Estimateur sans biais

bd2017

Bonjour
J'aimerais avoir une confirmation à mes réponses de cet exercice.

Je trouve $b_{T_n}(\theta)=\theta^{-n} (\int_0^\theta x^{1/n} dx)^n - \theta $
et après calcul
$ b_{T_n}(\theta)=\theta ^{-n} \left(\frac{n \theta ^{1+\frac{1}{n}}}{1+n}\right)^n - \theta $.
On a $b_{T_n}(\theta)\neq 0$ donc l'estimateur est sans biais. C'est bien cela ?

Ensuite $\lim_{n\rightarrow \infty} b_{T_n}(\theta)=\dfrac{\theta }{e}-\theta$
La limite n'est pas nulle.
Alors si ma réponse et mes calculs sont bons, comment puis-je interpréter ce résultat ?
D'un point de vue pratique, est-ce [que] cela veut dire que pour $n$ assez grand il suffit de résoudre l'équation
$b_{T_n} (\theta)=\dfrac{\theta }{e}-\theta$ pour avoir une valeur approchée de $\theta$ ?

Merci d'avance.

marsup

Je suis assez mal réveillé, mais j'ai l'impression que c'est bien ça.

Pour l'interprétation, je dirais surtout qu'on peut obtenir un estimateur non-biaisé en prenant $T_n' = \frac{\theta}{E[T_n]} \cdot T_n$, avec le facteur $\frac{\theta}{E[T_n]}$ qui ne dépend en fait pas de $\theta$.

Asymptotiquement, ça donnerait une proportionnalité en $T'_\infty = e \cdot T_\infty$.

bd2017

Marsup merci de ta réponse