Monge et le tétraèdre

Yannguyen

Assis à l’ombre des pyramides,
Monge, de son prénom Gaspard, oublie l’Italie et la France. Il pense au tétraèdre. On ne sait pas ce que faisait alors Napoléon.

Il pense à un point qui portera désormais son nom : le symétrique du centre $O$ de la sphère circonscrite par rapport au centre de gravité $G$.
On l’appellera $\Omega$

Alors la somme des carrés des distances du point de Monge aux quatre sommets est égale au carré du diamètre de la sphère circonscrite.
À vous de jouer

Cordialement
Yann

Rescassol

Bonjour,

On peut considérer que la sphère circonscrite est la sphère unitaire et faire tourner Morley en quaternions:

clear all, clc

syms a b c d

aB=1/a;
bB=1/b;
cB=1/c;
dB=1/d;

om=(a+b+c+d)/2;
omB=(aB+bB+cB+dB)/2;

da2=(om-a)*(omB-aB);
db2=(om-b)*(omB-bB);
dc2=(om-c)*(omB-cB);
dd2=(om-d)*(omB-dB);

S=da2+db2+dc2+dd2;

S=Factor(S) % On trouve 4

Cordialement,

Rescassol

pldx1

Les surfaces de niveau de la somme des carrés des distances aux sommets sont des sphères centrées au centre de gravité.


Edit: les surfaces sont.

P.

Ou encore: si $A$ est une variable aleatoire de l'espace euclidien $E$ de moyenne $g$ alors pour tout $x\in E$ on a

$$\mathbb{E}(\|x-A\|^2)=\|x-g\|^2+\mathbb{E}(\|A\|^2)-\|g\|^2\ \ (*)$$ Application: $\dim E=3$ et $\Pr(A=a_i)=1/4$ ou $a_1,a_2,a_3,a_4$ sont les sommets du tetraedre. Sans perte de generalite on suppose $g=0.$
Si $c$ est le centre de la sphere circonscrite a $a_1,a_2,a_3,a_4$ et si $r$ est son rayon alors comme $r^2=\mathbb{E}(\|c-A\|^2),$ en faisant $x=c$ dans (*) on obtient $r^2=\|c^2\|+\mathbb{E}(\|A\|^2).$

Soit alors $-c=\Omega$ est le point de Monge: en faisant $x=\Omega$ dans (*) on obtient $\mathbb{E}(\Omega-A\|^2)=r^2.$ Avec ce formalisme on a la propriete du point de Monge en toutes dimensions.

Chaurien

Une note historique dans : Victor Thébault, Parmi les belles figures de la géométrie dans l'espace (Géométrie du Tétraèdre), Librairie Vuibert, 1955.
J'ai parlé de Victor Thébault ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1491518,1492970#msg-1492970
Bonne journée, bon départ aux juillettistes,.
Fr. Ch.
12/07/2020

P.

S'il te plait, Rescassol, peux tu detailler? Je n'ai rien compris a ton programme, ni a l'apparition de quaternions, ni a l'invocation a Morley.

pappus

Mon cher P.
Il faut déjà connaître la structure du corps des quaternions.
Dans le code de Rescassol, $a$, $b$, $c$, $d$ sont des quaternions purs de norme 1.
Si $q$ est un quaternion, $qB$ désigne le quaternion conjugué.
On sait que $q.qB=qB.q=\parallel q\parallel^2$.
Si $q$ est un quaternion non nul, la notation $\dfrac 1 q$ désigne l'inverse multiplicatif de $q$ dans le corps des quaternions.
Ce que je comprends dans le code de Rescassol, c'est qu'il a implémenté d'une façon ou d'une autre l'addition et la multiplication quaternioniques dans son logiciel.
Amicalement
[small]p[/small]appus

P.

OK, merci pappus. Tout de meme, les quaternions (purs) ne semblent pas apporter beaucoup par rapport a un calcul euclidien classique. Quant a Morley, pas vu ou cela intervient.

pappus

Mon cher P.
Il est quand même plus utile de faire soi-même les calculs à la main.
Ils ne sont pas très difficiles et c'est plus instructif!
Quant à Morley, Rescassol n'y fait allusion que pour souligner que la méthode suivie dans l'espace avec les quaternions ressemble furieusement à celle suivie dans le plan avec les nombres complexes!
Amicalement
[small]p[/small]appus

pappus

Bonsoir
Je pense que l'emploi des variables aléatoires est tout aussi inutile que celui des quaternions!
P. a raison de se plaindre.
On est dans un espace vectoriel euclidien (de dimension indéterminée) et son produit scalaire suffit pour faire les calculs demandés.
Dans cet espace, on prend $n$ vecteurs $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$ tels que:$a_1.a_1=a_2.a_2=\dots=a_n.a_n=r^2$
On définit $\omega=\dfrac 2n(a_1+a_2+\dots+a_n)$
On doit calculer:
$$(a_1-\omega).(a_1-\omega)+(a_2-\omega).(a_2-\omega)+\dots+(a_n-\omega).(a_n-\omega).\qquad$$
On développe en tenant compte de la bilinéarité du produit scalaire et on simplifie.
On trouve:
$$(a_1.a_1+a_2.a_2+\dots+a_n.a_n)-2\omega.(a_1+a_2+\dots+a_n)+n\omega.\omega=nr^2-(2\omega).(\dfrac n2\omega)+n\omega.\omega=nr^2$$
La dimension de l'espace et le rang du système de vecteurs $(a_1,a_2,\dots,a_n)$ ne jouent absolument aucun rôle!
Amicalement
[small]p[/small]appus

P.

Bah les variables aleatoires demystifient, et generalisent. Si, cher pappus, au lieu des quatre sommets du tetraedre, ou bien tes $n$ points sur une sphere euclidienne en dimension quelconque, tu mets une variable aleatoire $A$ (d'esperance $g$) concentree sur cette sphere de centre $c$, le symetrique $\Omega$ de $c$ par rapport a $g$ meritera aussi d'etre appele point de Monge de la loi de $A$.

pappus

Merci mon cher P.
Je ne vois pas très bien ce que ta remarque apporte à la théorie des probabilités.
Laissons donc Monge à la géométrie à laquelle il a tant contribué et si tu cherches des noms de grands mathématiciens français de renommée mondiale dans cette théorie des probabilités, ils ne manquent pas!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Voici un petit exercice mariant probabilités et géométrie.
J'espère seulement qu'il est bien formulé car cela fait très très très longtemps que je n'ai plus fait de probabilités!
On choisit au hasard (?) un point $P$ à l'intérieur d'un triangle $ABC$ du plan affine.
Quelle est la probabilité pour qu'il existe une métrique euclidienne telle que le point $P$ soit l'éternel point de Lemoine du triangle $ABC$, comme dirait Yann!

P.

O grand pappus, je faisais simplement observer que quand tu prends $a_1,\ldots,a_n$ sur une sphere $S$ euclidienne tout se passe comme si tu choisissais chacun d'eux avec une probabilite $1/n$ : pourquoi alors se priver d'une petite generalisation en prenant une variable aleatoire $A$ concentree sur $S?$


Quant a ton probleme, il peut susciter des commentaires du style paradoxe de Bertrand, car si je comprends bien il faudrait probabiliser par exemple l'ensemble des ellipses qui passent par ABC: il y a beaucoup de choix possibles et certains doivent etre plus naturels que d'autres. Pas sur que ceux ci existent tout de meme, vu que cet ensemble ne doit pas etre compact. Au passage, je ne sais meme pas parametrer l'ensemble des ellipses qui passent par les sommets d'un triangle equilateral...On reflechira.

Merci a Emile Lemoine, trompettiste de talent dedicataire d'un beau septuor de Saint Saens decouvert grace a ce fil.

P.

Reflexion faite, le probleme semblait de bien de choisir une probabilite raisonnable sur l'ensemble des metriques euclidiennes, qui est en fait parametre par $(a,b,c)$ tels que $a,c>0$ et $b^2<ac$, autant dire un cone de revolution. Comme le point de Lemoine ne va pas changer si $v=(a,b,c)$ est remplace par $\lambda v$ on peut se contenter de regarder la semelle du cone, pas compacte mais bornee.

Les calculs sont faciles si on part du triangle $A=(0,0)$, $B=(1,0)$ et $C=(0,1)$ plutot que d'un triangle equilateral. Les cercles euclidiens circonscrits sont les ellipses $ax(x-1)+2bxy+cy(y-1)=0$ les longueurs des cotes et le point de Lemoine $P$ sont
$$AB=a,\ AC=c,\ BC=a+c-2b, \ P=\frac{1}{a^2+c^2+(a+c-2b)^2}(a^2,c^2).$$ Et maintenant, si je comprends la question de pappus, on se donne une probabilite $\mu(dv)$ et un point $P$ de coordonnees $(p,q)$ avec $p,q,1-p-q>0$ et on demande la probabilite suivant $\mu$ de l'evenement
$$A=\{v;( p,q)=\frac{1}{a^2+c^2+(a+c-2b)^2}(a^2,c^2)\}.$$


Il est clair que $\mu(A)=0$ si $\mu$ est diffuse, et la question de pappus est bizarre. Ce qui est raisonnable est de determiner l'ensemble des $P$ tels que il existe $v$ tel que P soit point de Lemoine suivant la metrique $v.$ Je sais le faire et pourrais ecrire les details a moins que tout le monde s'en fiche.

pappus

Mon cher P.
J'ai envie de dire cela.
Le triangle $T$ est partagé en deux régions $T'$ et $T''$: la région $T'$ telle que pour tout point $M$ de $T'$, il existe au moins une métrique telle que $M$ soit un point de Lemoine et la région $T''$ telle que pour tout point $M$ de $T''$, il n'existe aucune métrique telle que $M$ soit un point de Lemoine.
Alors la probabilité cherchée est:
$$p=\dfrac{Aire(T')}{Aire(T)}.\qquad$$
Mais je ne suis pas sûr que mon raisonnement soit exact du point de vue du calcul des probabilités.
Amicalement
[small]p[/small]appus

P.

Ce n'est pas un raisonnement, c'est une definition.

pappus

Mon cher P.
Si je t'ai bien compris, je n'ai fait qu'appliquer la définition, ouf!
Dans ces conditions, je trouve:
$$p=\dfrac{\pi}{3\sqrt 3}.$$
Amicalement
[small]p[/small]appus

P.

D’après ce nombre, il ne peut que s'agir du cercle inscrit d'un triangle équilatéral. Mais comment montres-tu que c'est la bonne région pour le point de Lemoine ? Travaillant plutôt avec le triangle rectangle isocèle, ton cercle est remplacé par une ellipse inscrite qui touche chaque côté en son milieu, et je patauge pour trouver une équation paramétrique de celle-ci.

pappus

Mon cher P
Effectivement la région $T'$ est l'intérieur de l'ellipse tangente aux côtés du triangle en leurs milieux.
C'est l'ellipse de Steiner interne.
Encore faut-il le prouver!
C'est la première difficulté!
La seconde est de calculer le rapport $\dfrac{Aire(T')}{Aire(T)}.\qquad$
Amicalement
[small]p[/small]appus

Rescassol

Bonjour,

Le rapport est constant: $\dfrac{\pi\sqrt{3}}{9}$.

Cordialement,

Rescassol

P.

Je le crois volontiers. Mais quelle est la bonne raison pour que l’intérieur de l'ellipse de Steiner soit le lieu des points de Lemoine possibles ? J'ai un calcul très laid, et pappus a peut-être une solution élégante.

pappus

Mon cher P.
Ce n'est qu'une question de niveau de connaissance de la géométrie du triangle en coordonnées barycentriques.
Voir par exemple l'indispensable glossaire de Pierre
Dans un triangle dont les longueurs des côtés sont notées comme d'habitude $a$, $b$, $c$:
1° Quelles sont les coordonnées barycentriques du point de Lemoine?
2° Comment s'écrit la forme quadratique donnant la métrique euclidienne?
3° Conclure!
Amicalement
[small]p[/small]appus

P.

En resume, si $A,B,C$ est le triangle equilateral il s'agit de trouver tous les points $P=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}(a^2A+b^2B+c^2C)$ tels que $(a,b,c)$ soient les cotes d'un triangle ordinaire. On trouve effectivement le disque inscrit. L'habillage avec les metriques euclidiennes ne sert a rien pour ce calcul.

pappus

Bonjour P.
L'habillage avec les métriques euclidiennes ne sert à rien?
Je n'en suis pas si sûr!
Vérifier de temps en temps si une métrique est bien euclidienne ne peut faire de mal à personne!
Exemple:
Soit $(A_1, \dots, A_{n+1})$ un $n$-simplexe de l'espace affine réel (donc de dimension $n$).
On se donne une matrice carrée $M=(m_{ij})$ de taille $n+1$ à coefficients réels.
Quelle est la condition nécessaire et suffisante portant sur cette matrice $M$ pour qu'il existe une métrique euclidienne telle que pour tout couple $(i,j)$, on ait:
$$m_{ij}=\vert A_i-A_j\vert^2\qquad$$
Cela généralise le cas $n=2$ dont tu dis qu'il ne sert à rien!!
Amicalement
[small]p[/small]appus

P.

Reponse, si $J_{n+1}$ est la matrice carree d'ordre $n+1$ ne contenant que des 1 et si $H_{n+1}=I_{n+1}-{\frac{1}{n+1}}J_{n+1}$ alors $M$ definit une matrice de carres de distance d'un vrai tetraedre de l'espace euclidien de dimension $n$ si et seulement si $-H_{n+1}MH_{n+1} $ est semi definie positive de rang $n$. Pour $\Rightarrow $ $-\frac{1}{2}H_{n+1}MH_{n+1} $ est alors la matrice de Gram des $x_i-g$ avec $g=\frac{1}{n+1}(A_1+\cdots+A_{n+1}).$ Pour $\Leftarrow$ c'est un peu plus long. Y a-t-il un point de Lemoine dans la salle?

pappus

Merci P.
Je n'ai pas encore trop réfléchi à la condition que tu as obtenue mais en principe elle devrait équivaloir à la condition suivante:
Soit $q$ la forme quadratique associée à la matrice $M$, alors sa restriction à l'hyperplan d'équation:
$$x_1+x_2+\dots +x_{n+1}=0\qquad$$
est définie négative.
Consulte si tu le peux l'ouvrage suivant:
Matrices and graphs in Geometry de Miroslav Fiedler publié chez Cambridge, theorem 1.2.4 page 7
Quant aux points de Lemoine, je crois qu'on a des ennuis dès la dimension $3$ où il y en a deux.
D'après mes souvenirs, le premier point de Lemoine devrait être l'isogonal de l'isobarycentre.
Eh oui, on a encore une transformation isogonale dans le tétraèdre, appelée autrefois inversion tétraédrale.
Le second point de Lemoine devrait réaliser le minimum de la fonction: somme des carrés des distances d'un point aux faces.
Mais je ne suis sûr de rien car je ne suis pas un spécialiste!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Yannguyen

Bonjour

On appelle point d‘Eggnom d’un tétraèdre le point dont la somme des inverses des carrés des distances aux quatre sommets du tétraèdre est égale à l’inverse du carré du diamètre de la sphère circonscrite. Caractériser ce point.

Commencer par le cas du triangle.

Cordialement
Yann

P.

Manque-t-il une condition ? Ou ai je mal traduit ton énoncé ? Si la sphère circonscrite $S$ est la sphère unité de l'espace euclidien de dimension 3 et si on prend 4 points $x_i$ en position générale sur $S$, tu demandes LE point $y$ tel que $$
\sum_{i=1}^4\frac{1}{\|x_i-y\|^2}=\frac{1}{4}.
$$ L’unicité me pose problème car le cas limite ou tous les $x_i$ deviendraient égaux me donne que les $y$ possibles forment toute la sphère de centre $x_1$ et de rayon 4. Bizarre, cette explosion.

pappus

Bonjour à tous
Je me demande si ce point ne correspondrait pas par hasard à un point critique de cette fonction?
Amicalement
[small]p[/small]appus

P.

Attendons que Yannguyen repasse, car l'exegese est difficile, wikipedia ne connait pas Eggnom (un personnage de Tolkien?)

pappus

Mon cher P.
C'est une invention de Yann, Eggnom = Monge à l'envers (avec un g en plus).
Amicalement
[small]p[/small]appus

P.

Bon bon. Mais la definition marche toujours sur la tete, justement.