L’éternel point de Lemoine

Yannguyen

Bonjour

Le point de Lemoine est le point de concours des symédianes
Tout le monde le sait.
Mais c’est aussi le seul point qui soit le centre de gravité de son triangle podaire. C’est un peu moins connu.

Auriez-vous de cela une démonstration synthétique ou analytique ?

Yann

Rescassol

Bonjour,

En barycentriques:

% Yannguyen - 11/07/2020 - L’éternel point de Lemoine

clc, clear all, close all

syms a b c real  % Les longueurs des côtés

A=[1; 0; 0]; % Sommets du triangle ABC
B=[0; 1; 0];
C=[0; 0; 1];

BC=[1, 0, 0]; % Côtés du triangle ABC
CA=[0, 1, 0];
AB=[0, 0, 1];

%-----------------------------------------------------------------------

X6=[a^2; b^2; c^2]; % Point de Lemoine

A1 = ProjectionOrthogonaleBary(X6,BC,a,b,c); % Projections orthogonales 
B1 = ProjectionOrthogonaleBary(X6,CA,a,b,c); % de X6 sur les côtés du
C1 = ProjectionOrthogonaleBary(X6,AB,a,b,c); % triangle ABC

A1=FactorT(A1)

G6=Barycentre([A1,B1,C1],[1,1,1]);

G6=FactorT(G6)

Ce code répond:

A1 =
 
                        0
 -a^2*(a^2 + 3*b^2 - c^2)
 -a^2*(a^2 - b^2 + 3*c^2)
 
 
G6 =
 
 a^2/(a^2 + b^2 + c^2)
 b^2/(a^2 + b^2 + c^2)
 c^2/(a^2 + b^2 + c^2)

La réciproque un peu plus tard.

Cordialement,

Rescassol

pappus

Mon cher Yann
Heureux de ton retour parmi nous!
As-tu regardé dans le Sortais?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Rescassol

Bonjour,

La réciproque:

syms u v w
P=[u; v; w]; % Un point quelconque
S=u+v+w;

A2 = ProjectionOrthogonaleBary(P,BC,a,b,c); % Projections orthogonales 
B2 = ProjectionOrthogonaleBary(P,CA,a,b,c); % de P sur les côtés du
C2 = ProjectionOrthogonaleBary(P,AB,a,b,c); % triangle ABC

A2=FactorT(A2)

GG6=Barycentre([A2,B2,C2],[1,1,1]);

Nul=FactorT(GG6/sum(GG6)-P/S)

% Ce qui donne Equ=Eqv=Eqw=0 avec:

Equ = (-2*b^2*c^2)*u + (a^2*c^2 + b^2*c^2 - c^4)*v + (a^2*b^2 - b^4 + b^2*c^2)*w;
Eqv = (a^2*c^2 + b^2*c^2 - c^4)*u + (-2*a^2*c^2)*v + (- a^4 + a^2*b^2 + a^2*c^2)*w;
Eqw = (a^2*b^2 - b^4 + b^2*c^2)*u + (- a^4 + a^2*b^2 + a^2*c^2)*v + (-2*a^2*b^2)*w;
 
% On élimine w entre Equ=0 et Eqv=0:

Ruv=Resultant(coeffs(Equ,w,'All'),coeffs(Eqv,w,'All'));
Ruv=coeffs(Ruv,[u v]);
Cuv=Factor(Ruv(1)/Ruv(2))

% On trouve Cuv=-a^2/b^2 (et permutation circulaire) d'où le résultat.

Cordialement,

Rescassol

john_john

Bonjour à tous ;

voici comment je fais pour le sens direct : je suppose connu que $K$ est le seul point en lequel est atteint le minimum de la somme $M\mapsto S(M)$ des carrés des distances aux côtés de $ABC$ et que le centre de gravité d'un triangle atteint, lui, le minimum de la somme des carrés des distances aux sommets d'icelui.

Je désigne par $K_A,\,K_B$ et $K_C$ les projections orthogonales respectives de $K$ sur les trois côtés du triangle $ABC$ : alors, le point de Lemoine $K$ est l'isobarycentre du triangle podaire $K_AK_BK_C$. Pour établir cela, j'introduis une application $\Psi$ telle que $\Psi(M)\geqslant S(M)$ en tout point et telle que $\Psi(K)=S(K)$ puis mettrai à profit le fait que $\Psi$ atteint donc également en $K$ son minimum.

Pour ce faire, je désigne par $\Psi$ l'application $M\mapsto (MK_A)^2+(MK_B)^2+(MK_C)^2$ ; elle est minimale lorsque $M$ est l'isobarycentre $K'$ du triangle $K_AK_BK_C$ et, de ce fait, nous avons $\Psi(K')\leqslant\Psi(K)$. Or, les distances de $K'$ aux côtés du triangle $ABC$ sont respectivement inférieures aux longueurs $K'K_A,\,K'K_B$ et $K'K_C$. Ainsi, $S(K')\leqslant\Psi(K')\leqslant\Psi(K)=S(K)$ ; puisque le minimum de $S$ est atteint en le seul point $K$, nous concluons de tout cela que $K=K'$.

Bien cordialement, j__j

Yannguyen

Bonjour très cher Pappus

Oui je ne viens souvent sur le forum géométrie car d’autres occupations me préoccupent en ces derniers temps.

Oui bien sûr je connais le Sortais et c’est bien fait dedans.
Amitiés
Yann

Yannguyen

Merci Rescassol

Merci John

Est-ce dans ton livre bleu !?
J’ai regardé
Il y des choses sur Lemoine mais Pas cela

Peut-être dans ton prochain Nano !?

Cordialement
Yann

pldx1

Bonjour.

Le lieu des points $M$ qui sont à une distance nulle du centre de gravité de leur triangle podaire est la conique: \[
\left[ \begin {array}{ccc} 2\,{b}^{2}{c}^{2}&-{a}^{2}{c}^{2}-{b}^{2}{
c}^{2}+{c}^{4}&-{a}^{2}{b}^{2}+{b}^{4}-{b}^{2}{c}^{2}
\\ -{a}^{2}{c}^{2}-{b}^{2}{c}^{2}+{c}^{4}&2\,{a}^{2}
{c}^{2}&{a}^{4}-{a}^{2}{b}^{2}-{a}^{2}{c}^{2}\\ -{a}
^{2}{b}^{2}+{b}^{4}-{b}^{2}{c}^{2}&{a}^{4}-{a}^{2}{b}^{2}-{a}^{2}{c}^{
2}&2\,{a}^{2}{b}^{2}\end {array} \right]
\] La conclusion suit.

Cordialement, Pierre.

Rescassol

Bonjour,

Oui, Pierre, ta matrice contient les opposés des coefficients de mes équations $Equ=Eqv=Eqw=0$.

Cordialement,

Rescassol

john_john

Yann : non, la propriété du centre de gravité n'est pas dans le livre bleu mais tu me donnes une idée. Puisque la fonction $S$ est quadratique, je vais rajouter cela dans mon prochain livre chez M.Nano.

Il me reste la réciproque, mais je vois cela comme il suit : si $M$ est l'isobarycentre de son triangle podaire, ce doit être un point critique de $S$ ; or, je subodore que $S$ n'en n'a pas trente-six.

pappus

Bonjour john_john
Tu dois avoir un peu plus de temps de libre en ce moment. Profites en bien!
Voici une autre preuve basée sur la théorie de l'orthologie
Soit $M'$ un point (à peu près) quelconque du plan du triangle $ABC$ et $A'B'C'$ son triangle podaire.
Les triangles $ABC$ et $A'B'C'$ sont en orthologie puisque les perpendiculaires issues de $A'$ à $BC$, de $B'$ à $CA$ et de $C'$ à $AB$ sont concourantes en $M'$.
Il en résulte que les perpendiculaires issues de $A$ à $B'C'$, de $B$ à $C'A'$, de $C$ à $A'B'$ concourent en un point $M$ (appelé point isogonal de $M'$.).
Les points $M$ et $M'$ sont appelés centres d'orthologie des deux triangles $ABC$ et $A'B'C'$.
Et le théorème fondamental de l'orthologie nous dit que si $f$ est l'application affine $ABC\mapsto A'B'C'$, alors $f(M)=M'$.
Donc si $M'$ est le barycentre de son triangle podaire $A'B'C'$, alors son point isogonal $M$ est l'isobarycentre de $ABC$ c'est à dire son centre de gravité $G$.
Par suite $M'$ est le point de Lemoine.
Amitiés
[small]p[/small]appus

YvetteP

Bonjour Mr Pappus,
une référence pour l'orthologie? dans le Sortais?
Apparemment très belle preuve. Bon dimanche.
Cdt

pappus

Ma chère YvetteP
Je redonne pour la énième fois cet article!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Yannguyen

Bonjour Yvette

Je conseille aussi le livre des quatre mousquetaires

https://www.amazon.fr/Formes-quadratiques-géométrie-introduction-plus/dp/2916352643

Je ne sais même pas si pappus l’a jamais reçu !

Cordialement
Yann

Jean-Louis Ayme

Bonjour Yann,

j'ai une preuve synthétique...que je mettrai en ligne next...

Sincèrement
Jean-Louis

pappus

Mon cher Jean-Louis
Tu ne trouves pas que ma méthode est assez synthétique?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Jean-Louis Ayme

Bonjour,

http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/01. Problemes sur le point de Lemoine.pdf
p. 9-10

Sincèrement
Jean-Louis