Densité asymptotique

dans Arithmétique
Bonjour à tous
Je bloque sur un calcul de densité asymptotique. Est-ce que quelqu'un peut m'aider ? Merci d'avance.
Il s'agit de :
pour $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls donnés, on considère $N_{a,b}=\{ a\cdot i + b\cdot j \mid (i, j)\in \mathbb{N}^{2} \}$. Quelle est la densité asymptotique $d(N_{a,b})$ ?
Cordialement.
Je bloque sur un calcul de densité asymptotique. Est-ce que quelqu'un peut m'aider ? Merci d'avance.
Il s'agit de :
pour $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls donnés, on considère $N_{a,b}=\{ a\cdot i + b\cdot j \mid (i, j)\in \mathbb{N}^{2} \}$. Quelle est la densité asymptotique $d(N_{a,b})$ ?
Cordialement.
Réponses
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Comment calcules-tu ta densité ? Selon ce que tu prends comme définition ça peut changer le résultat.
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Pour préciser ce que dit Poirot, rappelons que plusieurs densités ont été définies. Par exemple :
1. La densité naturelle ;
2. La densité logarithmique ;
3. La densité analytique ;
4. La densité de Schnirelmann ;
5. La densité multiplicative de Davenport & Erdös ;
6. La densité divisorielle de Hall ;
etc. -
D'accord je comprends maintenant. En effet, c'est de la densité naturelle que je parle.
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C'est ce qui me semblait car, parfois, le terme de "densité asymptotique" est pris comme synonyme de "densité naturelle".
Quoi qu'il en soit, si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, je trouve $d(N_{a,b}) = (ab)^{-1}$. À vérifier, toutefois. -
Dans la densité naturelle $d(N_{a,b})=(ab)^{-1}$, si je fixe la valeur de $b=1$ par exemple, la vérification ne marche que si $a$ aussi est égal à $1$. En effet, si $N_{a,1}=\{a\cdot i +j : (i,j)\in \mathbb{N}\}$, alors $d(N_{a,1})=1$, à cause du $j$ qui parcourt $N$, pour quelle que soit la valeur de $a$.
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En complément de ma question ci-dessus, j'ai remarqué que pour $a$ et $b$ premiers entre eux, si on pose $d(N_{a,b})=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{a\cdot b}$, cela semble marcher, mais il faut le démontrer.
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Quand $(a,b)=1$, l'ensemble $N_{a,b}$ a un complémentaire fini, il a donc pour densité naturelle $1$.
C'est le problème des piéces de monnaie (Problème de Frobenius)
Dans le cas général, je pense qu'on peut conclure que le complémentaire de $N_{a,b}$ a pour densité $\frac{1}{(a,b)}$, et donc que $N_{a,b}$ a pour densité $1-\frac{1}{(a,b)}$.Après je bloque. -
Mince, j'avais oublié ce fil...
Voilà mes dernières réflexions sur ce sujet, qui rejoignent celles de i.Zitoussi : le théorème de Sylvester implique que, pour $1 \leqslant a < b$ premiers entre eux, pour tout $n \geqslant 1$ entier, l'équation $ax+by = n$ n'a aucune solution si et seulement si $n \leqslant ab-a-b$, d'où le résultat.
En revanche, je n'ai pas cherché (ni trouvé, donc) le cas $(a,b) > 1$ -
Remarque: $ab-a-b$ est l'expression du plus grand entier non représentable. A moins que $a=1$, il existe toujours des entiers plus petits qui le sont (exemple: $a$).Après je bloque.
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Oui ! Lire : si $n >ab-(a+b)$, $n$ est représentable comme combinaison linéaire de $a$ et $b$.
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Eh oui, pour ne pas reprendre ndt, il fallait y penser ! Les réponses fournies par i.zitoussi et complétées par ndt vont au dela de mon attente et fournissent même les résultats pour des cas plus généraux.
Merci et excellente journée à vous tous.
Cordialement.
JRManda
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