Série de fonctions et convergence uniforme

chanig

Je fais l'exercice 9.5 p 183 de J.Freslon.

Je ne comprends pas pourquoi la série S(x)/x ne converge pas uniformément sur aucun intervalle dont 0 est une extrémité avec S(x) la série de terme général x/(n *(1 + n x²))

En effet, c'est pour prouver que S(x)/x ne converge pas quand x tend vers 0 et donc comme il n'y a pas convergence uniforme, on ne peut utiliser l'inversion des limites.
Merci.

gebrane

Tu peux démontrer directement que $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{S(x)}{x}=+\infty$ donc ne converge pas.
$$\displaystyle \forall x\in \R^*_+,\quad \frac{S(x)}{x}=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n+n^2 x^2}\geq \sum_{n=1}^N \frac{1}{n+n^2 x^2}$$. A la limite en 0,
$\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{S(x)}{x} \geq \sum_{n=1}^N \frac{1}{n}=+\infty$ edit $ \sum_{n=1}^N \frac{1}{n}\to +\infty$

chanig

Merci. J'avais compris comment démontrer que cela tend vers l'infini .
Mais dans le bouquin, il signale que la convergence n'est pas uniforme.

J'ai essayé de minorer la suite des restes, Cauchy uniforme et je n'y arrive pas.

Mais ta démo prouverait elle la non continuité de S(x)/x en 0 et donc a non convergence uniforme?Dans ce cas, cela marcherait mais pour le bouquin (toujours bien détaillé) cela leur parait évident.

Poirot

Par définition on veut montrer que $$\sup_{x \in ]0, a]} \sum_{n=N+1}^{+\infty} \frac{1}{n+n^2x^2}$$ ne tend pas vers $0$ quand $N$ tend vers $+\infty$, mais il est évident que le sup ci-dessus vaut $+\infty$ quel que soit $N$.

chanig

Ce n'est pas évident pour moi que ce sup vaut plus l'infini :-(

Calli

Bonjour,
C'est évident pour Poirot, mais ça n'est à mon avis pas évident à L1/L2.

Si $x=0$ était autorisé, tu aurais $\displaystyle \sup_{x \in [0, a]} \sum_{n=N+1}^{+\infty} \frac{1}{n+n^2x^2}\geqslant \sum_{n=N+1}^{+\infty} \frac{1}{n}=+\infty$. Ici, on regarde $]0,a]$ et pas $[0,a]$ mais la divergence va quand même être due à l’apparition de la série harmonique au voisinage de 0 (dit en termes informels).
Soit $A>0$. Montrons que $\displaystyle \sup_{x \in ]0, a]} \sum_{n=N+1}^{+\infty} \frac{1}{n+n^2x^2}\geqslant A$. Il existe $M\in\Bbb N$ tel que $ \displaystyle\sum_{n=N+1}^M \frac{1}{n}>A$. Puis il faut trouver $x$ proche de $0$ tel que $\displaystyle\sum_{n=N+1}^{+\infty} \frac{1}{n+n^2x^2} \geqslant \frac12 \sum_{n=N+1}^M \frac{1}{n}$ pour conclure.

Edit : On peut aussi adapter ce qu'a fait gebrane ici ( http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2047894,2047924#msg-2047924 ) en faisant commencer la somme de droite à $N+1$ et en l'arrêtant à un certain $M$. C'est peut-être plus clair dit comme ça.

Poirot

Je n'aurais peut-être pas dû dire que c'était évident, mais ça ne demande essentiellement que des manipulations élémentaires.

chanig

Merci Calli, c'est un peu plus clair.
Mais d'où vient le 1/2 ?

Poirot

Tu peux remplacer $1/2$ par n'importe quel $c \in ]0, 1[$, ce qui compte c'est que ce soit $> 0$ et il est impossible d'obtenir $1$.

troisqua

Tu peux remplacer $1/2$ par n'importe quel réel de $]0;1[$. Il faudra ensuite montrer l'existence d'un $x$ (suffisamment proche de $0$) pour obtenir l'inégalité souhaitée.

Philippe Malot

@gebrane :$\displaystyle\sum_{n=1}^N\frac 1n=+\infty$ !

chanig

@Philippe Malot
Ca m'avait bien surprise mais il avait oublié de faire tendre N .

gebrane

@PM
C'était une coquille, à remplacer = par $\to $

side

supp

chanig

Merci Side.
Je ne connaissais pas ce théorème et je n'aime pas Cauchy .
Je prépare l'agreg interne et je bossais la leçon d'exercices sur les fonctions définies par une série.

side

supp

troisqua

J'espère ne pas dire trop de bêtises, ces connaissances sont un peu éloignées pour moi. Soit $\left(x_{m}\right)$ une suite quelconque de réels strictement positifs qui décroît vers 0. Si on considère la mesure de dénombrement $\mu$ sur $\mathbb{N}^{*}$ ainsi que les applications $f_{m}$ définies sur $\mathbb{N}^*$ par $f_{m}:n\mapsto\frac{1}{n+\left(n x_{m}\right)^{2}}$ alors ces applications sont mesurables positives et croissent simplement vers l'application définie sur $\mathbb{N}^{*}$ par $f:n\mapsto\frac{1}{n}$. Par convergence monotone on a:
\[
\lim_{m\to+\infty}\int f_{m}d\mu=\int fd\mu
\]
ce qui donne exactement $\lim_{m\to+\infty}\sum_{n>0}\frac{1}{n+\left(nx_{m}\right)^{2}}=\sum_{n>0}\frac{1}{n}=+\infty$ et qui montre que \[
\lim_{x\to0^{+}}\frac{S\left(x\right)}{x}=+\infty
\]
Quelque chose m'échappe ?

Calli

Ça marche, troisqua. Personnellement c'est ce raisonnement par convergence dominée monotone qui m'est d'abord venu pour justifier $\displaystyle\sup_{x \in ]0, a]} \sum_{n=N+1}^{+\infty} \frac{1}{n+n^2x^2} =+\infty$. Mais j'ai préféré donner un argument plus élémentaire, partant du principe que chanig est peut-être en L1/L2.

troisqua

Tu veux dire par convergence monotone ? Au fait c'est au programme de l'agrégation interne ?

Calli

Oui, je voulais dire monotone. C'est un lapsus.
Je ne connais pas le programme de l'agrégation interne.

gebrane

Au lieu de $S(x)/x$, il semble intéressant d’étudier la cu convergence uniforme de de la série$$
x\mapsto S(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x}{n+n^2 x^2}.
$$ Sauf erreur sur le calcul du sup, la convergence est uniforme sur $\R$.

troisqua

Convergence normale même.

chanig

Dans l'exo du livre et qui est assez "classique" apparemment,, on étudiait d'abord la somme S(x) .