Agrég : écrit de mathématiques générales 2020

Le sujet d'aujourd'hui.
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Réponses

  • J'ai bien fait de pas y aller, j'aurais eu 1/20.

    À part l'exercice 1, la question 1 de l'exercice 3, et peut-être la 1 du problème en galérant bien avec la matrice $M_k$, le reste je n'aurais rien trouvé.
    D'habitude les débuts de problème sont abordables, là ::o

    Puis la police n'est pas lisible, les sommes en mini et les produits, certaines formules écrites en tout petit, les notations des vecteurs avec les étoiles et le symbole du cardinal, ils pourraient faire un effort. Ça fait mal aux yeux.
    Les sujets de concours de prépa scientifique sont bien plus lisibles.

    Franchement leur notations ça ne donne pas envie de lire le sujet et encore moins de le faire.
  • C'est une question d'habitude. J'ai trouvé la présentation claire. Un peu trop, je voyais mon incompétence tout au fond...
  • Le format du sujet était nouveau. Je ne sais pas s'il était prévu ainsi ou si c'est dû a cette session sans oraux..?
  • Bonjour,

    Je trouve aussi la présentation très claire.
    Et effectivement, le premier exercice peut se faire de tête, c'est peut-être pour mettre en confiance...

    Cordialement,

    Rescassol
  • Romanesco : J'ai souvenir qu'il y avait déjà des questions préliminaires/exercices dans certains sujets ces dernières années, même si c'était moins long qu'ici.
  • Ah ok je pensais que c'était toujours un problème en plusieurs parties comme à l'interne.
  • OShine, achète-toi des lunettes, ça change la vie (ce n’est pas de l’humour).
    L’exo 1 est peut-être là pour mettre en confiance, ou pour voir si les candidats ont les pieds sur terre ? Je ne suis pas allé beaucoup plus loin, après six mois sans faire de maths, mais bon...
    En tout cas, les conditions de composition imposées par le protocole sanitaire étaient excellentes !!! Des tables, petites, certes, mais solides et non branlantes car posées sur une moquette ! Une moquette qui assourdit les bruits de pas ! Une luminosité qui permet de lire sa copie ! Pas de voisin derrière qui s’essuie les pieds involontairement sur votre manteau ! Aucun candidat pressé d’aller aux toilettes qui envoie voler votre trousse en zigzagant parmi les sacs ! Plus d’odeur de fromage de chèvre ! Et surtout, loin de moi la vue de tous ces en-cas industriels dont se repaissent les étudiants : banga orange, coca qui fait pschitt, barres de sucre aux céréales aromatisées au goût chocolat, abricots aux sulfure d’hydrogène pour les meilleurs !
    Bref, des conditions exceptionnelles, des conditions normales, quoi, qui je l’espère deviendront la norme !

  • Moi, je dis stop à la coca_qui_fait_pschitt-ophobie ....
    #Black_drink_matter
  • Sato: tu as eu de la chance pour les conditions. Nous on avait de grandes tables (ce n'est pas une boutade), des sièges qui font mal aux fesses et des avions militaires à proximité toutes les heures.
  • Sato a écrit:
    [...] tous ces en-cas industriels dont se repaissent les étudiants : banga orange, coca qui fait pschitt, barres de sucre aux céréales aromatisées au goût chocolat, abricots aux sulfure d’hydrogène pour les meilleurs !

    C'est mon unique regret d'avoir eu l'interne. C'était mon petit plaisir totalement régressif d'aller la veille m'acheter des barres Mars, Lion...(je n'en ai pas mangé une seule depuis 8 ans...) et s'hydrater à l'Orangina pour le premier écrit et 7up pour le deuxième. Hum que c'était bon. Et puis revoir un ou deux copains de fac. Se raconter, se voir vieillir, que deviens-tu ?

    C'était génial !
    La vie est injuste surtout pour ceux qui partent avant les cheveux blancs.
  • zeitnot a écrit:
    C'était mon petit plaisir totalement régressif d'aller la veille m'acheter des barres Mars, Lion...(je n'en ai pas mangé une seule depuis 8 ans...) et s'hydrater à l'Orangina pour le premier écrit et 7up pour le deuxième.

    Du placement de produit, comme dans "Poubelle la vie" ???
    Liberté, égalité, choucroute.
  • @zeitnot: pour retrouver des vieux (ou des nouveaux) copains, il y a aussi

    - l'IREM, avec des animateurs du secondaire et du supérieur.

    - les régionales de l'APMEP

    - les demi-finales régionales du concours de la FFJM (je suis assez nul, mais j'y vais chaque année avec ma fille, qui, elle, se débrouille pas mal du tout).

    La vie ne s'arrête pas avec l'agreg !
  • Pour celles et ceux que ça intéresse, le sujet "spécial docteur" est ici.
  • Avec la fatigue, je n'ai pas compris que l'exercice 1 était à faire avant la partie 1, l'ex 2 ... et je ne suis ps le seul.
    j'étais crevé et rouillé, du coup, j'ai galéré sur la conclusion de l'ex 1, j'y ai passé une heure avant de comprendre.
    Ex2, Ex3, pfuuuu, pas simple
    ex 4 ?????
    Quand je suis arrivé sur la partie 1, au bout de 3h et demie, j'ai enfin compris mon erreur.
  • Idem,
    je n'avais pas remarqué la liaison
    par contre sur la partie 2 dont j'ai juste repondu le a) avec Bezout et ensuite sur la matrice avec les coeffs sans t je ne vois pas
    comment ecrire ce qui est indiqué en bas de page ?? erreur de notation
    Perdu du temps sur les classiques mat à diagonale dominante , Gram-Schmidt , ineg Hadamart
    L'exo 4 horrible , cela se fait à la main comme pgcd ( X^^m -1, X^^n -1) = X^^(pgcd(m,n) -1
    exo ds le Gourdon...
    Bon courage pour demain !!
    Bruno
  • Ronan, zut, je n’ai pas compris cela non plus. Tu es sûr que c’est ce qu’il fallait comprendre ?

  • oui, j'ai, du coup relu la consigne.
    Quand tu passes de l'ex 4 à la partie 1, ton cerveau redevient irrigué.
  • J’ai relu et j’ai un doute. En priorité, c’est en priorité, non ?

    Cette impression te vient de ce que cet exercice 4 nous a paru compliqué. Mais il y avait de nombreuses questions avant. Et les questions de l'agreg sont notoirement difficiles, demande à OShine ce qu'il en pense !

  • L'exercice 4 je ne peux pas juger je n'ai jamais étudié Z/pZ.
    Par contre je trouve le 2 dur alors que c'est le programme de prepa.
    Le 3 a l'air galère.
    Le problème a l'air d'un niveau d'une autre galaxie.
  • Bonsoir,
    OShine a écrit:
    Le problème a l'air d'un niveau d'une autre galaxie.
    D'une autre galaxie que toi, c'est normal, tu n'es pas au niveau de l'agrégation.
    Retourne bosser ton CAPES.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Rescassol pas de souci.
    Mon plus gros objectif est l'agrégation interne ayant déjà presque 4 ans d'expérience en tant que prof.

    L'agrégation externe je regarde par curiosité mais je ne la passerai jamais. Ça a l'air bien trop dur pour moi.

    Mais la matrice $M_k$ c'est quoi cette définition horrible à manipuler ? Comment faire un produit matriciel alors que $k$ varie en plus des $i$ et $j$ ? Perso je ne comprends pas la définition de cette matrice. Si $i \notin \{k,k+1\}$ les coefficients sont égaux à $\delta_{ij}$ ou nuls ?

    Sato pourquoi s'infliger une telle épreuve si c'est pour réussir que l'exercice 1 que même moi j'arrive à faire malgré mon niveau médiocre de candidat au capes ?
  • J ai fait les 3 premiers exercices à peu près complets, l ex 4 partiellement. Tout cela en 6h, j aimerais savoir si beaucoup de personnes ont fait les parties du problème avec les exerxices.
    Merci.
  • Je suppose que les exercices faciles du début des sujets d’agreg ne sont pas là pour que les candidats disent qu’ils savent les faire (sans les rédiger) mais pour que les correcteurs puissent évaluer si les candidats savent rédiger les réponses à ces exercices. Pour l’exercice 1, de niveau bac + 1 ou + 2, il ne s’agirait donc pas de le torcher (désolé...) mais d’essayer de le rédiger comme l’aurait fait un prof de prépa pour ses élèves et avec concision. Enfin, c’est ce que je suppose.

  • J'ai réussi à faire l'exo 1 d'agreg externe (je n'ai pas passé le concours mais je l'ai regardé hier soir)alors que j'ai galéré sur chaque question des sujets d'interne.
  • Est-ce que quelqu'un sait combien de points environ le jury attribue pour l'ensemble des questions d'une épreuve de l'externe?
    Autrement dit, quelle portion des questions de l'épreuve suffit-il de rédiger parfaitement pour avoir 20?

    J'ai eu l'impression que ce n'est pas un barème classique avec un nombre défini de points par question, mais que l'on attribue certains points à des "compétences" précises. Par exemple: justifer l'existence d'une intégrale, utiliser tel théorème, etc etc.
  • Chanig as tu réussi l'exercice 3 ?
    Il ressemble a du Gram Shhmidt.

    Abally ça semble léger pour 6 heures

    Sato l'exercice 2 est évident ? Perso je ne trouve aucune question de cette exercice.

    Le 3 encore j'arrive à écrire des trucs avec les vect, c'est ultra chiant avec les notations et lourd en calcul mais je pense arriver à faire la moitié.
  • Oshine si tu arrives les questions 1 et 2 de la partie 4 je te vénère

    Elles sont hyper sympas jtrouve tu vas détester
  • Ça a l'air super galère juste la définition de $[ ]$ j'ai essayé pour l'instant je ne trouve rien.

    Est-ce une question faisable au moins que je ne perde pas du temps inutilement ?
  • Elles sont faisables, pas forcément faciles mais jte vénère si tu y arrives!
  • Ok je vais essayer alors on sait jamais.
  • Chelito a écrit:
    Est-ce que quelqu'un sait combien de points environ le jury attribue pour l'ensemble des questions d'une épreuve de l'externe?
    Autrement dit, quelle portion des questions de l'épreuve suffit-il de rédiger parfaitement pour avoir 20?

    On ne peut pas prévoir à l'avance, mais on peut avoir une idée en regardant les rapports des années précédentes. Par exemple le rapport 2019
    https://agreg.org/data/uploads/rapports/rapport2019.pdf

    montre que la meilleure copie en MG a eu une note entre 18 et 19 mais "les meilleures copies ont avancé dans la partie 3, sans toutefois traiter significativement les parties 4 ou 5."
  • Je n'ai pas été plus loin que l'exo 1 mais je regarderai ça les prochains jours.
  • Perso j'ai trouvé ce sujet très bizarre... Et j'vais l'impression que ça tournait toujours autour des mêmes trucs
    L'exo 1 était basique pour vérifier les bases. Sa présence témoigne à mon avis d'un manque de niveau des candidats. Je suis sûr que beaucoup ont hésité voire échoué à cet exercice.
    L'exo 2... la 1) est classique de colle de prépa, je le pose en colle tous les ans. Pour la question 4, j'ai utilisé les coefficients symétriques d'un polynôme et il me manque un facteur 2 à la fin du coup j'ai pensé avoir fait une erreur
    L'exo 3 j'ai halluciné avec ces notations # : ils avaient bu avant de le rédiger ou quoi ? Je crois me souvenir avoir fait une récurrence au 1a) et j'ai pensé que j'avais sans doute eu tort.
    L'exo 4 se fait à la main oui mais pour la 2) j'ai présenté une sorte d'algo d'[large]E[/large]uclide je ne sais pas comment vous avez fait vous. Je n'ai pas réussi à faire la 4).
    Je ne comprends pas ce que vous dites sur le lien entre les exercices et les parties. Oui, les exos servent dans les parties mais vous semblez dire autre chose ?
    partie 1 j'ai trouvé pénible et technique mais je l'ai faite
    partie 2 question 1 je pense avoir compris mais à partir de la grosse formule p>def f puissance def f/2 etc... j'ai tout lâché et rien fait de plus.
    Q
    uestion : c'est quoi ces notations partie 2 :
    soit $f=t^{\deg f}+\cdots$
    Y'aurait pas une sorte de définition circulaire là ? Du coup c'est quoi le degré de $f$ ? Y avait-il un intérêt à ne pas pose $n$ un entier et $f=t^n+\ldots$ ?
    Je n'ai vraiment pas adoré ce sujet...

    [ Euclide d'Alexandrie (~300 avJC) prend toujours une majuscule. AD]
  • Bien d'accord avec elodouwen, sujet très disparate : plein d'exos dans tous les sens...

    L'exo 1 était basique oui, mais certains se sont fait suer à calculer le polynôme caractéristique. Des considérations simples sur les dim des sous-espaces propres et se servir de la trace permettait de ne pas calculer ce fichu polynôme...

    L'exo 2 question 1) était un classique, oui elodouwen il fallait utiliser les fonctions symétriques qui sont des sommes de produits de l racines de g (donc de f) chaque produit se majore par 1+||f||infini à la puissance l puis k et la somme porte sur l parmi k produits et l parmi k est plus petit que 2 puissance k. Pas évident, j'ai pris du temps pour le trouver.

    L'exo 3, quel intérêt surtout ces fichues notations juste pour Gram-Shmidt? Dis donc elodouwen on était en télépathie, même impression d'avoir tort de faire une récurrence. Hadamard était un classique sauf qu'ici B n'était pas carrée et j'ai trouvé une solution qui marchait seulement pour d=n, en introduisant une matrice P inversible telle que PB* = B, et reliant deux matrices de Gram.

    L'exo 4 n'était pas si difficile mais j'ai eu un bug sur la 1) : en sortant je me suis dit qu'il fallait utiliser que t puissance p puissance r égal à t modulo Pr et répéter la chose q fois, ça marche je crois. La 2) oui avec Euclide, c'est bon et ça ressemble à un classique. La 4) me semble facile mais je dois faire une erreur : les phi divisent tous Pi_p(Pn) et sont irréductibles donc dire que l'anneau Z/pZ[t] est principal (car Z/pZ est un corps) permet d'assurer que les phi sont premiers et donc Q divise Pi_p(Pn).

    Au bout de 3h30, j'arrive au problème. Surprise de voir que la partie 1 se fait tranquillement (programme de prépa), j'ai juste pris mon temps pour démontrer proprement la 4) avec la norme triple...

    La partie 2 idem qu'elodouwen, la 1) a) est un classique, attention au degrés des polynômes u et v, couple minimal de Bézout, ensuite on utilise l'exo 3) puis la comatrice de M(f,g) et à partir de la 2) idem qu'elodouwen ça me faisait mal à la tête, il restait 10 minutes, incapable de réfléchir...

    Savez-vous jusqu'où sont allés les gens en général ? Moyen de deviner un peu, si on rédige bien, jusqu'où il faut aller pour être admis ?
  • La question 1a de l'exercice 3 c'est une récurrence ?

    La partie I du problème est facile ? Comment écrire la matrice $M_k$ alors qu'on ne connait pas $A$ pour faire le produit de la matrice avec le vecteur propre $\varepsilon$ ?
  • La matrice Mk est une diagonale avec des 1, sauf un petit carré de 2x2 avec des 1/2, à partie de là tu calcules AE = (1,...,1,1/2+1/2,1/2+1/2,1,...,1). Une matrice n'est pas un tableau de nombres, il faut apprendre à comprendre ce qu'elle fait en voyant ses colonnes, nul besoin d'écrire toujours somme des aik bkj...
  • pour la question 3, de mémoire, ton changement de base suffisait; genre

    tB B = t(PB) PB = tB tP P B = tB* B*

    et là, comme il y a de l'orthogonalité, le calcul de la matrice de Gram permet de conclure.

    Je ne suis pas du tout sûr de moi.

    Edit: bof, ma mémoire est mauvaise ou je me suis planté. Cela marcherait avec P-1.
  • @ O shine, le premier bon réflexe, c'est d'essayer d'écrire la matrice comme l'a fait gugus13, et cela devient relativement simple.
  • Oui ça marche, ronan, je voulais juste dire que j'ai rédigé seulement pour d=n, car j'ai utilisé la multiplicativité de det en prenant det(B) et cela n'est possible que si B est carrée, alors qu'il suffisait en effet d'utiliser tPP = I, bref me suis fatigué pour écrire des bêtises... erreur de débutant, ça me navre...
  • il manque l'explication tPP =I.
  • Ah, mais oui, il me semble que ça ne marche pas : P est orthogonale ssi c'est une matrice de passage d'une bon dans une bon or (bi*) n'est qu'orthogonale (base de l'espace F=Vect(bi)) et (bi) n'est même pas orthogonale ! Conclusion, on est bien bloqué avec ce tPP au milieu, c'est ce qui m'a gêné. Quelqu'un a trouvé ? Il me semble que Hadamard est classique pour d=n mais que le sujet décalait un peu le classique...
  • Bonjour
    A la question Partie 1 , question 4, il y a un bugg d'une part $k \leq d-1$ et la suite$ (A_{H}^k)_{k\in \N} $ c'est pas très compatible.
     
  • oui, je suis d'accord.
    il doit y avoir un argument de l'égalité det tP = det P, pas tP = P-1 parce que l'égalité semblerait fausse sinon.
  • @ bd2017, ce n'est pas le même k.
  • Je m'en doute bien. Quand on utilise un indice, on vérifie qu'il n'est pas employé pour autres choses. !
     
  • bd2017. L'indice k est introduit pour la question 1. uniquement si tu veux pinailler. Les notations utiles pour la partie 1 sont introduites strictement au-dessus. Si le sujet devait ne plus jamais utiliser "n" sous prétexte qu'il l'utilise avant dans l'énoncé, cela deviendrait grotesque...
  • J'aimerais juste comprendre la question 1)a.

    On veut montrer : $\R^d = Vect( \large{\varepsilon}) \bigoplus H$

    On a $\dim \R^d = d = 1 + d-1$ car $H$ hyperplan.

    De plus soit $x \in H \cap \varepsilon$ alors $x=\displaystyle\sum_{k=1}^d a e_k$ avec $a \in \R$ et $\displaystyle\sum_{i=1}^d x_i=0 \implies da=0 \implies a=0$
    Donc $x=\displaystyle\sum_{k=1}^{d} a e_k =0 $

    Donc $H \cap \varepsilon = \{0 \}$

    Je bloque ici.

    Pour la matrice je l'ai explicité pour $k=1$ mais je n'arrive pas à faire le produit matriciel pour $k$ quelconque ça m'a l'air bien compliqué.
    Quelqu'un aurait une idée ?105090
  • si k = k (B-)- )
    alors tu as le même principe, une diagonale de 1 sauf les lignes k et k+1 qui correspondent ici à tes deux premières lignes de ta matrice.
    pour la somme directe, si x appartient aux deux, il a pour coordonnées (a,a,... ,a) et somme des a = 0.
    donc a = 0
    par raisonnement sur la dimension, on peut, je pense, conclure.
  • Pour la somme directe c'est ok merci.

    En effet, c'est évident que $1$ est vecteur propre car chaque ligne comporte soit 2 1/2 soit un unique 1.

    Comment montrer la stabilité de $H$ ? Je n'ai pas d'idées.

    Pour la 1)b) on peut la faire sans le produit matriciel avec les $a_{ik} b_{kj}$ ?
  • Petite question : comment taper en latex dans un message ?
    [Encadrer toutes les expressions mathématiques par des $\$$. AD]

    $M_k x_k = (x_1,\ldots,x_{k-1},\frac{x_k+x_{k+1}}2,\frac{x_k+x_{k+1}}2,x_{k+1},\ldots,x_n)$ : avec ça la somme des coordonnées de $x$ est la somme des coordonnées de $M_k x$ donc si $x$ est dans $H,\ M_k x$ aussi.

    Pour la 1b), on calcule les normes au carré et on trouve pour $M_k x : \sum_{j \neq k,k+1} (x_j)^2 + 2.((x_k+x_{k+1})/2)^2 $ et on utilise l'inégalité arithmético-géométrique après avoir développé le carré ou alors la convexité de la fonction carrée...
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