aussi simples, commencer par se poser la question à soi-même est prioritaire, sous peine de raconter des bêtises.
Cordialement.
(*) mesure d'autant plus fiable que le voisinage est petit. -
Bonjour,
Donc si j'ai bien compris votre démonstration, si on "forçait" les singletons à être mesurables, l'ensemble qu'ils vont former est au plus dénombrable. Et donc si on se donnait un ensemble de points "privilégiés" du carré (privilégiés dans le sens où on essaie d'avoir ces points, par exemple dans un lancer de fléchettes) alors cet ensemble serait au plus dénombrable. C'est comme avec l'exemple qu'a donné gerard0 avec la probabilité 1/4 pour chaque sommet. On a privilégié les sommets et ils forment bien un ensemble fini.
J'aimerais vous demander si c'est bien ça. Enfin, qualitativement. Et j'aimerais vous demander aussi si vous avez utilisé le fait qu'une réunion dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable.
Veuillez m'excuser, je n'avais pas vu votre dernier message. Je me demande pourquoi j'ai pensé que la densité de probabilité "était comme une mesure de probabilité du point" alors qu'en mécanique quantique on a tellement dit que la densité de probabilité $|\psi (\vec{r},t)|^{2}\delta \tau $ représentait la probabilité de se trouver dans un volume $\delta \tau$ autour de $\vec{r}$. Donc si $X$ est une variable aléatoire réelle et $f$ sa fonction de densité il est plus correct de parler de $f(t)dt$.
Sinon pour les axiomes, je pense que c'est le troisième axiome qui serait mis en faute. Parce que si on pose $P(t)=f(t)$ alors pour la loi uniforme par exemple, si on prend $2(b-a)$ point d'un segment $[a,b]$ alors la probabilité de la réunion de ces points (qui est la somme des probabilités puisque c'est bien une suite d'ensemble) on trouve une probabilité de 2. En fait j'avais toujours dans la tête le troisième axiome, somme des probabilités inférieure ou égale à 1 alors que c'est faux en général. (J'ai plus travaillé dans ces conditions que dans des conditions où c'est faux).
Merci pour toute votre aide ! Ca m'a vraiment "ouvert" les yeux. -
Non, ce n'est pas :Donc si j'ai bien compris votre démonstration, si on "forçait" les singletons à être mesurables, l'ensemble qu'ils vont former est au plus dénombrable.Donc si j'ai bien compris votre démonstration, si on "forçait" les singletons à avoir une probabilité non-nulle, l'ensemble qu'ils vont former est au plus dénombrable.L'ensemble des singletons (mesurables) de probabilité non-nulle est au plus dénombrable.
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Merci pour votre réponse marsup. C'est vrai excusez-moi. Le fait d'être non mesurable est équivalent à ne pas admettre de probabilité. Je me suis mêlé les pinceaux.
Et sinon le "forcer" vient juste du fait que normalement dans un ensemble non dénombrable on se dit que les singletons sont "les mêmes". Comme dans un lancer de fléchette ou le choix d'un nombre aléatoirement dans un segment. Peut être il y a des applications où il nous faut exactement des singletons et que j'en suis pas conscient. Veuillez m'excuser ce vocabulaire non rigoureux ^^' -
Polvano,
la densité de probabilité n'est déjà pas comprise entre 0 et 1, ce qui bloque dès le départ le fait d'être une probabilité.
Attention, dans les probas continues, on a souvent des lois de probas avec un mélange de densité et d'atomes (singletons de proba non nulle). Donc les singletons n'ont aucune raison d'être "les mêmes".
Cordialement.
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